Analisi matematica 2

Forme quadratiche

Matrici quadrate definite, semidefinite e indefinite

Sia A = (a_ij), con i, j = 1, 2, ..., n, una matrice quadrata e F: Rⁿ → R una funzione associata alla matrice A data da

F(λ) = (A λ, λ), λ ∈ Rⁿ

dove λ è la variabile in Rⁿ, A λ è il prodotto righe per colonne della matrice quadrata n × n, per λ, vettore colonna n × 1; (A λ, λ) è il prodotto scalare tra il vettore colonna A λ e λ.

Definizione di forma quadratica

Si definisce associata ad A, il polinomio omogeneo di secondo grado nelle componenti di λ dato da

F(λ) = (A λ, λ) = ∑_i,j=1ⁿ a_ijλ_iλ_j, ∀λ ∈ Rⁿ.

Definizione di matrice definita positiva

Una matrice A = (a_ij) si dice definita positiva se la forma quadratica associata è positiva su Rⁿ:

∑_i,j=1ⁿ a_ijλ_iλ_j > 0, ∀λ ∈ Rⁿ, λ ≠ 0.

Definizione di matrice semidefinita positiva

Una matrice A = (a_ij) si dice semidefinita positiva se la forma quadratica associata è maggiore o uguale a zero su Rⁿ:

∑_i,j=1ⁿ a_ijλ_iλ_j ≥ 0, ∀λ ∈ Rⁿ.

Analogamente si ottengono le definizioni di matrice definita negativa e semidefinita negativa.

Definizione di matrice indefinita

Una matrice A = (a_ij) si dice indefinita se la forma quadratica associata cambia di segno su Rⁿ, ovvero se esistono λ, µ ∈ Rⁿ tali che:

∑_i,j=1ⁿ a_ijλ_iλ_j > 0, ∑_i,j=1ⁿ a_ijµ_iµ_j < 0.

Teorema di caratterizzazione delle matrici definite

Una matrice A = (a_ij) si dice:

• Definita positiva ⇔ ∃ m > 0: ∑_i,j=1ⁿ a_ijλ_iλ_j ≥ m|λ|², ∀λ ∈ Rⁿ.
• Definita negativa ⇔ ∃ m > 0: ∑_i,j=1ⁿ a_ijλ_iλ_j ≤ -m|λ|², ∀λ ∈ Rⁿ.

Dim. Se vale la (1) allora ∑_i,j=1ⁿ a_ijλ_iλ_j > 0, ∀λ ∈ Rⁿ \{0}, quindi la matrice A = (a_ij) è definita positiva. Viceversa, supponiamo che A = (a_ij) sia una matrice definita positiva. Sia, allora, F la forma quadratica associata ad A:

F(λ) = (A λ, λ) = ∑_i,j=1ⁿ a_ijλ_iλ_j, |λ| = 1.

In particolare, l'insieme K = {λ ∈ Rⁿ | |λ| = 1} è un compatto di Rⁿ e, per il teorema di Weierstrass, la funzione F assume un punto di minimo su K. Sia λ₀ tale che F(λ₀) = min F(λ), allora, si ha:

F(λ₀) = (A λ₀, λ₀) > 0.

Ponendo m = F(λ₀), si ha che ∑_i,j=1ⁿ a_ijλ_iλ_j ≥ m, ∀λ ∈ Rⁿ, |λ| = 1.

Dalla relazione ottenuta, segue che ∑_i,j=1ⁿ a_ijλ_iλ_j ≥ m|λ|², ∀λ ∈ Rⁿ \{0}, e banalmente la tesi risulta ovvia per λ = 0. Analogamente si ottiene la caratterizzazione per le matrici definite negative.

Teorema di caratterizzazione delle matrici × 2

Sia A = (a₁₁ a₁₂; a₁₂ a₂₂) una matrice simmetrica 2 × 2 e indichiamo con det A = a₁₁a₂₂ - a₁₂² il suo determinante. Risulta:

• Det A > 0 e a₁₁ > 0: definita positiva
• Det A > 0 e a₁₁ < 0: definita negativa
• Det A = 0 e a₁₁ ≥ 0: semidefinita positiva
• Det A = 0 e a₁₁ ≤ 0: semidefinita negativa
• Det A < 0: indefinita

Dim. Sia F(λ₁, λ₂) = a₁₁λ₁² + 2a₁₂λ₁λ₂ + a₂₂λ₂² la forma quadratica associata alla matrice A. Supponiamo inizialmente che a₁₁ = 0. Si consideri λ = (λ₁, λ₂), con λ₂ = 0 e sia t = λ₁ / λ₂. Si ottiene in tal modo il seguente polinomio nella variabile t:

φ(t) = a₁₁t² + 2a₁₂t + a₂₂ che ha per grafico una parabola con vertice nel punto t = -a₁₂/a₁₁ in cui si annulla la derivata φ'(t). Il valore di massimo o di minimo è φ(-a₁₂/a₁₁) = a₁₂²/a₁₁ - det A/a₁₁.

• Se det A > 0 e a₁₁ > 0, la parabola φ(t) è convessa e assume valori positivi ∀t ∈ R. In questo caso, risulta F(λ₁, λ₂) > 0 ∀(λ₁, λ₂) ∈ R², con λ₁ = 0 e F(λ₁, 0) > 0 con λ₁ = 0.
• Se det A = 0 e a₁₁ > 0, ⇒ F(λ₁, λ₂) ≥ 0 e F(λ₁, λ₂) = 0 per t = -a₁₂/a₁₁. In questo caso, la matrice A è semidefinita positiva (con a₁₁ > 0 e a₂₂ = 0 si ottiene ugualmente la forma quadratica F(λ₁, λ₂) semidefinita negativa.
• Se det A < 0, allora φ assume sia valori di segno positivo che valori di segno negativo, quindi F(λ₁, λ₂) è indefinita.

La formula di Taylor

Sia f: C² un aperto di Rⁿ, e sia x₀ un punto interno ad A. Si ha allora in un intorno di x₀:

f(x) = f(x₀) + (∇f(x₀), x - x₀) + (1/2)(∇²f(x₀)(x - x₀), x - x₀) + R(x, x₀)

dove ∇f rappresenta il gradiente di f, ∇²f la matrice hessiana delle derivate parziali seconde di f, ed infine R è infinitesimo di ordine superiore a ||x - x₀||²:

lim (R(x, x₀)/||x - x₀||²) = 0 per x → x₀.

Dimostrazione

Per la funzione di una variabile g(t) = f(x₀ + tv), vale la relazione:

g(t) = g(0) + g'(0)t + (1/2)g''(τ)t², dove τ è un punto compreso tra 0 e t.

Ora si ha g(0) = f(x₀), g'(0) = (∇f(x₀), v), g''(0) = (∇²f(x₀)v, v).

Introducendo questi valori nella precedente relazione, avremo:

f(x₀ + tv) = f(x₀) + (∇f(x₀), v)t + (1/2)(∇²f(x₀)v, v)t² + R(x, x₀),

dove si è posto R = (1/2)([∇²f(x₀ + tv) - ∇²f(x₀)]v, v).

In particolare, se prendiamo v = (x - x₀)/||x - x₀||, avremo:

f(x) = f(x₀) + (∇f(x₀), x - x₀) + (1/2)(∇²f(x₀)(x - x₀), x - x₀) + R(x, x₀).

R è infinitesimo di ordine superiore a ||x - x₀||².

Resta da dimostrare che R è infinitesimo di ordine superiore a ||x - x₀||². Dividendo la relazione per ||x - x₀||², si ottiene:

R(x, x₀)/||x - x₀||² = (1/2)[∇²f(x₀ + tv) - ∇²f(x₀)]v, v)/||x - x₀||².

E dunque, lim (R(x, x₀)/||x - x₀||²) ≤ (1/2)|D²f(x₀ + tv) - D²f(x₀)| per x → x₀.

Quando x → x₀, τ → 0 e, quindi, poiché le derivate seconde sono continue: lim (R(x, x₀)/||x - x₀||²) = 0 per x → x₀.

Funzioni composte

Siano x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) funzioni reali, rappresentanti le componenti della funzione x: E ⊂ R → Rⁿ, definita come segue:

x(t) = (x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t)), t ∈ E.

In tal modo x(t) è un vettore di Rⁿ, dipendente da t. Indichiamo con F un aperto di Rⁿ, che contiene il codominio dell’applicazione x: E → Rⁿ. Supponiamo che per ogni t ∈ E la funzione composta:

g(t) = f(x(t)) = f ∘ x(t), ∀t ∈ E.

La funzione composta g: E → R è una funzione reale di variabili reali.

Funzioni definite tramite integrali

Sia Φ: A ⊂ Rⁿ → R una funzione definita su un aperto A di Rⁿ per mezzo della seguente espressione integrale:

Φ(x) = ∫_α(x)^β(x) f(x, t) dt, x ∈ A

dove f: A × R → R è una funzione continua di n + 1 variabili reali.

Funzioni di più variabili

Qui di seguito vengono richiamate brevemente le proprietà topologiche di Rⁿ. Si definisce norma di un vettore x ∈ Rⁿ, con x = (x₁, ..., x_n), la seguente espressione:

|x| = √∑_i=1ⁿ x_i².

Fissato x₀ ∈ Rⁿ, si dice intorno circolare di x₀ una sfera aperta non vuota di centro x₀:

I_δ(x₀) = {x ∈ Rⁿ : |x - x₀| < δ}.

• Dato A ⊆ Rⁿ, un punto x₀ ∈ Rⁿ si dice interno ad A se ∃δ > 0 t.c. I_δ(x₀) ⊂ A;
• Esterno ad A se ∃δ > 0 t.c. I_δ(x₀) ∩ A = ∅;
• Di frontiera per A se ∀δ > 0 risulta I_δ(x₀) ∩ A ≠ ∅ e I_δ(x₀) \ A ≠ ∅;
• Di accumulazione per A se ∀δ > 0: (I_δ(x₀) \ {x₀}) ∩ A ≠ ∅;
• Isolato di A se x₀ ∈ A e non è di accumulazione.

Inoltre, un insieme A ⊆ Rⁿ si dice aperto se ogni x₀ ∈ A è interno ad A e si dice chiuso se il complementare C_A = Rⁿ \ A è aperto (l'insieme ∅ e tutto Rⁿ sono gli unici insiemi contemporaneamente aperti e chiusi). La chiusura di un insieme A, indicata con Ā, è l'insieme formati dall'unione dei punti di A e dei punti di accumulazione di A (la chiusura di un insieme è un chiuso).

Un dominio di Rⁿ è la chiusura di un insieme aperto quindi, un dominio è un insieme chiuso. Un insieme aperto A ⊆ Rⁿ si dice connesso se non esistono A₁, A₂ aperti non vuoti di Rⁿ tali che A₁ ∪ A₂ = A, A₁ ∩ A₂ = ∅. In particolare, un dominio si dice connesso se è la chiusura di un aperto connesso.

Allo scopo di dare la definizione di connessione per poligonali ricordiamo che un segmento in Rⁿ di estremi x₁ e x₂ è l'insieme dei punti di Rⁿ tali che x(t) = x₁ + t(x₂ - x₁), con t ∈ [0, 1]; inoltre, una poligonale di Rⁿ di vertici x₁, ..., x_k (x₁ e x_k sono detti estremi della poligonale), tali che k ≥ 2 e x_i ≠ x_i+1 per ogni i = 1, 2, ..., k - 1, è l'unione dei segmenti di estremi x_i, x_i+1 per i = 1, ..., k - 1.

Un aperto A ⊆ Rⁿ è detto connesso per poligonali, se per ogni coppia di punti di A esiste una poligonale, di estremi nei due punti, tutta contenuta nell'aperto. E' possibile provare che ogni aperto connesso è un aperto connesso per poligonali e viceversa.

Un insieme A ⊆ Rⁿ si dice limitato se ∃M > 0 t.c. |x| < M per ogni x ∈ A.

Definizione di compatto

Un insieme K ⊆ Rⁿ si dice compatto se da ogni successione di elementi di K è possibile estrarre una sottosuccessione convergente ad un elemento di K. In particolare il teorema di Heine-Borel afferma che un insieme A ⊆ Rⁿ è compatto se e solo se A è chiuso e limitato.

A questo punto siamo in grado di dare la definizione di limite e di continuità per una funzione di più variabili. In particolare la definizione di limite per una funzione di più variabili reali rappresenta la naturale estensione di quella per funzioni di una variabile reale.

Definizione di limite

Sia f: A → R, con A ⊆ Rⁿ, e x₀ un punto di accumulazione per l'insieme A. Si dice che f(x) tende ad l ∈ R ∪ {±∞} per x che tende ad x₀ e si scrive:

lim_x→x0 f(x) = l

se, per ogni intorno U ⊆ Rⁿ di l esiste un intorno I_δ(x₀) ⊆ Rⁿ di x₀ tale che:

f(x) ∈ U per ogni x ∈ I_δ(x₀) ∩ A \ {x₀}.

Se il limite è finito, quindi se l ∈ R, si scrive:

∀ε > 0 ∃δ > 0 t.c. ∀x ∈ A \ {x₀}, |x - x₀| < δ ⇒ |f(x) - l| < ε.

Definizione di continuità

Si dice che la funzione f: A → R, con A ⊆ Rⁿ, e x₀ un punto di accumulazione per l'insieme A, è continua in x₀ ∈ A se:

lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

f è continua nell'insieme A se è continua in ogni punto di accumulazione x₀ ∈ A (cioè nessuna condizione sui punti isolati).

Definizione di funzione Lipschitziana

Una funzione f: A → R, con A ⊆ Rⁿ, si dice Lipschitziana su A, se esiste una costante, detta costante di Lipschitz, L > 0, tale che per ogni coppia di punti x, y di A:

|f(x) - f(y)| ≤ L |x - y|.

Inoltre, una contrazione è una funzione Lipschitziana di uno spazio in se stesso, con costante di Lipschitz L < 1. E' evidente che se f è Lipschitziana su A, allora essa è anche uniformemente continua in A.

La continuità e la differenziabilità di funzioni definite tramite integrali

Teorema (Continuità della funzione integrale)

Sia f: A × R → R una funzione continua di n + 1 variabili reali e siano α(x) e β(x) due funzioni reali continue e definite in A. Allora la funzione integrale:

Φ(x) = ∫_α(x)^β(x) f(x, t) dt, risulta anch'essa continua in A.

Dimostrazione

Consideriamo inizialmente la funzione F: A × R → R, tale che:

F(x, y, z) = ∫_y^z f(x, t) dt, x ∈ A ⊂ Rⁿ, y, z ∈ R

Provando che tale funzione è continua su A × R, allora anche la funzione Φ(x) = F(x, α(x), β(x)) lo sarà, essendo composizione di funzioni continue.

Fissando un punto (x₀, y₀, z₀) ∈ A × R, si consideri un compatto K × [a, b] contenente un intorno del punto (x₀, y₀, z₀). Utilizzando il teorema di Weierstrass si ha che esiste un M > 0 tale che |f(x, t)| ≤ M per ogni (x, t) ∈ K × [a, b].

Inoltre si ha che per ogni (x, y, z) ∈ K × [a, b]:

|F(x, y, z) - F(x₀, y₀, z₀)| ≤ M|y - y₀| + M|z - z₀|.

Essendo la funzione g(x, t) = |f(x, t) - f(x₀, t)| continua nel compatto K × [a, b], in base al teorema di Cantor essa sarà anche uniformemente continua, di conseguenza fissato un ε > 0 esiste un δ > 0 tale che scelta una qualunque coppia (x₁, t₁), (x₂, t₂) di punti di K × [a, b] aventi distanza minore di δ, risulta che:

|g(x₁, t₁) - g(x₂, t₂)| < ε.

In particolare, se (x₁, t₁) = (x, y) e (x₂, t₂) = (x₀, y₀), essendo g(x₂, t₂) = 0, allora si ha:

|g(x, t)| = |f(x, t) - f(x₀, t)| < ε con |x - x₀| < δ.

Se inoltre |y - y₀| < ε, e |z - z₀| < ε, si ottiene in conclusione che:

|F(x, y, z) - F(x₀, y₀, z₀)| ≤ (2M + b - a)ε.

Teorema (Differenziabilità della funzione integrale)

Sia f: A × R → R una funzione continua di n + 1 variabili reali di classe C¹ in A ed inoltre siano α(x) e β(x) due funzioni reali di classe C¹ in A, allora la funzione integrale:

Φ(x) = ∫_α(x)^β(x) f(x, t) dt, e` ancora di classe C¹ in A e le componenti del suo gradiente DΦ per ogni i ∈ {1, 2, ..., n} risultano:

∂Φ/∂x_i = f(x, β(x))∂β(x)/∂x_i - f(x, α(x))∂α(x)/∂x_i + ∫_α(x)^β(x) ∂f/∂x_i(x, t) dt.