Successioni e serie di funzioni
Definizione di convergenza
Quando una successione è convergente? Se abbiamo una successione {xn}N con xn ∈ ℝ (o ℂ), essa converge al limite l se:
lim xn = l per n → ∞
Ciò avviene quando per ogni ε > 0 esiste n dipendente da ε tale che:
|xn - l| < ε
Estensione alle successioni di funzioni
Consideriamo ora una successione di funzioni:
Esempio: (1 + xn)n è una successione di funzioni con n ∈ ℕ e x ∈ ℝ. Utilizziamo la notazione fn(x). In realtà, sarà funzione di due variabili. Considero ora:
- {fn(P)}N con P ∈ I ⊆ ℝS rappresenta la i-esima funzione e S+1 variabili.
- Fisso P0 ∈ I e calcolo tutte le fn(P0). Ottengo una successione numerica, e quindi posso stabilire se converge.
- Dico che fn(P0) converge se calcolata in P0 avrò convergenza.
Se per ogni P0 avrò una successione numerica. Considero quel sottoinsieme di I, detto φ, definito come:
Φ = {P ∈ I / fn(P) Converge}
φ: - insieme di convergenza.
Esempio: fn(x) = l (x + 1/4)
In questo insieme la successione converge ovvero P0 di cui possiedo attribuisce. Potrebbe essere anche tutto I o l'insieme vuoto. È definito in tutto ℝ ma per n - x0 la funzione non converge mai. Quindi in questo caso I = ℝ - φ = ∅.
Quindi in generale ad ogni P(φ) posso attribuire un numero detto l:
lim fn(P) = l(P) per n → ∞ (funzione limite).
Esercizi
Esempio: (1 + xn)n
lim l = 2n, dell'ordine 1. Quindi I è l'insieme di definizione.
Ripetizione della definizione di convergenza
Quando una successione è convergente?
{xn}N con xn ∈ ℝ (o ℂ) converge al x:
lim xn = x quando per ogni ε > 0, esiste ν ∈ ℕ dipendente da ε tale che n > ν implica |xn - l| < ε.
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