Analisi matematica 2 - Appunti

Appunti di Analisi matematica II per l’esame della professoressa Scuderi. Gli argomenti trattati sono i seguenti: Rappresentazione Numerica, Metodo delle eliminazioni di Gauss e risoluzione di sistemi lineari (Metodi diretti e iterativi), Approssimazione di funzioni, Equazioni non lineari, Calcolo di Integrali

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria dell'informazione iii

Dal corso del Prof. Scuderi Letizia

Università Politecnico di Torino

Publisher DougHughes

A.A. 2013-2014

26 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Rappresentazione dei numeri

a = pN^q

esistono diverse rappre.

rappresentazione intero

floating point

reale → base

Si impone RAPRESENT:

N^-1 ≤ |p| < 1 allora

Se conosco NORMALIZ.

|p|, q e il segno

p: MANTISSA

q: CARATTERISTICA o ESPONENTE

conosco univocamente

_e metodo di memorizzazione

I numeri che soddisfano

del compilatore

|p| ha un massimo di cifre t

queste condizioni si chiamano numeri di macchina

se 9^m si ha una situazione di underflow a viene

negli M → il compilatore non memorizza

approssimato a 0

il segno

se 9^m si ha overflow

se |p| ha più di t cifre si utilizzano delle tecniche

il processo di calcolo si arresta

Errore assoluto

_{i) troncam. tonca la mantissa alla t-esima cifra}

Errore relativo

_{ii) arrotondamento: s’ somma o}

Errore relativo

_{|a - â|}

_{p: N^-t}

_{max: 1 - t}

̄a - a a

_{il valore approssimato & ê = o}

Errore relativo

_{max: N^-t}

precisone macchina

macchina ε

ε ̄|_{^a = 0 ̄} ε

_{(1 + ε) : |E| &}

max: ε_ps

L’operazione ageisce tra

a₁ o a₂

la precisione di

̄a₁₂ = a_{+2sub> 2 (1 + ε)}

valore di macchina che da contributo alla non

Cancellazione numerica

Si verifica quando si esegue una sottrazione fra due numeri circa uguali

[risultato scarente] → [perdita di cifre della mantissa]

(a-b) - (c⊖d)

(a-d) - (c-b)

|a - d| ≤ eps

a₁ = 0,1518748331

a₂ = 0,1573482212

In aritmetica esatta:

a₁ - a₂ = 0,476619 x 10^-2

a₁⊖a₂=0,47000 x 10^-3

a e b con a≠b e a ≈ b

e/o b ≠ 0

Problema numerico

connessione fra un insieme di dati x(input) e un insieme di dai y (output)

x → y

Pee un problema esplicito y = f(x)

Per un problema implicito f(x,y) = 0

Condizionamento del problema

Il calcolatore non memorizza i dati x ma x restituendo i valori y

Per condizionamento si studia la perturbazione dei dati se x ≈ x allora anche y ≈ y

^|f(x) - f(x̃)_| ^{≈ K(f,x)} _|x-x|

^f(x)_|x| ^{k(f,x) |x-x|}_|x|

K ≈ 1 → so dice che il problema è ben condizionato

K > 1 problema ben condizionato K > 1 problema potrebbe essere mal condizionato valore numerico

k: numero di condizionamento

Si prenda la seguente problema

y = x₁ + x₂ x̃ _i = x_i(1+ε_i

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