Analisi matematica 2 - Appunti

Rappresentazione dei numeri

La rappresentazione dei numeri può essere espressa come a = pN^q → interoreale base. Esistono diverse rappresentazioni come quella a floating point. Se imponiamo |p| passa e il segno p diventa la mantissa, q la caratteristica e 9 l'esponente.

Metodi di memorizzazione

Conosciamo univocamente il metodo di memorizzazione del compilatore. |p| ha un massimo di cifre t_m < 9^M. Il compilatore non memorizza 9 ma 9^* = 9 - m, che è sempre positivo, e non deve memorizzare il segno. Se |p| ha più di t cifre, si utilizzano delle tecniche:

1. Troncamento: Troncamento della mantissa alla t-esima cifra
2. Arrotondamento: Si somma e poi si tronca

Errore e precisione

Errore assoluto: |a - ā|

Errore relativo: ^{|a - ā|}/_|a| max: ¹/₂N^-t. La precisione macchina è eps Ε max: ¹/₂N^-t. Il valore approssimato è &omacr; con l'equazione &omacr; = a(1+Ε), e |Ε| < eps.

Esp: Min{a₀: 10^-2 Ω 10² Ω 10⁴}

Operazioni di macchina

In un calcolatore è possibile eseguire solo operazioni di macchina. L'operazione agisce tra &amacr;₁, &omacr;₀, &amacr;₂ = &omacr;₁ · &omacr;₂ = (&amacr;₁ · &amacr;₂)(1 + Ε₀). La precisione di macchina è il minimo Ω, valore di macchina che si...

Cancellazione numerica

Si verifica quando si esegue una sottrazione fra due numeri circa uguali. (a-b)-(a⊖b)_10^-beps. Il risultato è scadente per perdita di cifre della mantissa. Si devono avere due numeri a e b con a≈b e a≠b e b≠b.

Problema numerico

Connessione fra un insieme di dati x (input) e un insieme di dati y (output): x → y. Per un problema esplicito y=f(x). Per un problema implicito f(x,y)=0.

Condizionamento del problema

Il calcolatore non memorizza i dati x ma x̃ restituendo i valori ỹ. f(x̃)-f(x) / f(x) ≈ K(f,x) ‖x-x̃‖ / ‖x‖. |f(x̃)-f(x)| / |f(x)| ≤ K(f,x) ‖x-x̃‖ / ‖x‖. Il numero di condizionamento K: K≈1 → problema ben condizionato, K≫1 → problema potrebbe essere mal condizionato.

Si prenda per il seguente problema: x = x₁ + x₂, x̃_i = x_i(1+ε_i)| x₁ + x₂ - (x̃₁ + x̃₂) | / x₁ + x₂. Equazione: x₁ + x₂ - x₁(1+ε₁) - x₂(1+ε₂) = | - x₁ ε₁ - x₂ ε₂ | / x₁ + x₂ ≤ | x₁ε₁ | / x₁ + x₂ + | x₂ε₂ | / x₁ + x₂.

Numeri di condizionamento

Algoritmo: serie di operazioni che portano dai dati a risultati. Partendo da x̄, dopo una serie di operazioni in precisione infinita si arriva a ȳ, ma in precisione finita si arriva a y*. Se _{| ȳ - y*|} / _{| y*|} ≤ ϵps &Rightarrow; algoritmo stabile.

Norme

Norma due: x = (x_1, ... x_n)^T = _(xi) ||x||₂ = √n∑_i=1 x_i² = √x^Tx &Rightarrow; norma euclidea.

Norma infinito: ||x||_∞ = _{max |xi|}

Norme uno: ||x||₁ = ∑ |x_i|

Norma uno ||A||₁ = max_1≤i≤n ∑ |a_ij|

Norme di matrici

Norma spettrale ||A||₂ = √ρ(A^TA) ρ= raggio spettrale autovalore di modulo massimo.

Norma infinito: ||A||_∞ = max_1≤i≤n ∑ |a_ij|

Proprietà delle norme

• ||AB|| ≤ ||A||·||B||
• ||I|| = 1 I: matrice identica
• ||Ax|| = ||A||x||*

Simmetrico definito positivo: A^T=A ⇒ tutti gli autovalori sono strettamente positivi, x^TAx > 0.

Sistemi lineari

Con A non singolare [det(A)≠0] Ax=b. Se ||ΔA|| < 1/ ||A^-1|| si dimostra che ||x - x̄|| / ||x̄|| ≤ K(A) | _||ΔA||. Se ||ΔA|| < 4/2(||A^-1||) il problema è ben condizionato se k(A) ≈ 1.

k(A) = ||A|| ||A^-1|| ≥ 1. A:A^-1 = I ||I|| = 1.

Metodi diretti

Dato un sistema triangolare superiore: per la risoluzione ho l’algoritmo.

In MATLAB:

function