Analisi matematica 2 - Appunti

Rappresentazione dei numeri

a = pN^q→ intero

reale base

rappresentazione → floating point

esistono diverse

se imponiamo

|p| passa e il segno p: MANTISSA q: CARATTERISTICA 9: ESPONENTE

conosco univocamente e il metodo di memorizzazione

del compilatore

|p| ha un massimo di cifre t

m < 9^M il compilatore non memorizza

9 ma 9^* = 9 - m

sempre positivo

non deve memorizzare il segno

se |p| ha più di t cifre si utilizzano delle tecniche:

1. troncamento: troncamento la mantissa alla t-esima cifra
2. arrotondamento: si somma e poi si tronca

Errore assoluto |a - ā|

Errore relativo: ^{|a - ā|}/_|a|

max: ¹/₂N^-t precisione macchina eps

Ε max: ¹/₂N^-t

il valore approssimato è ō

^{ā - a}/_a = Ε ō = a(1+Ε)

|Ε| < eps eps = min{a₀: 10^-2 Ω 10² Ω 10⁴}

In un calcolatore è possibile eseguire solo operazioni

di macchina

l'operazione agisce tra ā₁ō₀ ā₂ = ō₁ . ō₂ = (ā₁ . ā₂)(1 + Ε₀)

la precisione di macchina è il minimo Ω

valore di macchina che si

Cancellazione numerica

Si verifica quando si esegue una sottrazione fra due numeri circa uguali.

(a-b)-(a⊖b)_10^-beps

Il risultati scadente ← perdita di cifre della mantissa

Si devono avere due numeri a e b con a≈b e a≠a e b≠b

Problema numerico

Connessione fra un insieme di dati x (input) e un insieme di dati y (output)

x → y

Per un problema esplicito y=f(x)

Per un problema implicito f(x,y)=0

Condizionamento del problema

Il calcolatore non memorizza i dati x ma x̃ restituendo i valori ỹ

f(x̃)-f(x) / f(x) ≈ K(f,x) ‖x-x̃‖ / ‖x‖

|f(x̃)-f(x)| / |f(x)| ≤ K(f,x) ‖x-x̃‖ / ‖x‖

K: numero di condizionamento

K≈1 → problema ben condizionato

K≫1 → problema potrebbe essere mal condizionato

Si prenda per il seguente problema.

x= x₁ + x₂,

x̃_i = x_i(1+ε_i)

| x₁ + x₂ - (x̃₁ + x̃₂) | / x₁ + x₂

x₁ + x₂ - x₁(1+ε₁) - x₂(1+ε₂)

|=| - x₁ ε₁ - x₂ ε₂ | / x₁ + x₂

≤ | x₁ε₁ | / x₁ + x₂ + | x₂ε₂ | / x₁ + x₂

Numeri di condizionamento

Algoritmo

serie di operazioni che a portare dai dati arrivia al risultato

portendo da x̄ dopo una serie di operazioni in precisione infinita si arrivia a ȳ, ma in precisione finita si arrivia a y*

se _{| ȳ - y*|} / _{| y*|} ≤ ϵps ⇒ algoritmo stabile

Norma due:

x = (x_1, ... x_n )^T = _(xi)

• ||x||₂ = √n∑_i=1 x_i² = √x^Tx ⇒ norma euclidea

Norma infinito:

• ||x||_∞ = _{max |xi|}

Norme uno:

• ||x||₁ = ∑ |x_i|
• norma uno ||A||₁ = max_1≤i≤n ∑ |a_ij|

Norme di Matrici:

• norma spettrale ||A||₂ = √ρ(A^TA)
• ρ= raggio spettrale autovalore di modulo massimo
• norma infinito: ||A||_∞ = max_1≤i≤n ∑ |a_ij|

Proprietà delle norme:

• ||AB|| ≤ ||A||·||B||
• ||I|| = 1 I: matrice identica
• ||Ax|| = ||A||x||

*Simmetrico definito positivo

• A^T=A ⇒ tutti gli autovalori sono strett.positivi
• x^TAx > 0

Sistemi lineari

con A non singolare [det(A)≠0] Ax=b

se ||ΔA|| < 1/ ||A^-1|| si dimostra che

||x - x̄|| / ||x̄|| ≤ K(A) | _||ΔA||

Se ||ΔA|| < 4/2(||A^-1||)

il problema è ben condizionato se k(A) ≈ 1

k(A) = ||A|| ||A^-1|| ≥ 1 A:A^-1 = I ||I|| = 1

Metodi diretti:

Dato un sistema triangolare superiore: per la risoluzione ho l’algoritmo

In MATLAB:

function