Analisi matematica 2 (Appunti)

APPUNTI

ANALISI II

PROGRAMMA

1. Teoria dell'approssimazione; successioni e serie di funzioni, con particolare riguardo a serie di potenze e serie trigonometriche
2. Funzioni di variabile complessa: trasformata di Laplace e sue applic. trasformata di Fourier (?)

SUCCESSIONI NUMERICHE (Richiami)

• a valori reali

N={0,1,2,...} numeri

• successione di numeri reali è un’applicazione n ∈ N → a_n ∈ R.

Si denota con (a_n)_n∈NPer esteso a₀, a₁, a₂, ...

• successione a valori complessi è un’applicazione n ∈ N → a_n ∈ C

ES1) (1/m)_m≥1 a_m= 1/m. Per esteso 1, 1/2, 1/3,... 1/m

ES2) (2ⁿ)_n∈N a_n= 2ⁿ. Per esteso 2, 2², 2³,..., 2ⁿ,...

ES3) ((-1)^m)_n∈N a_n= 1/m. Per esteso 1, -1, 1,..., (-1)^m.

ES4) (√m)_m≥1 a_m= √m. Per esteso 1, √2, √3,..., √m,...

Esempi di successioni a valori complessi

ES5) (1+i^m)_m∈N a_u= 1+i^m

ES6) (cosm t iseu m)_m∈N a_m= cosm t iseu me^im formula di Eulero.

Definizioni

1. (a_n)_n∈N si dice limitata superiormente se ∃ b ∈ R: a_u ≤ b ∀u ∈ N
2. limitata inferiormente se ∃ i ∈ R: a_u ≥ i ∀u ∈ N
3. limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente, ossia ∃ i, b ∈ R: a_u ≤ b ∀u ∈ N (equivalemente u se ∃Ɐ i, a_u ≡ H ∀u ∈ N). *

ES 1) è limitata (a=0, b=1)

ES 2) è limitata inferiormente (a=0, non limit. sup.)

ES 3)/ES4) sono limitate (lim. inf e sup.)

N.B: a_u è complessa la definizione (3), a_u ≤ a_u NON ha alcun senso!

• Def (2) - Convergenza uniforme

Si dice che (p_n(x))_n∈N converge uniformemente in B se

• ε0 | ∃n_ε ∈ N: ∀n ≥ n_ε, |p_n(x) - p(x)| < ε ∀x ∈ B

È più forte della conv. puntuale → conv. uniforme ⟹ conv. puntuale

Dall'esempio precedente:

• f_x converge uniformemente in tutto A = [0, 1]?

No, basta guardare δnx = f_{logεlog x}

• g_n = 0 → per def. dellim_{n log e-1}< ε

Attenzione: {g_n}_n∈N è una successione numerica inoltre g_n > 0, ∀n ∈ N

Dall'esempio precedente:

Ritorniamo sull’esempio (x^1/n)_n≥1 e vediamo (in modo diverso) che la convergenza della nostra successione a

• f(x) = {1 se x ≠ 1; 0, se x = (0, 1)}

Importiamo f(x_{[0, 1]})

Se δe,x = f_{logεlog x}, quindi

Posso trovare almeno un sottoinsieme di A in cui si ha convergenza uniforme? Sì, per esempio in [0, a[. 0 < d < 1, e è conv. uniforme, perchè

δe,x = f_{log^εlog x} è limitato.

• g_n - sup ^{x ∈ B} |f_n(x) - f(x)| < ε

Inoltre lim_m g_n = lim_n⟶+∞ e anche non c’è conv. in [0, 1].

È un CONTROESEMPIO al teorema di passaggio al limite sotto al segno di integrale.

La successione non converge uniformemente in [0,1] e infatti non vale la tesi cioè

lim_n→+∞ ∫₀¹ mxe^-mx² dx ≠ ∫₀¹ lim_n→+∞ (mxe^-mx²) dx

∫₀¹ mxe^-mx² dx = [-1/2 e^-mx²] x=0^x=1 = -1/2 e^-m + 1/2

N.B. ci potrebbe essere il passaggio al limite senza conv. uniforme.

ESERCIZIO 2)

Data la successione di funzioni (f_m(x))_m∈N

f_m(x) = ^x⁄₂ arctg (x-m)⁶ X∈R=∣

1) A=R e f(x)≠0

→ insieme di conv. puntuale

2) m fissato

g_m = sup_X∈R (^x⁄₂ arctan(x-m)⁶) = ^u⁄₂ ∀u∈N

d(^X⁄₂ arctg(x-m)⁶) = ^-1⁄_1+(x-u)² ⋅ 6(x-m)⁵ x=m p.to di max.

lim_m→+∞ g_m = lim_m→+∞ ^u⁄₂ = ^u⁄₂ =D Non è conv. unif. in tutto A=R ma non lo è nemmeno in [d,+∞) d>0

Scelgo (-∞,d] con d∈R e d≥0

m fissato g_m = sup_X∈(-∞,d] (^x⁄₂ arctan(m-x)⁶) = ^u⁄₂ arctg(d-x)⁶

lim_m→+∞ g_m = lim_m→+∞ ^u⁄₂ - arctg(d-x)⁶ = 0 ⇒ conv. unif. in (-∞,d]

05/10/2012

1)Data (f_m(x))_m∈N

f_m(x) = ^x⁄₁ + |cos x|⁄m

trovare l'insieme di definizione, l'insieme A

lim_m→0⁺ g_m = lim_m→0⁺ (1 / (x-1)²)^m - 0 → c'è conv. unif. in ogni intervallo(a; ∞) con a > 2.

4) p_m(x) = ((x-1) . 2)^-3m = (1 / |(x-1).2|)^3m

5) p_m(x) = x^m√x m ≥ 1 X∈ I_m = (0, 1]

6) p_m(x) = (e^x - 1)^m

X∈ -π/2, π/2

del cerchio di centro origine e raggio √2, circonferenza compresa) e

f_n(x,y) = { 1 x² + y² ≤ 2

0 x² + y² > 2

non c'è conv. unif. in tutto R², ma conv. unif. in ogni sottinsieme B_i,

lim f_n(x,y) x² + y² ≥ d ∀ d ≥ √2}

n→∞

2)

f_m(x,y) = Ʃ^∞ e^-(y-x)

e^-(y-x) + 2 (x,y)∈R² = I y-x = t

f_m(t) =1

e^-mt + 2 t∈R

A = R

f(t) = { 1/3 t = 0

ins. conv. punt. 0 t > 0

lim P(t) 1/2 t < 0

m→∞

f(t) = 1/3

f(t) = 0

f(t) = 0

discontinua => non c'è conv. unif. in tutto R

Prendo d > 0 e considero Ʃ_t∈(d,t∞) (v.es.). Qui c'è conv. unif.

a_m = 1 1

X∈(d,t∞) e^mt + 2 = e^mt + 2

lim g_m = lim 1

m→∞ m→∞ e^mt + 2 = 0

funzione decrescente

Ritorno alle variabili (x,y):

A = R²

ins. di conv. punt. di f_m(x,y)

f(x,y) = { 1/3 se y = x

0 se y > x

1/3 se y < x

non conv. unif. in tutto R²

conv. uniforme (v.es.) in ogni insieme del tipo

(x,y)∈R² : y-x ≥ d > 0

Serie di Leibniz

∑_m=0^∞ (-1)^m a_m = a₀ - a₁ + a₂ - 2₃ + ... + (-1)ⁿa_n ...

Osservazione:

∑_m=1^∞ (-1)^m a_m =

• a_m ≥ 0
• lim_m→∞ a_m = 0 (infinitesima)
• a_m+1 ≤ a_m (decrescente) ∀m ∈ ℕ

→ Le serie di Leibniz convergono sempre.

Criterio del Confronto per Serie a Termini ≥ 0:

Se ho ∑_m=0^∞ a_m e ∑_m=0^∞ b_m a termini ≥ 0 ∀m ∈ ℕ, allora:

1. Se ∑_m=0^∞ b_m converge, converge anche ∑_m=0^∞ a_m
2. Se ∑_m=0^∞ a_m diverge (posit.), allora anche ∑_m=0^∞ b_m diverge (posit.)

Condizione Necessaria ma Non Sufficiente:

Perché ∑_m=0^∞ a_m converga è che lim_m→∞ a_m = 0 (infatti dire che la ∑_m=0^∞ a_m converge, per definizione vuol dire che ∃ lim_M→∞ s_m = S ∈ ℝ o anche lim_M→∞ s_m+1 = S

→ lim_M→+∞ s_{m - sm+1} = 0 = lim_M→+∞ a_m = 0

Esempi di Serie Notevoli:

1) ∑_m=1^∞ 1/m⁴ ∈ ℝ (serie armonica generalizzata)

• |z| > 1 converge e S = 1/(1-a)
• |z| > 1 diverge
• |z| = 1 indeterminata

→ con z > 1 converge, z ≤ 1 diverge

- Non è mai indeterminata perché 1 > 0

- Per 0 ≤ z ≤ 1 costruire un esempio in cui lim_m→∞ a_m = 0 ma la serie non converge

2) ∑_m=0^∞ q^m (serie geometrica di ragione q) = 1 + q + q² + q³ + ... + q^m...

• |q| < 1 converge e S = 1/(1-q)
• |q| ≥ 1 diverge
• |q| = 1 indeterminata