Analisi matematica 2

Successioni e serie di funzioni:

Quando una successione è convergente?

{x_n}_{n∈R (o C)} Converge al x :

lim x_n = x quando ∀E>0,∃N dipendente da E :

n>> => |x_n-x|<E Definizione di convergenza.Ora estendo la definizione ad una successione di funzioni:

Es: ^{_{( x + n )}} = successione di funzioni con n ∈ e x..R

Indico la notazione f_n (x). In realtà sono funzioni di due variabili. Considero ora:

• f_n (P) -> P∈ ;^r s ¹ variabili.

Fisso P_o ∎ e calcolo tutte le f_n (P). Ottengo una successione numerica, e quindi posso stabilire se converge. Dirò che fn (P) converge se calcolato in Po avrà ^o convergenza. Per ∀ Po avrà una successione numerica. Considero quel sottoinsieme di I , defi Ь

Ь = {^e∎ /f_n (P) converge}

• Ь- insieme di convergenza.Es: f_n (x) = 1 ^{= _{( x +4 )}}
• è definito in tutto R ma per n-> oo la funzione non converge mai. quindi in questo caso I = R e Ь = ∎

Quindi , in generale ad ogni P(Ь) dovrތ attribuire un numero dato da

lim f_n (P) = f (P) FUNZIONE LIMITE.

Esercizi:

I= insieme di definizione

( ^{x _{+ n}} /n ->oo

n -> Ь _{dell’audlin’1. Quindi}

Ora facciamo un cambiamento.....

lim_n→∞

I = ℝ₊ ∪ {0} = ∅

f_n(x) = e^log I = ℝ

quando converge? quando x²-1 ≤ 0 quindi I = [-1,1] troivamo la funzione limite.Prime fino e poi terro il limite per n→∞ X=±1 tutti i termini della unamo saranu supoli a 1 (uncurione contante), remenimo per x ∈]-1,1[ avrò zero. funili:

1. 1
2. 0

insieme di converoseule

ORA:

e^±πinx I=ℝ che l'insieme di converpuso sarè:

I:

1. π+2kπ ≤ x ≤ 2π+2kπ k ∈ ℤ In quest coss P è lefo dall'irise di ose insieme quante sole le furgiore linite?
2. =0 per x ∈[2k+1)π, (2k+2)π[
3. =1 per x=ko k ∈ ℤ

ORA:

f_n(x) = 3^x2-1n I=ℝ Quale soné I? Soru I= {-x}u{a}

consideriamo so lo successione

f_n(x)= xⁿ I=ℝ Quando convergeno? lim_n→∞f_n(x)=

x=1

x=1

=0 x∉]-1,1[ quindi I= ]-1,1]

f₁ (x)=x

f₂ (x)= x² quindi ovsto

f₃ (x)=x³

x²-4x+8

(x-2)²+8=(x-2)²+4+4=(x-2)²+4[1 + (x_2)²=4[1 + (x -2) /4] = 4[1 + (x -2)/2²]

quindi avrò

∫₄ (dx/ x²-4x+8)=∫₄ dx/(x-2)₂+4)=∫ (2 dx / x-2) /2 / 1+( x-2 /2)²)

quindi avrò

-x + 3 log ((x-2) ² +1) + 2 (x -2) /

ORA:

∫ dx / (x(x+1)(x+2)(x-2)

fun. razionale propria. Il denominatore ha 4 radici reali e distinte:

• α¹ = 0
• α² = -1
• α³ = 2
• α⁴ = 2

Un polinomio di grado n ha nel campo complesso sempre n radici. Per i polinomii reali: nel caso di radici complesse, dovrò considerare anche la sua coniugate.

5x + 4 =x(x+1)(x+2)(x-2)

A/x + B/x+1 + C/ x+2 + D/ x-2

Por amplificare di querto “riscrito per evitare di avere il prodo sopra quando conosce le radici di denominatore, e ti radici di solitario elle incoitate, uno per volta.

• -1/x + - 1/3 x+1 + 3/4 / x+2 + 7/24 +7 /x - 2

L 'integrale a questo punto e elemintare

posso scrivere quindi:

3x³ - 1 = (Ax + B)(x² + 1) + C(x² + 1) - 2x(Cx + D)

x³ 3 = A A = 3

x² 0 = B - C D = 6

x 0 = -2C D B = 0 - 1/8

1 1 = -4B + C

e sostituendo:

∫ f(x) dx = ∫ [(3x - 1₈)/(x² + 4) + d/dx (1₈x + 6/(x² + 4))] dx = ∫ [(3x - 1₈)/(x² + 4)] dx + [1₈x + 6/(x² + 4)]

tornato all'integrale

Se QRA: mi trovo con dei polinomi del tipo:

5x⁴ - 3x²

analizzo la radici del denominatore e scrivo le seguenti formule di decomposizione:

(x - 1)(x - 2)(x² - 2x + 2)(x + 1)

... = A/(x - 1) + B/(x - 2) + Cx + D/(x² - 2x + 2) + Ex + F/(x + 1) d/dx [(x - 2)(x² - 2x + 2)²]

tre perterzi ha messo tutti i polinomi con molteplicità maggiore di 1 diminuiti di 1 grado

Il denominatore ha grado 5, quindi il numeratore avrà grado 5 - 1 = 4, poiché deve venire una funzione razionale propria.

avrò un sistema di 11 equazioni in 11 incognite.

Da fare a CASA: ∫ (x² / (x⁴ + 16)) dx ∫ (x² / (8 + x⁵)) dx

t + 1/2 ln(t² + 8) + C

(C è l'ultimo integrale da calcolare)

cambiando la variabile e otteniamo:

e^{ln√(t2 + 8)} = 4/_2√2 = arctg e^-k/_2√2 + C

OR: Un altro caso può essere:

R(x,√x,√x)

La sostituzione da fare è t elevato al minimo comune multiplo degli indici della radice.

In questo caso è t² = x.

Es:

• ∫√(1+√x) / (√(1+√x)³) dx = sost._x( R(x, x^1/2, x^1/3)

Quindi, sostituirò x = t². Con i vari esponenti interi:

• ∫6t⁵ dt = ∫ t³+1 / t² + t dt => 6 [∫ t³ + 1 / t³ + t] dt
• divido (aggiungendo e togliendo t):
• 6 [∫ t³ + t - 1 + 1 / t³ + t] dt = 6 [1 - t - 1 / t(t² + 1)] dt
• decomporre la fzine. razionale

• t² - 1 / t(t² + t) = A / t + B / t + C / t² + 1 => t² - 1 = A(t ² + 1) + t(B + C)

• t² => 0 = A + B
• t => 1 = C
• 1 => -1 = A

e si risolve facilmente ricordando di effettuare alla fine la sostituzione

Ci sono dei casi in cui la sostituzione da fare è semplice; nel caso in cui compaia sinx, cosx:

R(sinx, cosx, sin²x, cos²x) ↔ R(t, t², sin²x, cos²x)

Così dipendono tra sin e cos tramite i loro rapporti. Ed i loro quadrati, la sostituzione da fare è la seguente:

t = tg x per cui sin x = t/ √^1+t² e cos x = 1 / √^1+t

x = arctg t ⇒ dx = dt/1 + t²

Esempio:

∫ dt/1 + t² = ∫ dt/2 + t² = arctg... (Semplice)

Esempio:

∫ sin x cos x dx = -1/2 ∫ d(cos²x)/(1 + (cos x)² )