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OSSERVAZIONE CHIAVE
Gli insiemi sono limitati {S(f, ∈)}, {s(f, ∈)}∈|∈ Ω ∈|∈ Ω[a,b] [a,b]
Infatti, se allora:
{x }∈ = , ..., x
Dimostrazione.
0 n nn n n
XX X X
−x ≤−x ≤ −x ≤ −xf (x )inf f (x ) inf sup f (x ) inf f (x )k k−1 k k−1k k−1k k−1 I[a,b] [a,b]Ikk=1 k=1 k=1 k=1k
PD'altra parte, n − − −(x x ) = x x ⇒ b ak k−1 n 0k=1
In denitiva:
n nX X− ≤ ≤ ≤ −inf f (x x ) s(f, ∈) S(f, ∈) sup f (x x )k k−1 k k−1[a,b] [a,b]k=1 k=1− ≤ ≤ ≤ − ∀∈ ∈inf f (b a) s(f, ∈) S(f, ∈) sup f (b a) Ω[a,b][a,b] [a,b]
INTEGRALE SUPERIORE
Si pone:
∫ b 0 0 0∈ } ∈f := inf{S(f, ∈)|∈ Ω perché l'insieme è limitatoR[a,b]a
INTEGRALE INFERIORE
Si pone:
∫ b 0 0 0∈ } ∈f := sup{s(f, ∈)|∈ Ω perché l'insieme è limitatoR_ [a,b]a
DEFINIZIONE
Sia limitata. Si dice che
è integrabile secondo Riemann su −→f : [a, b] fR,se:[a, b] ∈ Z Zb bf = f_a a20 INDICE In questo caso si pone: ∫ ∫ Zb b bf (x)dx := f = f_a a a LEGAME TRA INTEGRALE E PRIMITIVA: PRIMO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Sia l'insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann su [a,b] Supponiamo che f abbia una primitiva F. Allora: ∫ (F (x))f (x)dx = F (b) - F (a) = [F (x)] x=a Sia ∈ {x1, x2, ..., xn} ∈ Ω, Ω = [a, b], x1 < x2 < ... < xn Dimostrazione. Allora: n ∑ (F (xk) - F (xk-1)) = F (x1) - F (x0) = (F (x1) - F (x0)) = (teorema valor medio) k=1 n X 0 − − n F (yk)(xk - xk-1) = f (yk)(xk - xk-1) k=1 k k k-1 n X k=1 k ∈]xk-1, xk[ k k k-1 8 P > n: ∈ − (sup f )(xk - xk-1) = S(f, Ω) < k k-1 Ik=1 k P > n: ≥ ∈ − (inf f )(xk - xk-1) = s(f, Ω)Ik k-1 k=1 k Per tanto: ≤ ∈ ≤ ∈ ∀Ω ∈ s(f, Ω) ∈ [a,b] ∫- − ≤ S(f, σ) =f = sup fs(f, σ) F (b) F (a) inf_ σ∈Ωa aσ∈Ω [a,b][a,b]Quindi: _Z Zb b≤ − ≤f F (b) F (a) f_ a aDi conseguenza se è integrabile allora:fZ Zb b≤ − ≤f (x)dx F (b) F (a) f (x)dxa a0.2 Teoria dell'integrazione 21Dimostreremo che:∈ ∈f C([a, b], => (<6 =)f RR) [a,b]CONDIZIONI DI INTEGRABILITA'0 00 0 00≤ ∀σ ∈1) s(f, σ ) S(f, σ ) , σ Ω[a,b]0 00 0 00 0 00 0∈ ⊇ ≥ ≤i) σ , σ Ω , σ σ => s(f, σ ) s(f, σ ), S(f, σ )Dimostrazione. [a,b]00S(f, σ )Supponiamo 00 0{x }, {x }σ = , ..., x , x , ..., x σ = , ..., x , c, x , ..., x0 p−1 p n 0 p−1 p nallora ha un punto in più di0 00σ σ00 0 −x −c)) ≥S(f, σ )−S(f, σ ) = sup f (x )−( sup f (c−x )+sup f (xp p−1 p−1 p[x ,x ] [x ,c] [c,x ]p
pp−1 p−1≥ − − − −sup f ((x x ) ((c x ) + (x c))) = 0p p−1 p−1 p[x ,x ]pp−100 0≥=> S(f, σ ) S(f, σ )presi ad arbitrio0 00 ∗ 0 00 0 00 0∈ ∪ ⊇ ≤ii) σ , σ Ω => σ = σ σ σ , σ => s(f, σ )[a,b]∗ ∗ 00≤ ≤s(f, σ ) S(f, σ ) S(f, σ )CONSEGUENZA _R b0 00 0 00 0 00 0≤ ∀σ ≤ ∀σs(f, σ ) S(f, σ ) , σ => s(f, σ ) inf S(f, σ ) = f00σ a_RR Rb b b0 _ _ ≤≤ f => f f=> sup s(f, σ )0σ a a aCONDIZIONI DI INTEGRABILITA' 2 _R Rlimitata b b_−→ ≤I) f : [a, b] => f fR a a22 INDICE(teorema di Riemann) Sia limitata. Allora−→ ∈II) f : [a, b] f R <=>R [a,b]∀ ∈ −> 0∃σ Ω : S(f, σ) s(f, σ) < (∗)[a,b] (NECESSITA') vale∈=> f R
- (*)Dimostrazione. [a,b]RR bb∈ ff =f R =>[a,b] aa R b∀ ∈> 0∃σ Ω : f + > S(f, σ )1 1[a,b] aR b_ −∀ ∈ f > S(f, σ )> 0∃σ Ω : 22 [a,b] aSia Allora è più ne di e Allora∪ ≤ ≤σ = σ σ . σ σ σ . S(f, σ) S(f, σ )1 2 1 2 1_ RR perchébb _ ∈f + f Rf + = [a,b]aaAllora: Z b ≤f + < s(f, σ ) + 2 s(f, σ) + 2_ 2a −=> S(f, σ) s(f, σ) < 2(SUFFICIENZA)<= _R Rb b_f = f(*) => a aPer ipotesi ∀ ∈ −> 0∃σ Ω : S(f, σ) s(f, σ) < [a,b]_Z Zb b≤ ≤ ≤f S(f, σ) s(f, σ) + f + _a a_Z Zb b≤=> f f + ∀ > 0_a a_ ZZ bb↓ ≤ f=> ( 0) f _a aMa in generale: _ _Z Z Z Zb b b b≥ ∈f f => f = f => f R_ _ [a,b]a a a aTEOREMA −→ ∈f : [a, b] monotona => f RR
continua in se:⊆ −→f : A f AR R.∀ |f − ∀x, ∈ |x −> 0∃δ > 0 : (x) f (y)| < y A, y| < δdipendente da=> δ è continua in ∈f y∀y Aè continua in∀y ∈ A, f y <=>∀y ∈ ∀ |f − ∈ |x −A, > 0 : (x) f (y)| < ∀x A, y| < δ24 INDICEOSSERVAZIONESe è uniformemente continua su => è continua suf A (<6 = f ) ATEOREMA(DI HEINE-CANTOR)Se , compatto, allora è uniformemente continua su∈f C(A, A f AR) è uniformemente continua ∀ |f −f <=> > 0∃δ > 0 : (x)Dimostrazione.∈ |x −f (y)| < ∀x, y A, y| < δPer assurdo non uniformemente continua ∃ |f −f <=> > 0∀δ > 0 : (x)≥ ∈ |x −f (y)| ∃x, y A, y| < δ AlloraPrendiamo 11 ∃x ∈ |x −y | |f ≥. , y A
< , (x )−f (y )| δ = n n n n n nn nn∈N sottosuccessione di ed esistePer la compattezza di ∈∃(x ) (x ) x A :A, n 0k n→x x .k 0nDi conseguenza: − →y = (y x ) + x x→0k k k k 0n n n nPer tanto: − → −f (x ) f (y ) f (x ) f (x ) = 0k k 0 0n nAssurdo perché |f − ≥(x ) f (y )| > 0∀nn nTEOREMASe ∈ ∈f C([a, b], => f RR) [a,b]∈ ∈f R <=> (teorema di Rimann)∀ > 0∃σ R :Dimostrazione. [a,b] [a,b]−S(f, σ) s(f, σ) < Fissiamo ad arbitrio. Per il teorema di Heine-Cantor, è uniformemente > 0 fcontinua su Allora:[a, b].∃δ |f − ∈ |x −> 0 : (x) f (y)| < ∀x, y A, y| < δ0.2 Teoria dell'integrazione 25Sia ora .∈ |σ|σ Ω , < δ[a,b]Scriviamo: e valutiamo:{x }σ = , ..., x0 nn nX X0 00 0 00−x ∈−inf −xS(f, σ)−s(f,) =
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