Analisi matematica 2 - Appunti

Integrali di funzioni di una variabile

∫_{a,b} → ℝ

Regione = {(x,y) ∈ ℝ^2 : x ∈ [a,b],}

0 ≤ f(x) |

Quanto vale l'area di questa regione

Definizioni

[a,b] ⊂ ℝ intervallo

Una suddivisione (o decomposizione di [a,b] è

D = {a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b}

D₁, D₂ decomposizioni di [a,b]: diciamo che D₁ è più fine di D₂ se D₂ ⊂ D₁

Def

∫_{a,b}→ℝ limitata, D suddivisione di [a,b]

definiamo somma di Riemann inferiore

s(D,f) = Σ_i=1ⁿ m_i (x_i - x_i-1)

dove m_i = inf_{x∈[xi-1, xi]} f(x) > -∞

somma di Riemann superiore

S(D,f) = Σ_i=1ⁿ M_i (x_i - x_i-1)

dove M_i = sup_{x∈[xi-1, xi]} f(x) < +∞

perciò tali somme costituiscono le somme delle aree dei rettangoli inf. e superiori

s(D₁, f) = orce

s(D₁, f) = orce

* per definizione , s(D₁, f) ≤ S(D₁, f)

LEMMA: ∀ D₁ e D₂ suddivisioni di:

orce

s(D₂, f) D₁ ∪ D₂ e una suddivisione più fina di D₂ e D₂

Ci basta dimostrare che se D' e più fina di D₂ allora

s(D', f) ≥ s(D₂, f) s(D', f) ≥ s(D₂, f)

s(D₄, f)≥ s(D_1,2∪ D₁ , f ) ≤ s (D₁∪ D₂, f ) ≤ S (D₁∪D₂, f )

D₂ D₁

pos dimostrare questo Dobbiamo dimostrare questo

D₁∪D₂

D₂ = {a = x₀ <x₁< …< a_{xn= b } in D' ci sono punti}

x_i-1 = iγ₀<γ2<…<γ= x_i s (D' = &sum_i=1 &sum_j=1

(wφ∅ (y_ij-1 - y_ij))

(y_ij-1- γ_ij)

(x_i-1)

TEOREMA:

^C°([a,b]) = ∫R(a,b)

FUNZIONI CONTINUE IN a,b

NB: ∫R(a,b)⟹≠∫^C°([a,b))

funzione integrabile ⟹≠ funzione continua

= ∫^C°([a,b)) ⟹≠ f è uniformemente continua in a, b

per il T. di Heine-Cantor

V S O ∃δ⧁0 :

|x-y|≠δ⟹|g(x)-g(y)|≠∈÷(b-a)

o...prendiamo D={(x₀ cos x = t − sen x dt

= − 2 ∫ [ 2t−t³−1 ) t²(−dt ) − 4 ∫ ( 1−cos²x ) cos²x sen x dx =

sostituzione

= 4 ∫(1−t² ) t²dt =

= 4 ∫t⁴ dt + 2 ∫t² dt + 4 ∫t² dt − ∫ t⁴ dt= = − 5 ∫ t⁴ dt + 6 ∫ t² dt = = t⁵ et t³ = t = cos x ( cos x)⁵ t 2/cos x )³

(E S) ∫₀¹ xe x² dx = ( ) ≍ (1/4)∫₀¹4xe x² dx = ∫ᵧ₀ e^t dt = = ( 1/4 ^e1 )²_₀ = − ( 1/4 ( e1 − 1 ) ≈ sostituzione 2x = t a ≈ 4xdx= dt (E.S:) F(x) = -^1/1e^tdt

G (y) = ʃ1 y e ^tdt f conserve sise: =

G(y) = (e_t ; ( F(x) = G ( x ²)

F'( x ) = G'( x ² ) 2x

G'(y) = e/x

F'(x)= e^{x2 / x −2 x = − 2e x 2}

Q ha radici reali e radici complesse semplici

Q(x) = (x - b₁)^m₁(x - b₂)^m₂...(x - b_j)^m_j(x² + c₁x + d₁)...(x² + c_kx + d_k)

=>P(x) / Q(x) = ∑_h=1^j∑_h=1^mjA_hk / (x - b_hk)^t + B₁x+C₁ / x²+c₁x+d₁ + ... + B_kx + C_k / x²+c_kx+d_k

x² + c_kx + d_k = (x - λ₁)(x - λ₂) λ₁, λ₂∈ C \ R

Δ = c_k² - 4d < 0

∫ Bx + C / x² + c_kx + d_k = B_s ∫ x / x² + x + d₁ + C ∫ dx / x² + c_x + d₁

= B / 2 ∫ 2x + c = C dx / x² + c_k x + d_k + C ∫ dx / x² + c_k + d^k

= B / 2 ∫ 2x + C dx / x² + c_k x + d_k - (C - cb / 2) ∫ dx / x² + c_k + d

∫ 2x + C dx / x² + cx + d = ∫ d(x² + ycx + d₁) / x² + cx + d₁ = log ( x² + cx + d₁ ) + k

so dx x² + cx + d₁ = ( x + c / 2 )² + d - c² / q = ( x + c / 2 )² + α²

α² = d - c² / 4 d - c² / 4 = - Δ / 4 > 0

∫ dx / x² + cx + d = ∫ dx / ( x + c / 2 )² + α² = ∫ dx / α² = (x + g / 2 ) / α

= 1 / α dx / t² + 1 = 1 / α arctg t + k = 1 / √(d - c² / 4) arctg ( x + c / 2 ) / √( d - c² / 4 ) + k

= - 2 / √(4d - c/arctg ( 2x + c / √(4d - c )) + k