Analisi Matematica 2

Corso di analisi 2 - 9 CFU

Trattazione teorica

Università Federico II di Napoli
Laurea in Ingegneria Elettronica

Programma di analisi matematica II - 9 CFU

Topologia in R

Funzioni scalari, funzioni vettoriali di una variabile reale, funzioni vettoriali di più variabili reali. Norma e modulo di un vettore in R. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (Dim*). Definizioni di punto interno, di frontiera, esterno, di accumulazione, isolato. Insieme aperto, chiuso, perfetto, connesso, connesso per poligonali. Definizione di poligonale in R, di insieme connesso per poligonali, di insieme compatto e limitato.

Funzioni in più variabili

Insiemi di definizione, funzione composta. Concetto di limite e verifica dei limiti. Teoremi sul limite (unicità, confronto e algebra dei limiti). Funzioni continue. Teorema sulla funzione composta. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri (Dim). Teorema di Bolzano. Teorema di Bolzano-Weierstrass (Dim). Definizione di funzione uniformemente continua. Teorema di Cantor.

Calcolo differenziale

Definizioni di derivabilità parziale (rispetto a x e y). Definizione di gradiente. Legame tra derivabilità e continuità. Definizione di derivata direzionale. Definizione di funzione differenziabile. Definizione di differenziale. Condizione necessaria per la differenziabilità (Dim). Condizione sufficiente per la differenziabilità (Dim). Teorema sulla derivazione della funzione composta. Teorema del gradiente (Dim) e significato geometrico. Teorema del piano tangente (Dim). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Definizione di Hessiano di una funzione. Teorema sulle funzioni a gradiente nullo (Dim). Formula di Taylor del II ordine con il resto di Lagrange (Dim*). Estremi relativi (massimo e minimo). Teorema di Fermat [C.N.1 sugli estremi relativi] (Dim). Condizione necessaria 2 sugli estremi relativi (Dim). Condizione sufficiente sugli estremi relativi. Punti di massimo e minimo assoluti.

Funzioni implicite

Teorema del Dini (Esistenza Dim – Continuità Dim*). II Teorema del Dini. Teorema del Dini per un’equazione in n incognite.

Equazioni differenziali

Problema di Cauchy e significato geometrico. Teorema di Peano. Definizione di funzione Lipschitziana. Condizione sufficiente per la Lipschitzianità (Dim). Condizione sufficiente 2. Teorema di esistenza e unicità “in grande” [n=1]. Definizione di integrale generale e di integrale particolare in un’equazione differenziale. Equazione differenziale del I ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari. Metodo di Lagrange. Equazioni differenziali del II ordine. Definizione di funzioni linearmente indipendenti e di Wronskiano. Teorema del Wronskiano (Dim*).