Analisi Matematica 2

CORSO DI ANALISI 2 – 9 CFU

TRATTAZIONE TEORICA

Università Federico II di Napoli

Laurea in Ing. Elettronica

PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II – 9 CFU

Topologia in Rⁿ: funzioni scalari, funzioni vettoriali di una variabile reale, funzioni vettoriali di più variabili reali. Norma e modulo di un vettore in Rⁿ. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (Dim*). Definizioni di punto interno, di frontiera, esterno, di accumulazione, isolato. Insieme aperto, chiuso, perfetto, connesso, connesso per poligonali. Definizione di poligonale in R², di insieme connesso per poligonali, di insieme compatto e limitato.

Funzioni in più variabili: insiemi di definizione, funzione composta. Concetto di limite e verifica dei limiti. Teoremi sul limite (unicità, confronto e algebra dei limiti). Funzioni continue. Teorema sulla funzione composta. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri (Dim). Teorema di Bolzano. Teorema di Bolzano-Weierstrass (Dim). Definizione di funzione uniformemente continua. Teorema di Cantor.

Calcolo differenziale: definizioni di derivabilità parziale (rispetto a x e y). Definizione di gradiente. Legame tra derivabilità e continuità. Definizione di derivata direzionale. Definizione di funzione differenziabile. Definizione di differenziale. Condizione necessaria per la differenziabilità (Dim). Condizione sufficiente per la differenziabilità (Dim). Teorema sulle derivate delle funzioni composte. Teorema del gradiente (Dim e significato geometrico). Teorema del piano tangente (Dim). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Definizione di Hessiano di una funzione. Teorema sulle funzioni a gradiente nullo (Dim). Formula di Taylor dell'n ordine con il resto di Lagrange (Dim*). Estremi relativi (massimo e minimo). Teorema di Fermat (C.N.1 sugli estremi relativi) (Dim). Condizione necessaria 2 sugli estremi relativi (Dim). Condizione sufficiente sugli estremi relativi. Punti di massimo e minimo assoluti.

Funzioni implicite. Teorema del Dini (Esistenza Dim – Continuità Dim*). Il Teorema del Dini. Teorema del Dini per un’equazione in n incognite.

Equazioni differenziali: Problema di Cauchy e significato geometrico. Teorema di Peano. Definizione di funzione Lipschitziana. Condizione sufficiente per la Lipschitzianetà (Dim). Condizione sufficiente 2. Teorema di esistenza e unicità “in grande” [n=1]. Definizione di integrale generale e di integrale particolare in un’equazione differenziale. Equazione differenziale del l’ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari. Metodo di Lagrange. Equazioni differenziali di l’ordine. Ordine di funzioni linearmente indipendenti e di Wronskiano. Teorema del Wronskiano (Dim). Teorema sull’integrale generale delle l’equazioni omogenea (Dim*). Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti. Metodo della somiglianza. Metodo di Lagrange (Dim*). Sistemi di equazioni differenziali del l’ordine. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità 1. Equazioni differenziali ordinarie n. Teorema di esistenza e unicità 2. Equazioni differenziali di ordine n lineari. Integrale generale di un’equazione differenziale in n con un sistema di n equazioni differenziali del l’ordine.

Curve in Rⁿ. Curve semplici, chiuse, aperte. Lunghezza di una curva: curve rettificabili. Curve regolari. Retta tangente ad una curva. Teorema sulla rettificabilità della curva regolare. Coordinate polari ed esempi di curve. Verso di percorrenza e ascissa curvilinea. Cenno al triedro fondamentale di una curva. Integrali curvilinei di l specie, sue proprietà (Dim* dell’indipendenza dal verso) ed il suo significato geometrico. Baricentro di un corpo filiforme. Integrali curvilinei di ll specie. Forme differenziali lineari in R³, proprietà di un integrale curvilineo di ll specie (Dim della dipendenza dal verso). Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte (Dim). Forme differenziali chiuse. Condizione necessaria per le forme differenziali esatte (Dim). Insiemi semplicemente connessi. Chiusura di una forma differenziale in R³. Teorema di Poincaré. Insieme stella rispetto a un punto.

Integrali doppi e loro proprietà. Integrabilità di funzioni continue (Dim*). Il Teorema della Media (Dim*) e significato geometrico. Insiemi normali rispetto ad un asse. Teorema di Fubini. Trasformazioni regolari in R². Teorema sulla regolarità della trasformazione inversa. Teorema sulla regolarità della trasformata in R² di una curva regolare (Dim*). Baricentro di un corpo piano. Teorema di Pappo. Dominio regolare. Formule di Gauss-Green (Dim). Teorema della divergenza in R² (Dim). Teorema di Stokes in R² (Dim). Condizione sufficiente per le forme differenziali esatte (Dim). Cenno agli integrali tripli. Dominio normale rispetto ai piani cartesiani. Teorema di Fubini per integrali tripli. Baricentro di un corpo solido. Trasformazioni regolari in R³. Teorema di cambiamento di variabile negli integrali tripli: Coordinate cilindriche e sferiche.

Superfici. Condizione necessaria per curve regolari (Dim*). Esistenza piano tangente. Superfici di rotazione. Il Teorema di Pap. Superfici coniche e sferiche. Integrali superficiali e le loro proprietà. Baricentro di una superficie. Calcolo di un flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Teorema della Divergenza in R³. Teorema di Stokes in R³.

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza uniforme. Teorema sull’inversione dei limiti (Dim*). Teorema sulla continuità dei limiti. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Passaggio al limite sotto il segno di derivata. Serie di funzioni. Definizioni di convergenza puntuale, uniforme, uniforme assoluta, potenze: lemma (Dim*). Raggio di convergenza. Teorema di Cauchy-Hadamard. Teorema di D’Alambert. Serie di Taylor. Funzione sviluppabile in serie di Taylor. Esempio di funzione non sviluppabile. Condizione sufficiente per la sviluppabilità. Sviluppabilità di e^x.

INSIEME CONNESSO

Sia A ⊆ ℝⁿ un insieme connesso se e solo se non esistono due aperti A₁, A₂ non vuoti e disgiunti A₁ ∪ A₂ = A

• A é aperto ↔ ∃A₁, A₂ aperti, non vuoti e disgiunti A₁ ∪ A₂ = A

Sia A ⊆ ℝⁿ con A chiuso, allora A è connesso se:

• A chiuso e connesso ↔ B₁, B₂ chiusi, non vuoti e disgiunti: B₁ ∪ B₂ = A

Diamo ora uno del genereico

• (A è connesso) ↔ B₁, B₂ aperti su A, non vuoti

CONNESSIONE SUFFICIENTE

Sia A ⊆ ℝⁿ. Se ∃P,Q ⊂ A è un insieme connesso contenente P e Q e contenuto in A, allora ∃ un minimo connesso

1. Terma 1: Per un i---- gen insieme connessi non si intervulscono.
2. Teorema 2: Per b non c'era di riconoscibili lineare connessa con ∪ connesso.
3. Teorema 3: Se ∃P,A proposone che strem P,Q tiene parte della fronti di A, allora A è connesso.

Inoltre possiamo dire che una funzione vettoriale è derivabile se e soltanto

se ognuna... funzione componente è derivabile e risulta che

(t) = (t) , .... , (t)

L^3 di ognuna.... vettore derivato

è uguale al vettore componente

delle derivate.

Quindi disegnare una curva significa disegnare una funzione

: E ( a, b]

CURVA CHIUSA :...

(punti iniziali ed estremi sono uguali)

CURVA APERTA :...

CURVA SEMPLICE :...

LEMNISCATA DI BERNOULLI

Tutto ciò abbiamo dimostrato

Pasando ... l'integrale

CHIUSA MA NON SEMPLICE

Una curva in R^3 è... peculiare...