Analisi matematica 2 - Appunti

Indice

0.1 Calcolo dierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2 Teoria dell'integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

0.2.1 Integrale di Riemann generalizzato . . . . . . . . . . . 31

0.2.2 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

0.3 Somme innite: serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

0.4 Successioni e serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

0.4.1 Successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

0.4.2 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1

2 INDICE

Analisi matematica II

0.1 Calcolo dierenziale

DEFINIZIONE (funzione derivabile e di derivata)

Sia Sia Si dice che è derivabile

−→ ⊆ ∈ ∩

f : A A x A D(A). f

R, R. 0

nel punto se esiste:

x 0 −

f (x) f (x )

0 ∈

lim R

−

x x

x→x 0 0

NOTA

− {x }, ∈ ∈ − {x })

A x D(A) => x D(A

0 0 0 0

In questo caso: si chiama derivata di in e si denota:

f (x)−f x 0

lim f x 0

x→x x−x

0 0 df (x)

0 |

f (x ), Df (x ),

0 0 x=x

0

dx

retta tangente al graco Se il è

f (x)−f x

0 − 0

y = f (x ) + f (x )(x x ) lim

0 0 0 x→x x−x

0 0

allora si dice derivabile in modo esteso in

±∞

= f x 0

Anche in questo caso si pome f (x)−f x

0 0

f (x ) = lim

0 x→x x−x

0 0

TEOREMA DI WEIERSTRASS (sulle funzioni continue non derivabili)

3

4 INDICE

Esistono funzioni continue in ogni punto e non derivabili in

−→

f : R R

ogni punto.

OSSERVAZIONE SULLE REGOLE DI DERIVATA

Sia e sia

−→ ∈ ∩

f : A x A D(A)

R, 0

Supponiamo derivabile in Allora:

f x .

0

−

f (x) f (x )

0 0

− −→

f (x ) =: ω(x) 0

0 x→x 0

−

x x 0

0 0

f (x)−f (x ) = (f (x )+ω(x))(x−x ) => f (x) = f (x )+f (x )(x−x )+ω(x)(x−x )

0 0 0 0 0 0 0

viceversa se è derivabile in

− −

f (x) = a + a (x x ) + ω(x)(x x ) => f

0 1 0 0

0

x , a = f (x ), a = f (x )

0 0 0 1 0

ALGEBRA DELLE DERIVATE

Siano −→ ⊆ ∈ ∩

f, g : A A x A D(A)

R, R, 0

Supponiamo e derivabili in Allora:

f g x .

0

è derivabile nel punto e 0 0

1) f + g x D(f + g)(x ) = f (x ) + g (x )

0 0 0 0

è derivabile nel punto e 0 0 0

2) f g x (f g) (x ) = f (x )g(x ) + f (x )g (x )

0 0 0 0 0 0

( ) è derivabile nel punto e 0

0

f (x )g(x )−f (x )g (x )

fg fg 0

6 ∈ 0 0 0 0

3) g(x) = 0∀x A x ( ) (x ) =

0 0 2

g (x )

0

1)

Dimostrazione.

− − −

(f + g)(x) (f + g)(x ) (f )(x) (f )(x ) (g)(x) (g)(x )

0 0

0 0 0

→

= + f (x )+g (x )

x→x 0 0

0

− − −

x x x x x x

0 0 0

2) −

(f g)(x) (f g)(x )

0 =

−

x x 0

− − −

f (x)g(x) f (x )g(x ) + f (x)g(x) f (x )g(x) + f (x )g(x) f (x )g(x )

0 0 0 0 0 0

= =

−

x x 0

0.1 Calcolo dierenziale 5

− −

f (x) f (x g(x) g(x )

0 0 0 0

→

= g(x) + f (x ) f (x )g(x ) + f (x )g (x )

0 x→x 0 0 0 0

0

− −

x x x x

0 0

devo dimostrare solo che è derivabile in

1

3) x 0

g 1 1

1 1 −

−

( )x ( )(x ) −

g(x ) g(x) 1

0 g(x) g(x ) 0

g g 0

= = =

− − −

x x x x g(x)g(x ) x x

0 0 0 0

0

−

g(x) g(x ) 1 g (x )

0 0

− → −

x→x 0 2

−

x x g(x)g(x ) g (x )

0 0 0

CONCLUSIONE

g(x )

0

1 − 0

( ) (x ) =

0 2

g g (x )

0

Di conseguenza: ‚

Œ Œ ‚ Œ

‚ 0 0

1 f (x ) g(x )

f 0 0

· −

(x ) = f (x ) = + f (x )

0 0 0 2

g g g(x ) g (x )

0 0

0 0

−

f (x )g(x ) f (x )g (x )

0 0 0 0

= 2

g (x )

0

DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE

Siano dove e

−→ −→ ⊆ ◦ −→

f : A B, g : B A, B g f : A

R R R

◦

(g f )(x) = g(f (x))

Sia tale che

∈ ∩ ∈

x A D(A) f (x ) D(B)

0 0

Supponiamo derivabile in e derivabile in . Allora è derivabile

f x g f (x ) g◦f

0 0

in e 0 0 0

◦ ·

x (g f ) (x ) = g (f (x )) f (x )

0 0 0 0

derivabile in 0 −y

g y := f (x ) => g(y) = g(y )+g (y )(y )+

Dimostrazione. 0 0 0 0 0

con

− →

ω(y)(y y ) ω(y) 0

0 y→y

0

Allora: −

g(f (x)) g(f (x ))

0

0

g(f (x))−g(f (x )) = g (f (x ))(f (x)−f (x ))+ω(f (x)−f (x ) => =

0 0 0 0 −

x x 0

6 INDICE

− −

f (x) f (x ) f (x) f (x )

0 0

0 0 0

→

= g (f (x )) + ω(f (x)) g (f (x ))f (x )

0 x→x 0 0

0

− −

x x x x

0 0

DERIVATA DELLE FUNZIONI INVERSE

e inoltre intervalli di

Sia su

−→ J I, J

f : I R

1−1

Supponiamo derivabile in un punto continua in e una

0 6

f x , f I f (x ) = 0

0 0

funzione continua e iniettiva deve essere monotona.

Allora è derivabile in e la derivata di

−1 −1

−→

f : J I y = f (x ) Df (y ) =

0 0 0

1

0

f (x )

0 −1 −1

f (y) = x <=> y = f (x), f (y ) = x <=> y = f (x )

Dimostrazione. 0 0 0 0

allora: −1 −1

− − 1

f (y) f (y ) x x

0 0 =

=> f (x)−f (x )

− −

y y f (x) f (x ) 0

0 0 x−x 0

Allora:

−1 −1

→ → →

y y => f (y) f (y ) => x x

0 0 0

1 1 0 6

→ se f (x ) = 0

0

x→x 0 0

f (x)−f (x ) f (x )

0 0

x−x 0

Se allora se è monotona crescente allora tende a , se è

0

f (x ) = 0 f +∞ f

0

monotona decrescente allora tende a −∞

1

−1 −1

Df (y ) = con y = f (x ) e x = f (y )

0 0 0 0 0

0

f (x )

0

APPLICAZIONE DELLA NOZIONE DI DERIVATA

TEOREMA DI FERMAT

Sia e sia Supponiamo derivabile in Allo-

−→ ∈

f : A x int(A). f x .

R 0 0

ra:

Se è un punto estremante relativo per risulta 0

x f, f (x ) = 0

0 0

NOTA: è un punto interno

∈ ∃δ −

1) x int(A) <=> > 0 :]x δ, x + δ[⊆ A, x

0 0 0 0

0.1 Calcolo dierenziale 7

di A è un punto di massimo(minimo) relativo o (locale) per se ∃δ

2) x f > 0 :

0 ≥ ∈ −

f (x ) (≤)f (x)∀x A∩]x δ, x + δ[

0 0 0

Un punto estremante relativo è un punto di massimo o di minimo relativo.

In un punto di massimo se il punto è derivabile e s'è interno allora la sua

derivata è zero. Sia un punto di massimo relativo (per ssare le idee)

x

Dimostrazione. 0

Allora ∃δ − ≥ ∈ −

> 0 :]x δ, x + δ[⊆ A, f (x ) f (x)∀x A∩]x δ, x + δ[=

0 0 0 0 0

(purché sia un punto interno)

−

]x δ, x + δ[

0 0

Di conseguenza: −

f (x) f (x )

0 ≤ 0

x < x < x + δ =>

0 0 −

x x 0

−

f (x) f (x )

0 0 ≤

lim = f (x ) 0

0

−

x x

+

x→x 0

0

Inoltre −

x δ < x < x

0 0

− −

f (x) f (x ) f (x) f (x )

0 0 0

≥ ≥

=> 0 => lim = f (x ) 0

0

− −

x x x x

−

x→x

0 0

0

Per tanto 0

f (x ) = 0

0

TEOREMA DI ROLLE

Sia ∈

f C([a, b], (−∞ < a < b < +∞)

R)

Supponiamo:

derivabile in

1) f ]a, b[

2) f (a) = f (b)

Allora 0

∃c ∈]a, b[: f (c) = 0

8 INDICE

∈ ∃

f C([a, b], => max f, min f

Dimostrazione. R) [a,b] [a,b]

∃c ∈

=> , c [a, b] : f (c ) = max f ; f (c ) = min f

1 2 1 2

[a,b] [a,b]

≥ ∈ ≤ ∈

(f (c ) f (x)∀x [a, b], f (c ) f (x)∀x [a, b])

1 2 0

∈ {a, ∈

=> (c , c b})c = a, c = b, f (c ) = f (c ) => f costate => f (c) = 0∀c [a, b]

1 2 1 2 1 2

0 ≤ ≤

=> f deve essere costante perche sono il minimo e il massimo => f (c ) f (x) f (c )

2 1

∈]a, ∈]a,

c b[ o c b[=> uno dei due punti deve essere interno

1 2 0 0

=> per il teorema di F ermat f (c ) = 0 oppure f (c ) = 0

1 2

TEOREMA DAL VALORE MEDIO DI LAGRANGE

Sia derivabile in (con derivata nita). Allora:

∈

f (C([a, b], ]a, b[

R)), −

f (b) f (a) 0

∃c ∈]a, b[: = f (c)

−

b a

Poniamo: f (b)−f (a)

−→ − −

g : [a, b] g(x) = f (x) (x a)

Dimostrazione. R, b−a

Risulta che perché dierenza di funzioni continue.

∈

g C([a, b], R)

è derivabile perché è derivabile in quell'intervallo.

g ]a, b[ f −

f (b) f (a)

0 0 − ∀x ∈]a,

g (x) = f (x) b[

−

b a

−

f (b) f (a)

− −

g(a) = f (a) (a a) = f (a)

−

b a

−

f (b) f (a)

− −

g(b) = f (b) (b a) = f (a)

−

b a

Allora per il teorema di Rolle 0

∃c ∈]a, b[: g (c) = 0 <=>

− −

f (b) f (a) f (b) f (a)

0 0

−

f (c) = 0 => f (c) =

− −

b a b a

TEOREMA DI CAUCHY

0.1 Calcolo dierenziale 9

Siano derivabile in Supponiamo 0

∈ 6 ∈]a,

f, g C([a, b], ]a, b[. g (x) = 0∀x b[

R),

Allora: 0

−

f (b) f (a) f (c)

∃c ∈]a, b[: = 0

−

g(b) g(a) g (c)

NOTA:

Se

1) g(x) = x => (Cauchy => Lagrange)

(teorema di Rolle)

0 6 ∀x ∈]a, 6

2) g (x) = 0 b[=> g(b) = g(a)

Poniamo −→

h : [a, b]

Dimostrazione. R

− − −

h(x) = (f (b) f (a))g(x) (g(b) g(a))f (x)

Risulta: è derivabile in perché combinazione lineare di funzioni

∈

1) h C([a, b], ]a, b[

R)

continue e derivabili.

0 0 0

− − − ∈]a,

2) h (x) = (f (b) f (a))g (x) (g(b) g(a))f (x)∀x b[

− − − −

3) h(a) = (f (b) f (a))g(a) (g(b) g(a))f (a) = f (b)g(a) g(b)f (a) =

− − − −

h(b) = (f (b) f (a))g(b) (g(b) g(a))f (b) = g(a)f (b) f (a)g(b)

Allora per il teorema di Rolle 0 0

∃c ∈]a, −

b[: h (c) = 0 <=> (f (b) f (a))g (c) =

0

−

(g(b) g(a))f (c) => 0

− f (c)

f (b) f (a) = 0

−

g(b) g(a) g (c)

CRITERI DI MONOTONIA

Sia intervallo, derivabile in Allora: è monotona

−→

f : I I f I. 1) f

R,

crescente 0 ≥ ∈

<=> f (x) 0∀x I

Premessa: in f (x )−f (x ) ≥ ∀x 6

↑ 2 1 0 = x

f I <=>

Dimostrazione. 1 2

−x

x 2 1

=> −

f (y) f (x)

↑=> ≥ ∈ ∀y 6 ∈

f 0∀x I, = x, y I

−

y x

10 INDICE

Allora: −

f (y) f (x)

0 0

≥ ∈ ≥ ∈

f (x) = lim 0∀x I => f (x) 0∀x I

−

y x

y→x

<= −

f (x ) f (x )

2 1

0 ≥ 6

≥ ∈ ↑<=> 0∀x = x , x < x

f (x) 0∀x I => f 1 2 1 2

−

x x

2 1

Ora per il teorema del valor medio di Lagrange, esiste ∈]x

y , x [

1 2

−

f (x ) f (x )

2 1 0 ≥

= f (y) 0

−

x x

2 1

Per ipotesi f (x )−f (x ) ≥ ↑

2 1 0 => f

=> −x

x 2 1

FUNZIONI IPERBOLICHE

−→

cosh : R R −x

x

e + e

cosh x = 2

−x

x −

e e

D cosh x = = sinh x

2

−→

sinh : R R −x

x −

e e

sinh x = 2

−x

x

e + e

D sinh x = = cosh x

2

ARCOSENO IPERBOLICO

−1 −→

arcsinh = (sin) : R R

1 1

√ ∀y ∈

D arcsinh y = dove y = sinh x => R

2

D sinh x 1 + y

ARCOSENO −1

arcsin x = (sin x| )

π π

]− , [

2 2 1

√ ∀y ∈] −

D arcsin y = 1; 1[

2

−

1 y

0.1 Calcolo dierenziale 11

TANGENTE IPERBOLICA perché è sempre

sinh x

−→ ∀x ∈

tanh : tanh x = cosh x > 0

R R R

cosh x 1 2

−

D tanh x = = 1 (tanh x)

2

cosh x

ARCOTANGENTE IPERBOLICO

−1 su

−

arctanh = (tanh) :] 1, 1[−→ R

1−1 1 ∀y ∈] −

D arctanh y = 1, 1[

2

−

1 y

CRITERI DI MONOTONIA

intervallo di derivabile in

−→

2) f : I I f I

R, R,

8

> 0 ≥ ∈

f (x) 0∀x I

<

↑

f s <=> > 0

: {x ∈ I|f (x) = 0} non contiene intervalli

0

↑ ≥ ∈

=> f s => f (x) 0∀x I(1)

Dimostrazione.

Per assurdo 0 0

{x ∈ ⊇]α, ∈ ∀x ∈]α,

I|f (x) = 0} β[=> f (x) = 0∃α, β I : β[=>

è costante in contro l'ipotesi di stretta monotonia. Per ipotesi:

f ]α, β[ <=

8

> 0 ≥ ∈

f (x) 0∀x I

< ↑

=> f s

> 0

: {x ∈ I|f (x) = 0} non contiene intervalli

Intanto: in

0 ≥ ↑

f 0 I => f (1)

Per assurdo: non strettamente monotona con

∃x ∈

f => , x I x < x :

1 2 1 2

f (x ) = f (x )

1 2 0

≤ ≤ ∈]x

=> f (x ) f (x) f (x )∀x , x [=> f / e costante

1 2 1 2 [x ,x ]

1 2

Ma se è costante allora contro l'ipotesi.

0 ∈

f f (x) = 0∀x [x , x ]

1 2

12 INDICE

TEOREMA DI DE L'HOPITAL

Sia intervallo di Sia (in senso esteso)

−→ ∈

f, g : I I x D(I)

R, R. 0

Supponiamo derivabili in , inoltre 0 6 ∈

f, g I g (x) = 0∀x I

Supponiamo inoltre: −→ →

i)f (x), g(x) 0 per x x 0

−→ ±∞, −→ ±∞ →

ii)f (x) g(x) per x x 0

Allora: se esiste il allora anche il e si ha che:

0

f (x) f (x)

∃

lim , lim

x→x x→x

0

g (x) g(x)

0 0

0

f (x) f (x)

lim = lim 0

g(x) g (x)

x→x x→x

0 0 ∈

f, g :]x , β[−→ β > x , β

Dimostrazione. R

R

0 0

per

−→ →

f (x), g(x) 0 x x 0

0 f (x)

f (x) −→ −→

∈ =>

λ λ

R

x→x x→x

0 0

0

g (x) g(x)

Poniamo: f , g : [x , β[−→ R

0 8

> 0 se x = x

< 0

f (x) = >

: f (x) se x > x

0

8

> 0 se x = x

< 0

g(x) = >

: g(x) se x > x

0

Allora ∈

f , g C([x , β[, R)

0

( )

f (0) = lim f (x) = f (x)

x→x 0 0

Allora: (teorema di Cauchy)

f (x)−f (x ) f (y)

∀x ∈]x ∈]x 0

, β[∃y , x[: =

0 0 0

g(x)−g(x ) g (y)

0

Allora: 0

f (x) f (y )

x −→

= λ

→x

x→x =>y x

0 0

0

g(x) g (y )

x

0.1 Calcolo dierenziale 13

PRIMITIVE O ANTI-DERIVATA

Sia data intervallo di Una funzione si di-

−→ −→

f : I I F : I

R, R. R

ce che è una primitiva di se:

f

è derivabile in

i)F I.

0 ∈

ii) F (x) = f (x)∀x I

NOTA:

Se e sono primitive della stessa funzione,allora: costante.

−

F G F G =

Infatti: è

0 0 0

− − − ∈ −

F (x) G (x) = f (x) f (x) = 0 => (F G) (x) = 0∀x I => F G

costante => F = G + c

TEOREMA DI DARBOUX

Sia intervallo di

−→

f : I I

R, R

Supponiamo derivabile in ogni punto di . Allora: è un intervallo(Se

0

f I f (I)

si richiedesse che fosse continua allora sarebbe il teorema di Bolzano ap-

f

plicato alle derivate)

Siano con Sia poi

0

∈

α, β f (I) α < β. γ : α < γ < β.

Dimostrazione.

Dimostriamo che esiste 0

∈

c I : f (c) = γ

Siano ora Per ssare le idee supponiamo

0 0

∈

a, b I : f (a) = α, f (b) = β. a < b.

Intanto Deniamo

⊆ −→ −

[a, b] I. g : [a, b] : g(x) = f (x) γx

R

Intanto è derivabile in e 0 0 −

g [a, b] g (x) = f (x) γ

Allora: 0 0 − −

g (a) = f (a) γ = α γ < 0

0 0 − −

g (b) = f (b) γ = β γ > 0

Per il teorema di Weierstrass ∃c ∈ [a, b] : g(c) = min g

[a,b]

assurdo perché

Se fosse allora g(x)−g(a) 0

0 ≥ 0 => g (a) <

c = a g (a) = lim +

x→a x−a

14 INDICE

0