Integrali di funzioni di una variabile
f : [a, b] → ℝ
Regione
Regione = {(x, y) ∈ ℝ2 : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f(x)}
Quanto vale l'area di questa regione?
Definizioni
[a, b] ⊂ ℝ intervallo
Una suddivisione (o decomposizione) di [a, b] è P = {a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b}
D1, D2 decomposizioni di [a, b]: diciamo che D1 è più fine di D2 se D2 ⊂ D1.
Somme di Riemann
f : [a, b] → ℝ limitata, D suddivisione di [a, b]
Definiamo somma di Riemann inferiore:
s(D, f) = ∑i=1m mi (xi - xi-1)
dove mi = infx∈[xi-1,xi]f(x) > -∞
Somma di Riemann superiore:
S(D, f) = ∑i=1m Mi (xi - xi-1)
dove Mi = supx∈[xi-1,xi]f(x) < +∞
Pertanto, tali somme costituiscono le somme delle aree dei rettangoli inferiori e superiori.
Integrali di funzioni a una variabile
f : [a, b] → ℝ
Regione
Regione = {(x, y) ∈ ℝ2 : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f(x)}
Quanto vale l'area di questa regione?
Definizioni
[a, b] ⊂ ℝ intervallo
Una suddivisione (o decomposizione) di [a, b] è 𝔼 = { a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b }
D1, D2 decomposizioni di [a, b]: diciamo che D2 è più fine di D2 ⇔ D2 ⊃ D1.
Somme di Riemann
f : [a, b] → ℝ limitata, D suddivisione di [a, b]
Definiamo somma di Riemann inferiore:
s(D, f) = ∑i=1n mi (xi - xi-1)
dove mi = infx ∈ [xi-1, xi] f(x) > -∞
Somma di Riemann superiore:
S(D, f) = ∑i=1n Mi (xi - xi-1)
dove Mi = supx ∈ [xi-1, xi] f(x) < +∞
Pertanto, tali somme costituiscono le somme delle aree dei rettangoli infimi e supremi.
Relazioni tra somme di Riemann
s(D1, ƒ) = ∌i=1s [xi-1, xi] × [0, mi]
s(D2, ƒ) = ∌i=1s [xi-1, xi] × [0, Mi]
Per definizione, s(D1, ƒ) ≤ s(D2, ƒ)
Lemma
∀ D1 e D2 suddivisioni di [a,b], s(D1, ƒ) ≤ s(D2, ƒ)
D1 ∪ D2 è una suddivisione più fina di D1 e D2
Ci basta dimostrare che se D1' è più fina di D2 allora s(D1', ƒ) ≥ s(D2', ƒ)
s(D1', ƒ) > s(D2', ƒ)
s(D1, ƒ) ≤ s(D1 ∪ D2, ƒ) ≤ s(D2, ƒ)
Dobbiamo dimostrare questo per dimostrare questo: D1 ⊂ D2'
D2 = {x0 1 s = b} in D1' ci sono punti xi-1 ≤ ζi0 i1 ... ik = xi
s(D1', ƒ) = ∑i=1m ∑j=1k(i) [sup ƒyi(j-1), yij] (yi(j-1) - yij)
s(D1, f) = ∑i=1m ∑j=1ni mi (yi,j-1 - yi,j) = ∑i=1m mi (xi-1 - xi) = S(D2, f)
Analogamente, D2' ⊂ D2 &Rightarrow S(D2', f) ≥ S(D2', f)
Abbiamo dimostrato che: ∀ D1, D2, s(D1, f) ≤ S(D2, f)
Sappiamo che ∀ D2, supD s(D, f) ≤ S(D2, f)
e che supD s(D, f) ≤ infD S(D, f)
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Recensioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
Appunto