Analisi matematica 2

D

Il significato geometrico dell’integrale doppio rappresentato

in (2) è il seguente.

Definizione. Se la funzione f (x, y) è una funzione non negativa

∈

al variare di (x, y) D l’integrale doppio di f esteso a D esprime

3

R

volume delimitato dall’insieme D del piano

il del solido di 3

R ,

x, y dal grafico della funzione (sostegno di una superficie in

3

{(x, ∈ R ≥

contenuta nel semispazio y, z) : z 0}) e dai segmenti

paralleli all’asse z e passanti per i punti della frontiera.

Si ha infatti il seguente esempio.

cilindroide

Esempio. Si definisce generato da D e f il solido

S descritto da

{(x, ∈ ≤ ≤

S = y, z) : (x, y) D e 0 z f (x, y)} ,

allora il volume del cilindroide è dato da

V = f (x, y) dxdy.

S D

Infine si osservi che vale la seguente definizione. , .., D

Definizione. Sia D unione disgiunta di domini normali D 1 N

, allora

N

f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy.

i=1

D D

i

2

Domini Normali

Come il calcolo differenziale, anche la teoria dell’integrazione si

può estendere a funzioni di più variabili.

Nel caso di funzioni ad una sola variabile gli integrali vengono

calcolati prevalentemente su intervalli, nel caso di due variabili si

prediligono particolari domini di integrazione, come ad esempio,

rettangoli, triangoli, cerchi, ellissi o altro, i quali, come vedremo,

hanno particolari proprietà geometriche.

Qui di seguito tratteremo i domini normali che come pre-

messo rivestono un ruolo fondamentale nella teoria dell’integrazione

per funzioni di due o più variabili.

Definizione. Siano α, β : [a, b] −→ R due funzioni continue tali

che α (x) ≤ β (x) , per ogni x ∈ [a, b]. L’insieme:

D = {(x, y) ∈ [a, b] × R : α (x) ≤ y ≤ β (x)}

si dice dominio normale rispetto all’asse x e la sua misura

(o area) è definita da: Z b

m (D) = (β (x) − α (x)) dx

a

Definizione. Analogamente, consideriamo due funzioni γ, δ :

[c, d] −→ R continue con γ (x) ≤ δ (x) , ∀ x ∈ [c, d] e definiamo

l’insieme: E = {(x, y) ∈ R × [c, d] : γ (y) ≤ x ≤ δ (y)}

come dominio normale rispetto all’asse y, la cui misura è:

Z d

m (E) = (δ (y) − γ (y)) dy

c 1

Definizione. Consideriamo un dominio normale D rispetto all’asse

delle x D = {(x, y) ∈ [a, b] × R| α (x) ≤ y ≤ β (x)} .

1

Si dice che D è regolare se α,β sono di classe C . Un dominio

regolare D è un’unione finita di domini regolari a due a due privi

di punti interni in comune.

Definizione. Sia D un dominio normale rispetto all’asse x. Al-

lora una partizione di D in domini normali è un insieme finito

{D , D , ..., D } di domini normali rispetto all’asse x tali che

1 2 h

1) D ⊆ D ∀i = 1, ..., h

i

h

2) ∪ D = D

i

i=1

3) ∀ i 6 = j, D e D non hanno punti interni comuni

i j

Definizione. Dato A dominio, si definisce diametro di A come

segue: diam (A) = sup {|x − y| : x, y ∈ A}

Esempio. Il diametro di un rettangolo R è la misura della

diagonale perché rappresenta la massima distanza:

√ 2 2

diam (R) = a + b

Lemma. Sia D un dominio normale rispetto all’asse x. Allora

∀δ > 0 esiste una partizione di D in domini normali con diametro

minore di δ.

Dim. Fissiamo k ∈ R. Suddividiamo [a, b] in k intervalli indi-

viduati dai punti

a = x < x < x < ... < x = b

0 1 2 k

2

tale che i

x = a + (b − a) i = 0, ..., k.

i k

Definiamo poi k + 1 funzioni continue in [a, b] indicate con ϕ =

j

ϕ (x) tale che

j α (x) = ϕ (x) ≤ ϕ (x) ≤ ϕ (x) ≤ ... ≤ ϕ (x) = β (x)

0 1 2 k

e j

ϕ = α + (β − α) j = 0, ..., k

j k

Consideriamo il dominio D , normale rispetto all’asse x, t.c.

ij

∀i, j = 1, ..., k

© ª

2

D = (x, y) ∈ R : x ≤ x ≤ x , ϕ (x) ≤ y ≤ ϕ (x)

ij i−1 i j−1 j

Osserviamo che ∀i = 1, ..., k risulta

i i − 1

x − x = a + (b − a) − a − (b − a) (1)

i i−1 k k

1

= (b − a)

k

Inoltre, detti m = min α (x) , M = max β (x)

x∈[a,b] x∈[a,b]

(esistenti per il teorema di Weierstrass ) risulta

m ≤ α (x) ∀x ∈ [a, b] =⇒ − m ≥ −α (x) (2)

β (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b]

3

e ∀j = 1, ..., k è j

ϕ (x) − ϕ (x) = α (x) + (β (x) − α (x)) +

j j−1 k j − 1

−α (x) − (β (x) − α (x))

k

1

= (β (x) − α (x)) ≤ (per le (2))

k

1

≤ (M − m) (3)

k

Dalle (1) e (3) si deduce che D è contenuto nel rettangolo di

ij

lati 1 1

(b − a) e (M − m) .

k k

Pertanto il diam (D ) è minore o uguale del diametro del ret-

ij

tangolo citato e, per quanto visto nell’esempio precedente, si ha

sµ ¶ µ ¶

2 2

M − m

b − a

diam (D ) ≤ +

ij k k

Per k sufficientemente grande risulta diam (D ) < δ. Basta

ij

infatti scegliere q

1 2 2

(b − a) + (M − m)

k> δ

Ovviamente il lemma precedente vale anche per domini nor-

mali rispetto all’asse y. A conclusione di questo paragrafo enun-

ciamo la seguente proposizione.

Proposizione. (Additività della misura). Siano D un do-

minio normale D e {D , ..., D } una partizione di D in domini

1 h

normali. Allora: h

X

m (D) = m (D ) .

i

i=1

4

La misura è finitamente additiva.

5

Orientamento di una Curva

n

Definizione. Sulla curva γ : I → R si fissa un orientamento

(o verso di percorrenza) ordinando i punti nel seguente modo:

il punto P = γ(t ) precede su γ il punto P = γ(t ) nel verso

1 1 2 2

delle t crescente se t < t .

1 2

In tal modo una volta scelto un verso di percorrenza, detto

+ −

verso positivo, indicheremo rispettivamente con γ e γ il verso

di percorrenza positivo e negativo.

1

Retta Tangente n

Definizione. Sia γ : I → R una curva regolare si definisce

retta tangente alla curva nel punto γ(t ) la retta di equazioni

0

0 (t ). ∀i = 1, ..., n

x (t) = γ (t ) + (t − t )γ 0

i i 0 0 i

0 0

Il vettore γ (t ) = (γ (t )) è detto vettore tangente alla

0 0

i i=1,...,n

curva γ nel punto γ(t ), mentre il versore

0 0

γ (t )

0

T (t ) =

0 0

|γ (t )|

0

è detto versore tangente.

Si osservi che la condizione di regolarità della curva garantisce

che essa ammetta un unico versore tangente nel relativo punto,

in tal modo la curva sarà priva di cuspidi o punti angolosi.

1

Curva Semplice n

Definizione. Una curva γ : I → R si dice semplice se presi

t , t ∈ I, di cui almeno uno interno, si ha

1 2 γ(t ) 6 = γ(t ) con t 6 = t .

1 2 1 2

1

Esempi relativi al calcolo della Lunghezza

di una curva

Esempio. (Lunghezza in coordinate polari) A volte una

curva piana è data in coordinate polari:

½ ρ = ρ(t) , a ≤ t ≤ b,

φ = φ(t)

che corrispondono alle equazioni parametriche

½ x = ρ(t) cos φ(t) , a ≤ t ≤ b.

y = ρ(t) sin φ(t)

In questo caso si ha

½ 0 0 0

x (t) = ρ (t) cos φ(t) − ρ(t) sin φ(t)φ (t) .

0 0 0

y (t) = ρ (t) sin φ(t) + ρ(t) cos φ(t)φ (t)

0 2 0 2 0 2 2 0 2

e quindi x (t) + y (t) = ρ (t) + ρ (t)φ (t) .

Avremo allora Z p

b 0 2 2 0 2

L = ρ (t) + ρ (t)φ (t) dt.

a

Calcoliamo ad esempio la lunghezza della cardioide, di equazione

ρ = (1 + cos φ), 0 ≤ φ ≤ 2π.

Si ha Z q

2π 2 2

L = sin φ + (1 + cos φ) dφ =

0 ¯ ¯

Z Z

p ¯ ¯

2π 2π φ

¯ ¯

= 2 + 2 cos φ)dφ = 2 cos dφ,

¯ ¯

2

0 0

da cui, con il cambiamento di variabili 2u = φ,

Z Z π

π 2

L =4 |cos u| du = 8 cos udu = 8.

0 0

1

Esempio. Il segmento γ che congiunge i punti x e x ha equazioni

1 2

parametriche

x = x + t (x − x ) con 0 ≤ t ≤ 1.

1 2 1

Si ha allora 0

γ (t) = x − x ,

2 1

e, quindi, la sua lunghezza è

Z 1 0

kγ (t)k dt = kx − x k .

2 1

0

Da come si evince, la lunghezza di un segmento è uguale alla

distanza tra i suoi estremi.

Esempio. (Lunghezza dei grafici) Se la curva in esame è il

grafico di una funzione y = f (x) (ossia se ha equazione x = t,

y = f (t)) la sua lunghezza è

Z p

b 0 2

L = 1 + f (t) dt,

a

che cambiando t in x si può anche scrivere

Z p

b 0 2

1 + f (x) dx.

L = a 2

Integrabilità delle Funzioni Continue

2

Sia D un dominio normale di R e sia f : D −→ R una funzione

continua. Allora f è integrabile in D. 2

Poiché un dominio normale di R è un compatto (chiuso

Dim.

e limitato), ed essendo f continua, per il teorema di Cantor, è

anche uniformemente continua, cioé: 0 0

∀² > 0 ∃ δ > 0 : ∀ (x, y) , (x , y ) ∈ D

tale che 0 0 0 0

|(x, y) − (x , y )| < δ =⇒ |f (x, y) − f (x , y )| < ε (1)

Fissato ε, in corrispondenza del δ, per il lemma sull’esistenza

di una partizione di un dominio normale, esiste una partizione

P = {D , ..., D } tale che diam (D ) < δ ∀i = 1, .., h. In D la f

1 h i i

è dotata di min e max (per il teorema di Weierstrass), cioè:

0 0

∃ (x , y ) ∈ D , (x , y ) ∈ D :

i i i i

i i 0 0

f (x , y ) = max f, f (x , y ) = min f. (2)

i i i i

D D

i i

Dalla definizione di diametro risulta

0 0

|(x , y ) − (x , y )| ≤ diam (D ) < δ

i i i

i i 0 0

=⇒ per la (1): |f (x , y ) − f (x , y )| < ε (3)

i i i i

ovvero per la (2) ¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

max f − min f < ε (4)

¯ ¯

D D

i i

1

Utilizzando l’additività della misura, si ha: h

h X

X f − m (D ) min f =

S (P ) − s (P ) = m (D ) max i

i D i

i=1 i=1 D i

&m