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Appunti di Analisi 2

Conoscenze e abilità da conseguire
Affinamento e arricchimento degli strumenti matematici di base (serie, curve, vari tipi di integrale, equazioni differenziali) per la risoluzione di tipici problemi applicativi.

Programma/Contenuti
Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:
Introduzione Elementi di topologia, spazi metrici e spazi normati. Funzioni da R^n... Vedi di più

Esame di Analisi matematica docente Prof. C. Ravaglia

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ESTRATTO DOCUMENTO

⊂ R → R

N +1 N

Anche nel caso di sistemi il problema di Cauchy ha una e una sola soluzione: sia ,

A f : A

∂f

∀i ∀i ∈ ⊂

continua, derivabile parzialmente rispetto a , continua ,

f y = 1, 2, , N = 1, 2, . . . , N (a, b) A

i

{ ∂y i

y = f (x, y)

R × R N , allora il problema di Cauchy ammette una e una sola soluzione massimale.

y(a) = b

5.4 Equazioni di ordine n

′ ′ ′′

Un’equazione del primo ordine si scrive come di secondo ordine e così via

F (x, y, y ) = 0, F (x, y, y , y ) = 0,

( )

′ ⊂ R → R,

n+2

(n)

fino all’ordine Sia , per le derivate, più e intervallo

n: F x, y, y , . . . , y = 0. Ω n x y, F : Ω I

( )

R, → R, (n)

non degenere di dico che è soluzione di se

φ : I φ F x, y, y , . . . , y = 0

1. derivabile volte;

φ n

( )

∈ ∈

(n)

2. (∀x I) x, φ(x), φ (x), . . . , φ (x) Ω;

( )

∈ (n)

3. (∀x I) F x, φ(x), φ (x), . . . , φ (x) = 0.

C’è un particolare legame tra i sistemi e le equazioni di ordine infatti, supponendo derivabile volte,

n, y n

possiamo porre 

 y = y

 1

 ′

 y = y

 2 ′′

y = y

3

 ..

 .

 (n−1)

y = y

n

′ ′ ′ ′

e risulta che , , fino a dando condizioni, l’ultima è

y = y y = y y = y n 1 F (x, y , y , . . . , y , y ) = 0

2 3 n 1 2 n n

1 2 n−1

e quindi abbiamo un sistema del primo ordine:

 ′

 y = y

 2

 1

 ′

 y = y

 3

2

.. .

.

 ′

 y = y

 n

 n−1 ′

F (x, y , y , . . . , y , y ) = 0

1 2 n n

Un’equazione è di tipo normale se possiamo esplicitare la derivata di ordine massimo:

( )

(n) (n−1)

y = f x, y, y , . . . , y .

⊂ R → R, R, → R,

n+1 (n)

Sia , intervallo non degenere di allora è soluzione di

A f : A I φ : I φ y =

( )

′ (n−1) se e solo se

f x, y, y , . . . , y

1. derivabile volte;

φ n

( )

∈ ∈

(n−1)

2. (∀x I) x, φ(x), φ(x) , . . . , φ(x) A;

( )

∈ (n) (n−1)

3. .

(∀x I) φ(x) = f x, φ(x), φ(x) , . . . , φ(x)

Il problema di Cauchy nel caso di equazioni di ordine superiore richiede condizioni iniziali, anche sulle

n

derivate: ( )

 ′

(n) (n−1)

 y = f x, y, y , . . . , y

 y(a) = b

 0

y (a) = b (5.4)

.

1

 ..

 .

 (n−1)

y (a) = b

n−1

⊂ R → R ∀k −

n+1 (k)

Sia aperto, continua, derivabile parzialmente rispetto a

A f : A f y = 0, 1, . . . , n 1,

∂f ∀k − 5.4 ammette una e una sola

continua allora il problema di Cauchy dell’Equazione

= 0, 1, . . . , n 1,

(k)

∂y

soluzione massimale. 26

Capitolo 6

Equazioni differenziali lineari

′ ′

Un’equazione differenziale lineare è del tipo cioè un polinomio di primo grado in e

y = a(x)y + b(x), y y

per fissato e in generale non sono a variabili separabili, cosa che accade se vale Sia intervallo non

x b 0. I

R, → R → R,

degenere di continue, dico che è soluzione di se

a, b : I φ : I φ y = a(x)y + b(x)

1. derivabile;

φ ′

2. (∀x I) φ (x) = a(x)φ(x) + b(x).

In questa definizione di soluzione la varia su cioè il dominio è il più grande possibile, quindi in questo

x I,

contesto si considerano solo le soluzioni massimali. −α(x)

R, → R

Sia intervallo non degenere di continue, primitiva di primitiva di

I a, b : I α a(x), β e b(x),

→ R, α(x)

allora tutte le soluzioni di sono date da al variare di

φ : I y = a(x)y + b(x) φ(x) = e (β(x) + c)

∈ R.

c Dimostrazione

′ ′ −α(x) ′ −α(x)

⇒ − ⇒ −

φ (x) = a(x)φ(x) + b(x) φ (a) a(x)φ(x) = b(x) e (φ (a) a(x)φ(x)) = e b(x)

d

−α(x) ′ −α(x) −α(x) −α(x) ′ −α(x)

⇒ − ⇒ ⇒

e φ (a) e a(x)φ(x) = e b(x) (e φ(x)) = β (x) e φ(x) = β(x) + c

dx

⇒ α(x)

φ(x) = e (β(x) + c). ′

Nel caso in cui sia nullo l’equazione si riduce alla forma omogenea per cui possiamo scegliere

b y = a(x)y

α(x)

e quindi tutte le soluzioni saranno date da .

β(x) = 0 φ(x) = ce

{ ′

y = a(x)y + b(x) R,

Consideriamo ora il problema di Cauchy con intervallo non degenere di

I a, b :

y(x ) = y

0 0

→ R ∈ ∈ R, → R,

continue, dico che è soluzione se

I x I, y φ : I φ

0 0

1. è soluzione di

φ y = a(x)y + b(x);

2. .

φ(x ) = y

0 0

Risulta che la soluzione è unica ed è data da

φ ˆ

ˆ 

 )

) (

( u

x ˆ − a(t)dt

a(t)dt x 

 

 x

x du + y .

b(u)e

φ(x) = e 0

0 0

x 0 27

6.1 Sistemi di equazioni differenziali lineari

Il sistema si scrive come le equazioni: ma qui e sono vettori e è una matrice quadrata:

y = a(x)y +b(x), y b a

 

   

y y b (x)

1 1 · · ·

1 a (x) a (x)

    

′ 11 1N

y y b (x)

       

.. ..

2 2

2

′ 

     

y = , y = , b(x) = , a(x) = .

.

. .. . .

.

. 

    

. . . · · ·

a (x) a (x)

′ N 1 N N

y y b (x)

N N

N

Possiamo quindi riscrivere il sistema in forma scalare esplicitando il prodotto tra matrici:

 ′ · · ·

 y = a (x)y + + a (x)y + b (x)

 11 1 1

1N N

 1

 ′ · · ·

y = a (x)y + + a (x)y + b (x)

21 1 2

2N N

2 .

..

 .

 ′ · · ·

y = a (x)y + + a (x)y + b (x)

1

N 1 N N N N

N

R, → → R → R

N N

Sia intervallo non degenere di , e continue, , dico che è

I a : I M (R), b : I a b φ : I φ

N

soluzione del sistema se

y = a(x)y + b(x)

1. è derivabile;

φ ′

2. (∀x I) φ (x) = a(x)φ(x) + b(x). { ′

y = a(x)y + b(x) R, →

con intervallo non degenere di

Consideriamo ora il problema di Cauchy I a : I

y(x ) = y

0 0

→ R ∈ ∈ R → R

N N N

, e continue, , , dico che è soluzione se

M (R), b : I a b x I, y φ : I φ

0 0

N ′

1. è soluzione di

φ y = a(x)y + b(x);

2. .

φ(x ) = y

0 0

Risulta che la soluzione è unica, ma non esiste una formula per calcolarla.

φ

6.1.1 Sistemi omogenei R, →

Consideriamo il caso in cui sia intervallo non degenere di continua, e

b(x) = 0: I a : I M (R) φ ψ

N

′ ∈ R,

soluzioni di allora

y = a(x)y, c

′ ′ ′ ′ ′

⇒ ⇒

φ (x) = a(x)φ(x), ψ (x) = a(x)ψ(x) φ (x) + ψ (x) = a(x)φ(x) + a(x)ψ(x) (φ + ψ) (x) = a(x)(φ + ψ)(x)

e quindi la somma di due soluzioni è soluzione e in modo analogo è soluzione.

R N N I

Dato l’insieme delle funzioni da intervallo a questo risulta uno spazio vettoriale; se chiamiamo

I (R ) ⊂ N I

l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo risulta e siccome è chiuso rispetto alla somma

S S (R ) S

N I

e al prodotto per uno scalare risulta un sottospazio vettoriale di , per cui può essere considerato uno

(R ) S R,

spazio vettoriale reale che chiameremo spazio vettoriale delle soluzioni. Sia intervallo non degenere di

I

→ continua, spazio vettoriale delle soluzioni di allora .

a : I M (R) S y = a(x)y, dim S = N

N ′

R, →

Sia intervallo non degenere di continua, spazio vettoriale delle soluzioni di

I a : I M (R) S y = a(x)y,

N ′

prendo dico che è un sistema fondamentale di soluzioni di

φ , φ , . . . , φ S, (φ , φ , . . . , φ ) y = a(x)y

1 2 1 2

N N

se è una base di Sia un sistema fondamentale di soluzioni, allora tutte

(φ , φ , . . . , φ ) S. (φ , φ , . . . , φ )

1 2 1 2

N N

le soluzioni di sono date da

y = a(x)y · · · (6.1)

y(x) = c φ (x) + c φ (x) + + c φ (x)

1 1 2 2 N N

∈ R. 6.1 prende il nome di integrale generale, infatti nel campo delle

al variare di L’Equazione

c , c , . . . , c

1 2 N

equazioni differenziali integrale ha il significato di soluzione.

In generale non è possibile calcolare un sistema fondamentale di soluzioni, questo è possibile solo se la

matrice è costante e non dipende da

a x: y = ay. 28

6.1.2 Sistemi non omogenei

R, → → R

Sia intervallo non degenere di continua, continua, sistema

I a : I M (R) b : I (φ , φ , . . . , φ )

1 2

N N

′ ′

fondamentale di soluzioni di il sistema omogeneo associato a soluzione di

y = a(x)y, y = a(x)y + b(x), ψ

′ ′

allora tutte le soluzioni di sono date da

y = a(x)y + b(x), y = a(x)y + b(x)

· · · (6.2)

φ(x) = c φ (x) + c φ (x) + + c φ (x) + ψ(x).

1 1 2 2 N N

′ ′

Dimostrazione Una soluzione è tale che e sappiamo che

φ φ (x) = a(x)φ(x) + b(x) ψ (x) = a(x)ψ(x) +

facciamo quindi la differenza membro a membro semplifichiamo:

b(x): ′ ′ ′

− − ⇒ − −

φ (x) ψ (x) = a(x)φ(x) a(x)ψ(x) (φ ψ) (x) = a(x)(φ ψ)(x).

− −

Risulta quindi che è soluzione del sistema omogeneo associato e quindi vale:

φ ψ φ(x) ψ(x) = c φ (x) +

1 1

· · · ⇒ · · ·

c φ (x) + + c φ (x) φ(x) = c φ (x) + c φ (x) + + c φ (x) + ψ(x).

2 2 1 1 2 2

N N N N

L’Equazione 6.2 prende ancora il nome di integrale generale del sistema non omogeneo e si ottiene

sommando all’integrale generale del sistema omogeneo un integrale particolare, del sistema non omogeneo.

ψ,

6.2 Equazioni differenziali lineari di ordine n

Come nel capitolo precedente un’equazione di ordine equivale ad un sistema di equazioni e si scrive

n n

· · ·

(n) (n−1)

come in modo che l’ordine di derivata cali e l’indice del coefficiente

y + a (x)y + + a (x)y = b(x),

1 n

cresca. R, → R → R,

Sia intervallo non degenere di continue, dico che è soluzione di

I a , a , . . . , a , b : I φ : I φ

1 2 n

· · ·

(n) (n−1) se

y + a (x)y + + a (x)y = b(x)

1 n

1. derivabile n volte;

φ ∈ · · ·

(n) (n−1)

2. (∀x I) φ (x) + a (x)φ (x) + + a (x)φ(x) = b(x).

1 n ′ ′′ (n−1)

Per ricondurci a un sistema poniamo , allora è soluzione di

y = y, y = y , y = y , . . . , y = y y

1 2 3 n

· · ·

(n) (n−1) se e solo se è soluzione del sistema

y + a (x)y + + a (x)y = b(x) (y , y , . . . , y )

1 n 1 2 n

 ′

 y = y

 2

 1

 ′

 y = y

 3

2

..

.

 ′

 y = y

 n

 n−1

′ −a − − · · · −

y = (x)y a (x)y a (x)y + b(x)

n 1 n−1 2 1 n

n

a cui è associata la matrice e il termine noto

A(x) B(x): 

 

··· 0

0 1 0 0 

 

 ··· 0

0 0 1 0 

 

 

 

 ..

. . .. ..

. . 

 

 .

, B(x) =

A(x) = .

. . . . 

 

 

 

 ··· 0

0 0 0 1

−a −a −a · · · −a b(x)

(x) (x) (x) (x)

n n−1 n−2 1 ′ (n−1)

R, → R ∈ ∈ R,

Sia intervallo non degenere di continue,

I a , a , . . . , a , b : I x I, y , y , . . . , y

1 2 n 0 0 0 0

→ R, dico che è soluzione del problema di Cauchy

φ : I φ  · · ·

(n) (n−1)

 y + a (x)y + + a (x)y = b(x)

 1 n

 y(x ) = y

 0 0

′ ′

y (x ) = y

0 0

 ...

 (n−1)

(n−1)

y (x ) = y

0 0

se 29

· · ·

(n) (n−1)

1. soluzione di

φ y + a (x)y + + a (x)y = b(x);

1 n

′ ′ (n−1) (n−1)

2. .

φ(x ) = y , φ (x ) = y , . . . , φ (x ) = y

0 0 0 0

0

Come per i sistemi, a cui si riconduce l’equazione, il problema di Cauchy ammette una e una sola soluzione.

R, → R (n) (n−1)

Sia intervallo non degenere di continue, e soluzioni di

I a , a , . . . , a : I φ ψ y + a (x)y +

1 2 n 1

· · · ∈ R, allora anche e sono soluzioni e detto l’insieme delle soluzioni, questo

+ a (x)y = 0, c φ + ψ cφ S

n R

I

risulta un sottospazio vettoriale di con . Un insieme di soluzioni che è una base di si

dim S = N N S

dice sistema fondamentale di soluzioni, le loro combinazioni lineari danno tutte le soluzioni e la scrittura

· · · si dice integrale generale dell’equazione omogenea.

y(x) = c φ (x) + + c φ (x)

1 1 n n R, → R

Sia intervallo non degenere di continue, sistema fondamentale di

I a , a , . . . , a : I (φ , φ , . . . , φ )

1 2 n 1 2 n

· ·+a · ·+a

(n) (n−1) (n) (n−1)

soluzioni di soluzione di allora

y +a (x)y +· (x)y = 0, ψ y +a (x)y +· (x)y = b(x),

1 n 1 n

· ·+a · ·+c

(n) (n−1)

tutte le soluzioni di sono date da

y +a (x)y +· (x)y = b(x) y(x) = c φ (x)+· φ (x)+ψ(x),

1 n 1 1 n n

l’integrale generale dell’equazione non omogenea. · · ·

(n) (n−1)

Data l’equazione omogenea di ordine a coefficienti costanti dobbiamo tro-

n y + a y + + a y = 0

1 n

∈ C,

vare un sistema fondamentale di soluzioni, per far ciò consideriamo e quindi consideriamo

a , a , . . . , a

1 2 n

R → C.

le soluzioni φ : ∈ C, ∈ C, · · ·

λt (n) (n−1)

Sia , allora è soluzione di se e solo

a , a , . . . , a λ φ(t) = e φ y + a y + + a y = 0

1 2 n 1 n

· · ·

n n−1

se equazione che prende il nome di equazione caratteristica perché è l’equazione

λ + a λ + + a = 0,

1 n

caratteristica della matrice associata al sistema associato all’equazione differenziale di partenza.

′ ′′

λt 2 λt n n λt

Dimostrazione Calcoliamo innanzitutto le derivate: ,

φ (t) = λe , φ (t) = λ e , . . . , φ (t) = λ e

poiché è soluzione deve valere

φ · · · ⇒ · · · ⇒ · · ·

n λt n−1 λt λt λt n n−1 n n−1

λ e + a λ e + + a e = 0 e (λ + a λ + + a ) = 0 λ + a λ + + a = 0.

1 n 1 n 1 n

∈ C, n n−1

Sia con radici distinte date da ,

a , a , . . . , a λ + a λ + . . . + a = 0 n λ , λ , . . . , λ (∀i =

1 2 n 1 n 1 2 n

1, 2, . . . , n) · · ·

λ t (n) (n−1)

, allora è un sistema fondamentale di soluzioni di

φ (t) = e (φ , φ , . . . , φ ) y + a y + + a y = 0.

i

i 1 2 n 1 n

∈ C, · · ·

n n−1

Sia le soluzioni distinte di

a , a , . . . , a λ , λ , . . . , λ λ + a λ + + a = 0, (∀i = 1, 2, . . . , p) m

1 2 n 1 2 p 1 n i

p − k λ x

la molteplicità di con , allora

λ m = n, (∀i = 1, 2, . . . , p)(∀k = 0, 1, . . . , m 1) φ (x) = x e i

( ) i i i i,k

i=1 · · ·

(n) (n−1)

è un sistema fondamentale di soluzioni di

φ y + a y + + a y = 0.

1 n

(i,k) −1

i=1,2,...,p;k=0,1,...,m i R

Se ora riportiamo i coefficienti in il sistema fondamentale delle soluzioni resta comunque in genere

R → C, → k λ t

complesso: . Se è reale siamo a posto, ma se invece è complesso l’equazione

φ : x x e λ

i i

caratteristica ha per soluzione anche dato che i coefficienti sono reali e quindi nel sistema fondamentale

λ i

k λ t k λ t

di soluzioni troviamo sia sia quindi modifichiamo il sistema fondamentale

φ(t) = x e ψ(t) = φ̄(t) = x e

i i

φ+ψ φ−ψ Rz

z+z̄

sostituendo alla coppia la coppia Dato allora e quindi

(φ, ψ) ( , ). z = a+ib, z̄ = a−ib = a =

2 2i 2

Iz;

z−z̄

e questo fa si che il nuovo sistema abbia solo funzioni reali, infatti sostituiamo a una coppia

= b =

2i

di soluzioni complesse coniugate la parte reale e la parte immaginaria di un elemento della coppia. Per

∈ R

calcolare la parte reale e immaginaria di poniamo , per cui risulta

φ λ = σ + iτ σ, τ { Rφ(x) k σx

= x e cos τ x

k λx k (σ+iτ )x k σx iτ x k σx

φ(x) = x e = x e = x e e = x e (cos τ x + i sin τ x) .

Iφ(x) k σx

= x e sin τ x

Per quanto riguarda le soluzioni di equazioni non omogenee ci si riconduce all’omogenea associata per

trovare un sistema fondamentale di soluzioni, ma resta il problema dell’integrale particolare dell’equazione.

· · · ∈ C

(n) (n−1) αx

Per trovarlo scriviamo l’equazione di partenza come con e

y + a y + + a y = P (x)e a , α

1 n i

a coefficienti complessi, la soluzione a questo punto si trova in due modi diversi in base ad

P (x) α:

⇒ ∃ψ(x) αx

1. non è soluzione dell’equazione caratteristica soluzione del tipo , con

α ψ(x) = Q(x)e Q(x)

dello stesso tipo di cioè con stesso grado massimo;

P (x), ⇒ ∃ψ(x)

2. è soluzione dell’equazione caratteristica con molteplicità soluzione del tipo

α m ψ(x) =

m αx , con dello stesso tipo di

x Q(x)e Q(x) P (x).

30

σx

Se il termine noto è del tipo ci si riconduce al caso precedente con

e (P (x) cos τ x+P (x) sin τ x) α = σ+iτ

1 2

∈ R,

con e a coefficienti reali e ancora una volta distinguiamo tra 2 casi:

a , σ, τ P (x) P (x)

i 1 2 ⇒ ∃ψ(x)

1. non è soluzione dell’equazione caratteristica soluzione del tipo

σ + iτ σx

ψ(x) = e (Q (x) cos τ x + Q (x) sin τ x),

1 2 ≤ });

dove i polinomi e rispettano la condizione

Q (x) Q (x) grQ (x), grQ (x) max({grP , grP

1 2 1 2 1 2

⇒ ∃ψ(x)

2. è soluzione dell’equazione caratteristica con molteplicità soluzione del tipo

σ + iτ m

m σx

ψ(x) = x e (Q (x) cos τ x + Q (x) sin τ x),

1 2

dove i polinomi e rispettano la stessa condizione del punto precedente.

Q (x) Q (x)

1 2 31

Capitolo 7 R N

Integrale di Riemann su intervalli di

∈ R ≤ R {x ∈

N N

Sia , , si chiama intervallo di di estremi e l’insieme

a, b (∀i = 1, 2, . . . , N ) a b a b

i i

≤ ≤ };

R

N relazione che può anche essere espressa con dei prodotti cartesiani:

; (∀i . . . , N a

= 1, 2, ) x b

i i i

× × · · · ×

I = [a , b ] [a , b ] [a , b ].

1 1 2 2 n n

(a) (b)

N = 2. N = 3.

R N

Figura 7.1: Intervalli di .

Per ora abbiamo supposto gli intervalli compatti, in questo modo però si possono ridurre a solo un seg-

R R

2 3

mento in o a un rettangolo in , ma anche a un punto, quindi consideriamo gli intervalli non degeneri:

{x ∈ R N

e indichiamo con l’insieme di tutti gli intervalli dove

(∀i = 1, 2, . . . , N ) a < b I I = ; (∀i =

∏ R

i i N

N

≤ ≤ } Supposto non degenere, chiamiamo misura dell’intervallo

[a , b ]. I

1, 2, . . . , N ) a x b = i i

i i i

∏ i=1

N − R R 2

in la misura equivale alla lunghezza dell’intervallo, in all’area dell’intervallo e

(b a );

mis(I) = i i

i=1

R

3

in al volume. R

Un insieme di misura nulla è un punto di perché ha lunghezza nulla, una

R R

2 3

curva o un punto di o una superficie, una curva o un punto di . Come

R 2

si vede in Figura 7.2 la curva, considerata in , ha area nulla e infatti, fissato

un numero piccolo a piacere possiamo coprire l’intera curva con intervalli tali

che sommando le loro misure si ottenga un numero più piccolo di quello fissato: Figura 7.2: Insieme di misu-

⊂ R ⊂

N

sia , dico che è un insieme di misura nulla se

A A (∀ε > 0)(∃F R 2

ra nulla in coperto da un

F al più numerabile) tale che

I ,

R

N insieme di intervalli, in blu.

1. A I;

∑ I∈F ≤

2. mis(I) ε.

I∈F ∃f →

Dati due insiemi e questi si dicono equipotenti se biettiva, cioè hanno lo stesso numero di

A B, : A B

N;

elementi, finiti o infiniti. Un insieme numerabile è equipotente a un insieme al più numerabile è finito o

F

è numerabile. Detta una famiglia di insiemi dell’ambiente pongo

X

∪ {x ∈ ∈ F ∈

• A = X; (∃A ) x A};

∩ A∈F {x ∈ ∈ F ∈

• A = X; (∀A ) x A}.

A∈F

F F → R

Dato numerabile, a ogni suo elemento corrisponde un numero reale positivo: ; poiché l’insieme

a :

∑ ∑

+

N → F e quindi

è numerabile abbiamo anche la funzione . Possiamo quindi porre a

α : a =

k α(n)

n=0

k∈F

32

la sommatoria di partenza appartiene a ma non varia al cambiare di rimane la stessa.

[0; +∞] α,

⊂ R P{x} ∈ P{x}

N

Sia , proprietà di che può essere vera o falsa, dico che è vera quasi dappertutto

A x A

{x ∈ P{x}

se falsa} è un insieme di misura nulla.

A;

7.1 Funzioni di Riemann

⊂ R → R,

N

Sia , dico che è una funzione di Riemann se

A f : A f

1. limitata;

f

{x ∈

2. non continua in è un insieme di misura nulla, cioè continua quasi dappertutto.

A; f x} f

→ R

Sia compatto, continua, allora è di Riemann. L’insieme delle funzioni di Riemann si

A f : A f

R(A)

indica con e può essere dotato della struttura di spazio vettoriale perché la somma, o prodotto, di due

funzioni di Riemann è ancora di Riemann e anche moltiplicando per uno scalare si ha ancora una funzione

di Riemann.

7.2 Integrale secondo Riemann su un intervallo

∈ ⊂

Sia , la scomposizione di è la sua divisione in sottointervalli: dico che è una scomposizione

I I I σ I

R R

N N

di se

I

1. finita;

σ

2. J = I;

J∈σ ∈ ̸ ∩ ∅,

3. scelgo solo gli interni perché se sono adiacenti avrebbero un

(∀J, K σ, J = K) IntJ IntK =

segmento in comune.

∈ → R

Sia , limitata, scomposizione di pongo

I I f : I σ I,

R N ∑ ·

• Somma inferiore inf f (x) mis(J);

s(f, σ) = x∈J

J∈σ ·

• Somma superiore S(f, σ) = sup f (x) mis(J).

x∈J

J∈σ

(a) (b)

Figura 7.3: Rappresentazione grafica della somma inferiore, Figura 7.3a, e superiore, Figura 7.3b.

≤ ≤

È evidente che e che con scomposizioni di cioè ogni somma

s(f, σ) S(f, σ) s(f, σ) S(f, τ ), σ, τ I,

inferiore è minore o uguale di ogni somma superiore, in particolare l’estremo superiore delle somme inferiori

è più piccolo di una somma superiore specifica e in particolare, detto l’insieme delle scomposizioni di

Ω I,

I

≤ Pongo integrale inferiore

sup s(f, σ) inf S(f, τ ).

∈Ω

τ

σ∈Ω I

I ˆ ′ f = sup s(f, σ)

σ∈Ω

I I

33

e integrale superiore ˆ ′′ f = inf S(f, τ )

∈Ω

τ

I I

per cui vale ˆ ˆ

′ ′′

f f.

I I

∈ → R,

Sia , allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

I I f : I

R N

∈ R(I);

1. f ´ ´

′ ′′

2. limitata e .

f f = f

I I

∈ → R, ∈ R(I),

Sia , pongo integrale di Riemann

I I f : I f

R N ˆ ˆ ˆ

′ ′′

f = f = f.

I I I ≥ ≤

Per l’integrale equivale all’area sottesa dal grafico, per se l’integrale è l’opposto

N = 1 f 0, f 0

dell’area, se la funzione cambia segno sarà l’area sopra meno l’area sotto l’asse delle se l’integrale

x; N = 2

misura il volume sotteso dal grafico.

∈ → R ∈ ∈

N

Sia , scomposizione di si chiama scelta su una funzione tale che

I I σ I, σ ξ : σ (∀J σ) ξ J,

R J

N

pongo somma di Riemann ∑

R(f, ·

σ, ξ) = f (ξ ) mis(J).

J

J∈σ ´ ≈ R(f,

Si dimostra che le somme di Riemann stanno tra quelle inferiori e superiori e e tanto più

f σ, ξ)

I

gli intervalli sono piccoli, tanto più l’approssimazione è migliore, precisamente

J ˆ

R(f,

lim σ, ξ) = f.

δ(σ)→0 I

⊂ R ∥x −

N

Detto , è un indicatore della grandezza di e lo chiamiamo diametro di

A sup y∥ A A δ(A);

x,y∈A

il nome deriva dal fatto che in un cerchio è proprio il diametro. Il diametro di una scomposizione è

δ(σ)

il massimo dei diametri di ogni intervallo di quindi dire che il diametro di una

σ: δ(σ) = max δ(J);

J∈σ

scomposizione diventa piccolo vuol dire che tutti gli intervalli diventano piccoli dato che il diametro di è

σ

il diametro massimo. −−−→ ∈ R ∈ N)(∀n ∈ N, ≥ |a −

In Analisi 1 abbiamo visto che se

a l (∀ε > 0)(∃p n p) l| < ε;

n n

n→∞ R(f, −−−−→ ∈ R ∈

in analogia per le somme di Riemann diciamo che se

σ, ξ) l (∀ε > 0)(∃

δ̄ > 0)(∀σ

δ(σ)→0

∀ξ |R(f, −

scelta su

Ω , σ, δ(σ) < δ̄) σ, ξ) l| < ε.

I ∈ → R,

Sia , allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

I I f : I

R

N

∈ R(f,

1. f σ, ξ);

R(f, →

2. convergenti per

σ, ξ) δ(σ) 0; ˆ

in tal caso R(f,

f = lim σ, ξ).

δ(σ)→0

I

∈ → R, ∈ R(I), ∈ R,

Sia , allora

I I f, g : I f, g c

R N ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ f,

(cf ) = c

g,

f +

(f + g) = I

I

I

I

I ´

R(I) → R, →

cioè esiste una funzione .

α : f f 34

Dimostrazione ˆ R(f R(g,

(f + g) = lim + g, σ, ξ) = lim (R(f, σ, ξ) + σ, ξ))

δ(σ)→0 δ(σ)→0

I ˆ

ˆ

R(f, R(g,

= lim σ, ξ) + lim σ, ξ) = f + g.

δ(σ)→0 δ(σ)→0 I I

∈ → R, ∈ R(I), ≥ ≤

Sia , quasi dappertutto, quasi dappertutto, allora

I I f, g : I f, g f (x) 0 f (x) g(x)

´ ´ ´ ´

R

N

≤ ≤ ∈ → R,

Se ora quasi dappertutto abbiamo Sia ,

0 f g. f (x) = g(x) f = g. I I f : I

R

N

I I I I

∈ R(I), ≥ allora

f f 0, ˆ

ˆ |f |.

=

f I

I ˆ ˆ ˆ

Dimostrazione −|f | ≤ ≤ |f | ⇒ − |f | ≤ ≤ |f |.

f f

I I

7.2.1 Teorema della media integrale

L’integrale è sempre compreso tra la somma superiore e inferiore, qualunque esse siano, se consideriamo

{I}, cioè la scomposizione nell’intervallo stesso, si ha

σ = ˆ ·

· ≤ f (x) mis(I)

inf f (x) mis(I) f sup

x∈I x∈I

I

ˆ f

≤ ≤

I

inf f (x) sup f (x),

mis(I)

x∈I x∈I

∃ν ∈

allora tale che

[inf f (x), sup f (x)]

x∈I x∈I ˆ ·

f = ν mis(I).

I

Se è continua gli estremi inferiore e superiore corrispondono a minimo e massimo e per il teorema del

f ´

valore intermedio (∃ξ I) f = f (ξ)mis(I).

I

∈ ∈ R(I), ∈

Sia , , allora

I I f σ Ω ˆ

ˆ

R I

N ∑

f = f.

I J

J∈σ ´

× → R, R, ∈ → R, →

Sia intervallo di , considero in cui si considera

f : J I J I I φ : J x f (x, y)dy, x

R

N I

fisso perché la variabile è su Abbiamo ottenuto un integrale dipendente da un parametro per cui vale

y I.

continua

1. continua;

φ

f ∂f ⇒

2. continua e derivabile rispetto a continua derivabile e

f x, φ

∂x ˆ ∂f

′ (x, y)dy.

φ (x) = ∂x

I

35

7.3 Calcolo integrale

Per ora sappiamo soltanto che ˆ ·

c = c mis(I).

I

R, → R, ∈ |[a, ∈ R([a, ∈

Sia intervallo non degenere di pongo

J f : J (∀a, b J, a < b) f b] b]), x, y J,

 ´

ˆ  f x<y

[x,y]

0 x = y

f = .

´

 −

(x,y) f y < x

[y,x]

Valgono quindi le proprietà:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

f = f f = f + f.

(y,x) (x,y) (x,z) (x,y) (y,z)

R, → R, ∈ |[a, ∈ R([a, ∈

Sia intervallo non degenere di pongo funzione

J f : J (∀a, b J, a < b) f b] b]), x J,

0

integrale di punto iniziale x ˆ

0 → R, →

F : J x f

(x ,x)

0

R, → R, ∈ |[a, ∈ R([a, ∈

Sia intervallo non degenere di funzione

J f : J (∀a, b J, a < b) f b] b]), x J, F

0

integrale di punto iniziale , allora è continua anche se non lo è .

x F f

0

7.3.1 Teorema fondamentale del calcolo integrale

R, → R, ∈ |[a, ∈ R([a, ∈

Sia intervallo non degenere di funzione

J f : J (∀a, b J, a < b) f b] b]), x J, F

0

integrale di punto iniziale , continua in allora è derivabile in e

x f x, F x F (x) = f (x).

0

Dimostrazione ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

f f f + f f

F (y) F (x) (x ,y) (x ,x) (x ,y) (x,x ) (x,y)

0 0 0 0

lim = lim = lim = lim

− − − −

y x y x y x y x

y→x y→x y→x y→x

ν (y x)

y

= lim = lim ν .

y

y x

y→x y→x

≤ ≤

Sappiamo che e poiché

inf f (t) ν sup f (t) lim inf f (t) = lim sup f (t) =

y→x y→x

t∈[x,y] t∈[x,y]

t∈[x,y] t∈[x,y]

per il teorema del confronto

f (x), lim ν = f (x).

y

y→x

R, → R

Sia intervallo non degenere di continua, allora è una primitiva di . Sia intervallo

J f : J F f J

R, → R → R ∈

non degenere di continua, primitiva di , allora l’integrale è la variazione

f : J g : J f x, y J,

di una primitiva: ˆ −

f = g(y) g(x).

(x,y)

Dimostrazione Prendiamo e funzione integrale di punto iniziale :

x J F x

0 0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ − − −

− f = F (y) F (x) = (g(y) + c) (g(x) + c) = g(y) g(x).

f

f =

f +

f = (x ,x)

(x ,y)

(x ,y)

(x,x )

(x,y) 0

0

0

0 ´ y −

Poiché in Analisi 1 abbiamo indicato la variazione di una primitiva con possiamo

f = g(y) g(x)

´ ´ x

y

scrivere . Ne segue che

f = f

(x,y) x ˆ ˆ

x x

d d 0 −f

f (t)dt = f (x), f (t)dt = (x),

dx dx

x x

0 36

ma questi sono casi particolari, in generale si ha ˆ α(x)

φ(x) = f (x, t)dt

β(x)

che deriviamo rispetto all’estremo superiore, inferiore e alla dentro all’integrale, quindi avremo

x ˆ α(x) ∂φ

′ ′ ′

· − ·

φ (x) = f (x, α(x)) α (x) f (x, β(x)) β (x) + (x, t)dt;

∂x

β(x)

in questa formula ogni pezzo compare solo se la compare rispettivamente nell’estremo superiore, inferiore

x

e nella funzione integranda; in quest’ultimo caso si ha un integrale della derivata rispetto a della funzione

x

integranda. R N

7.3.2 Integrali in

∈ ∈ × → R, ∈ R(I × ∈

Sia , , la funzione con fisso e variabile su

I I J I f : I J f J), (∀x I) x y J

R R

P Q

·) → R, → ·) ∈ R(J),

f (x, : J y f (x, y), f (x, ˆ

→ R, →

φ : I x f (x, y)dy,

J

∈ R(I)

allora e

φ ( )

¨ ˆ ˆ (7.1)

f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx.

I×J I J 7.1. Se la funzione

Possiamo anche invertire i ruoli di e e invertire l’ordine degli integrali nell’Equazione

I J

integranda è del tipo è possibile portare fuori una variabile dall’integrale interno in modo che

f (x)g(y)

questo dipenda solo dall’altra e a questo punto l’integrale interno si può portare fuori da quello esterno:

( ) ( ) ( ) ( )

¨ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

·

f (x)g(y)dxdy = f (x)g(y)dy dx = f (x) g(y)dy dx = g(y)dy f (x)dx ;

I×J I J I J J I

per gli integrali in più di due variabili si procede in modo analogo e avremo un prodotto di tre, quattro, …

integrali. 37

Capitolo 8 R N

Integrale di Lebesgue in

Integrale di Lebesgue di una funzione continua su un com-

patto

⊂ R → R ≥ ∈ ⊂

N

Sia compatto, continua, ,

K f : K f 0, I I K I,

R

N

{ ∈

f (x) x K

→ R, →

Φ : I x ,

∈ −

0 x I K

´

´ ma non abbiamo la certezza che sia di Riemann perché sebbene sia continua in

pongo f = Φ, Φ Φ K

K I

e in è discontinua sulla frontiera di che se è di misura nulla non da problemi, ma se non lo è sì,

I K K

´ ´ ′′ in modo che abbia sempre senso e usiamo l’integrale superiore perché

quindi dobbiamo scrivere Φ

f = I

K

in questo modo continuano a valere le proprietà classiche dell’integrale, cosa non verificata con l’integrale

inferiore.

8.1 Insiemi misurabili secondo Lebesgue

⊂ R ∃(K

N

Un insieme è misurabile se è riconducibile a dei compatti: sia , dico che è misurabile se

A A )

n n∈N

⊆ ∃N

successione crescente di compatti, cioè , e insieme di misura nulla tali che

K K

n n+1

( )

∪ ∪

A = K N.

n

n∈N

Si dimostra che gli insiemi aperti e chiusi sono misurabili, l’unione, l’intersezione e la differenza di due

insiemi misurabili è misurabile, l’unione e l’intersezione numerabili di misurabili sono misurabili; quasi tutti

gli insiemi sono misurabili, anche se ne esistono alcuni, di difficile immaginazione, che non sono misurabili.

8.2 Funzioni misurabili

⊂ R → R → R, ∃(K

N

Sia misurabile, o dico che è misurabile se successione crescente

A f : A f : A f )

n n∈N

∃N

di compatti, insieme di misura nulla tali che

(∪ ) ∪

1. ;

A = K N

n

n∈N

∈ N) |K

2. continua.

(∀n f n

Essendo le restrizioni di una funzione continua continue, una funzione continua è misurabile se lo è il suo

dominio; si dimostra che le consuete operazioni tra funzioni conservano la misurabilità e quasi tutte le

funzioni sono misurabili, in particolare quelle di Riemann.

38

8.3 Integrale su un insieme misurabile di una fun-

zione misurabile positiva

⊂ R → R ≥ R

N N

Sia misurabile, misurabile, successione crescente di compatti di ,

A f : A f 0, (K ) N

n n∈N

insieme di misura nulla tali che

(∪ ) ∪

1. ;

A = K N

n

n∈N

∈ N) |K

2. continua,

(∀n f n ( )

´ ´

allora posso considerare poiché è continuo e positiva e la successione è crescente,

f K f f

n

K K

n n n∈N

allora pongo ˆ

ˆ ∈

f = lim f [0, +∞].

n→∞

A K n

⊂ R → R {x ∈

N

Sia misurabile, misurabile positiva, pongo

A f : A P = A; f (x) = +∞},

ˆ ˆ ˆ

f = f + f.

A A−P P ⊂ R N

Il terzo integrale però è l’integrale della costante che preso misurabile, vale

+∞, P

{

ˆ non di misura nulla

+∞ P

(+∞) = .

di misura nulla

0 P

P l’integrale è divergente positivamente, in caso contrario, se è un valore

Se il valore dell’integrale è +∞

R

di , si dice convergente. Tutte le usuali proprietà degli integrali si conservano e in particolare funzioni

+

uguali quasi dappertutto hanno uguale integrale.

8.4 Misura di un insieme misurabile

Abbiamo visto che per Riemann vale ˆ ·

c dx = c mis(I),

I ⊂ R N

quindi possiamo ottenere la misura dell’intervallo prendendo Sia misurabile, pongo

c = 1. A

ˆ

mis(A) = dx,

A

che per è la lunghezza, per è l’area e per il volume; da ciò segue che è un insieme di

N = 1 N = 2 N = 3 A

misura nulla se e solo se mis(A) = 0.

8.5 Integrale di Riemann e di Lebesgue

∈ → R, ∈ R(I), ≥

Sia , allora l’integrale di Riemann di è uguale all’integrale di Lebesgue

I I f : I f f 0, f

R

N

di .

f ´ x

→ R ≥

Sia continua, allora l’integrale improprio di , cioè , è uguale

f : [a, +∞[ f 0, f lim f

x→+∞ a

all’integrale di Lebesgue di ; lo stesso discorso vale se il dominio di è una semiretta negativa, un intervallo

f f

limitato aperto o privato di alcuni punti. 39

8.6 Integrale sul prodotto di insiemi misurabili

⊂ R ⊂ → R, −

N

Sia misurabile, dico è definita quasi dappertutto su se è un insieme

A D A, f : D f A A D

di misura nulla. Considerando anche misurabile e si ha

f f 0

ˆ ˆ ˆ

f = f = g,

A D A

dove è un qualunque prolungamento di , dato che gli insiemi di misura nulla non contano.

g f

⊂ R ⊂ R × → R ≥

N M

Sia misurabile, misurabile, misurabile, allora

A B f : A B f 0,

∈ ·) → R, →

1. Per quasi ogni la funzione è misurabile;

x A f (x, : B y f (x, y)

2. La funzione definita quasi dappertutto su A ˆ

x f (x, y)dy

B

è misurabile,

3. ( )

ˆ

ˆ

¨ f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx.

A B

A×B

Per ora possiamo calcolare gli integrali su dei prodotti cartesiani di insiemi, non ancora su insiemi qua-

lunque. Per fare questo ci si riconduce al caso precedente inscatolando l’insieme in un prodotto cartesiano

e prolungando la in modo che fuori da valga

f D 0: { ∈

f (x, y) (x, y) D

× → R, →

φ : A B ;

(x, y) ∈

0 (x, y) / D

l’integrale di f è quindi ( )

¨ ¨ ˆ ˆ (8.1)

f = φ = φ(x, y)dy dx.

D A×B A B

Poiché i valori esterni a non contano perché lì la funzione vale possiamo considerare come la proiezione

D 0 A

R N

di su , cioè la prima proiezione di per quanto riguarda l’intervallo su cui variano le questo

D D pr (D); y

1

varia in base a e lo indichiamo con per cui l’Equazione 8.1 vale

x D(x), )

(

ˆ ˆ φ(x, y)dy dx.

pr (D) D(x)

1 {x ∈ R ∈ R ∈ ∈

N M

Per la precisione la prima proiezione di è e, fissato

D pr = ; (∃y ) (x, y) D} x pr (D),

1 1

{y ∈ R ∈

M

D(x) = ; (x, y) D}.

⊂ R × R → R

N M

Sia misurabile, misurabile, misurabile, allora

D f : D pr (D)

1

∈ ·) → R, →

1. Per quasi ogni è misurabile e la funzione è misurabile;

x pr (D) D(x) f (x, : D(x) y f (x, y)

1

2. La funzione definita quasi dappertutto su pr (D)

1 ˆ

→ f (x, y)dy

x D(x)

è misurabile;

3. ( )

¨ ˆ ˆ

f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx.

D pr (D) D(x)

1

40

R R

N M

Tutto ciò è ripetibile invertendo i ruoli di e di sostituendo quindi con con

pr (D) pr (D), D(x)

1 2

e di conseguenza l’integrale interno è su e quello esterno su

D(y) dx dy.

⊂ R R × R → R ≥

2

Sia misurabile, misurabile, pongo misurabile,

D = f : D f 0, pr (D) = p (D) D(x)

1

1

resta la proiezione sull’asse della sezione di per un fissato come definito in precedenza, l’integrale è

y D x

quindi ( )

¨ ˆ ˆ

f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx;

D p (D) D(x)

1

possiamo anche scambiare i ruoli prendendo e rispettivamente proiezione sull’asse e proiezione

p (D) D(y) y

2

sull’asse delle della sezione per un fissato, per cui l’integrale sarà

x y ( )

¨ ˆ ˆ

f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy.

D p (D) D(y)

2

⊂ R R R × R R × R

3 3 2 2

Se prendiamo possiamo pensare sia come sia come , dividendo le sei possibili

D → R

forme dell’integrale in due gruppi. Nel primo caso, dato misurabile, misurabile come in

f : D p (D)

1,2

Figura 8.1a possiamo scrivere ( )

˚ ¨ ˆ

f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dxdy

D p (D) D(x,y)

1,2 R R × R

3 2

e si dice che si procede in modo filiforme o per spaghetti. Se ora pensiamo come con p (D)

3

misurabile, prendiamo solo per comodità grafica come in Figura 8.1b, procediamo in modo stratiforme, o

z

per affettamento, e avremo )

(

¨

˚ ˆ dz.

f (x, y, z)dxdy

f (x, y, z)dxdydz = D(z)

D p (D)

3

R × R. R × R

(a) (b)

2 2 . R 3

Figura 8.1: Due diverse riduzioni di un integrale su un sottoinsieme di .

8.6.1 Cambiamento di variabile

⊂ R → ⊂ ⊂

N

Sia , diffeomorfismo, misurabile a cui corrisponde misurabile con

A, B φ : A B D A φ(D) B

R

→ misurabile positiva, allora

elementi rispettivamente e

t x, f : φ(D)

ˆ ˆ ′

f (x)dx = f (φ(t))| det φ (t)|dt.

φ(D) D

41

Per capire il significato del valore assoluto dividiamo l’insieme in tanti piccoli pezzi e in ognuno di

D D

k

⊂ ∈

questi pezzi prendiamo il punto , a questi elementi corrisponderanno e

t φ(D ) φ(D) φ(t ) φ(D ),

k k k k

risulta quindi ˆ ∑

≈ ·

f (x)dx f (φ(t )) mis(φ(D )),

k k

φ(D) k

ˆ ∑

′ ′

≈ ·

f (φ(t))| det φ (t)|dt f (φ(t ))| det φ (t )| mis(D );

k k k

D k

ma poiché i due integrali devono essere uguali deve valere

| ·

mis(φ(D )) = det φ (t )| mis(D )

k k k

e siccome le due misure non saranno uguali, il valore assoluto funge da coefficiente di dilatazione delle misure.

Per quanto riguarda l’applicazione della formula viene fatta a meno di insiemi di misura nulla, che come

sappiamo non influenzano il valore dell’integrale.

8.7 Integrale di funzioni integrabili

⊂ R → R

N

Sia misurabile, misurabile, dico che è integrabile se

A f : A f

ˆ |f | ̸ = +∞,

A

∈ R

cioè se l’integrale è convergente. Preso chiamo parte positiva di

x x

{ ≥

x x 0

+

x = 0 x< 0

e parte negativa di x { ≥

0 x 0

x = −x x < 0

− − −

≥ − |x|

+ + +

per cui risulta e . Possiamo ripetere lo stesso concetto per una

x , x 0, x = x x = x + x

→ R

funzione definendo la parte positiva di una funzione come

f : A { ≥

f (x) f (x) 0

→ R, →

+ +

f : A x (f (x)) = 0 f (x) < 0

e la parte negativa { ≥

0 f (x) 0

− −

→ R, →

f : A x (f (x)) = ,

−f (x) f (x) < 0

− −

− |f |

+ +

come prima possiamo ricostruire la funzione come e il valore assoluto . Sia

f = f f = f + f

⊂ R → R

N misurabile, misurabile, allora è integrabile se e solo se

A f : A f ˆ

ˆ − ̸

̸ ∧

+ f = +∞.

f = +∞ A

A

⊂ R → R

N

Sia misurabile, misurabile e integrabile, pongo

A f : A ˆ

ˆ

ˆ − ∈ R.

+ f

f

f = A

A

A

Quanto fatto per gli integrali delle funzioni misurabili positive vale anche per le funzioni integrabili, con

R.

l’accortezza che ora il valore dell’integrale è finito e non più un elemento di Nel caso degli integrali doppi

abbiamo una particolarità se il dominio è simmetrico rispetto all’asse e la funzione assume valori opposti

y f

−f

in punti simmetrici, cioè consideriamo la parte a destra dell’asse del dominio e

f (−x, y) = (x, y); D y

1

42

quella a sinistra, possiamo quindi prendere un pezzettino con un punto e i rispettivi simmetrici

D D P

2 k k

′ ′

e , quindi

D P ¨

k k ∑

≈ ·

f (x, y)dxdy f (P ) mis(D ),

k k

D 1 k

¨ ∑ ′ ′

·

≈ f (P ) mis(D ),

f (x, y)dxdy k k

D 2 k

ma poiché le misure sono uguali e i valori di opposti i due integrali avranno valore opposto, risulta quindi

f

¨ f (x, y)dxdy = 0.

D −y) −f

Si può ripetere la stessa cosa se il dominio è simmetrico rispetto all’asse e vale e in

x f (x, = (x, y)

modo analogo per gli integrali tripli considerando però la simmetria rispetto a un piano generato da due

assi.

8.7.1 Applicazioni geometriche

8.7.1.1 Area di un’ellisse }

{ ¨

2

2 y

x ≤ ⇒

∈ R 2 + 1 mis(D) = dxdy;

D = (x, y) ; 2 2

a b D

{ x = aρ cos t ′

∈ × ⇒ |

, (ρ, t) [0, 1] [0, 2π] det φ (ρ, t)| = abρ.

φ(ρ, t) = y = bρ sin t ( ) ( )

¨ ¨ ˆ ˆ

1 2π 1

·

dxdy = abρ dρdt = ab ρ dρ dt = ab 2π = πab.

2

D [0,1]×[0,2π] 0 0 2

Se si ha un cerchio quindi chiamiamo e l’area diventa .

a = b r = a = b πr

8.7.1.2 Volume di un ellissoide }

{ ˚

2 2

2 y z

x ≤ ⇒

∈ R 3 + + 1 mis(D) = dxdydz;

D = (x, y, z) ; 2 2 2

a b c D

 x = aρ sin φ cos θ ′

∈ × × ⇒ | 2

y = bρ sin φ sin θ

φ(ρ, φ, θ) = , (ρ, φ, θ) [0, 1] [0, π] [0, 2π] det φ (ρ, φ, θ)| = abcρ sin φ.

 z = cρ cos φ ( ) ( ) ( )

˚ ˆ ˆ ˆ

˚ 1 π 2

· ·

2 2

abcρ sin φ dρdφdθ = abc ρ dρ sin φ dφ π dθ

dxdydz = [0,1]×[0,π]×[0,2π] 0 0 0

D 1 4

·

= abc 2 2π = πabc.

3 3 43 3

Se si ha una sfera quindi chiamiamo e il volume diventa .

a = b = c r = a = b = c πr

8.7.1.3 Volume di un cono 43

Consideriamo un cono non circolare e non retto come in Figura 8.2. Abbiamo

⊂ R ∈ R, ∈ R

2 3

misurabile con , e pensiamo il cono

E mis(E) (x , y , z ) z > 0

0 0 0 0

come formato da segmenti, quindi i suoi punti saranno dati da

′ ′ ′ ′

− ∈ ∈

(x, y, z) = (x , y , z ) + t((x , y , 0) (x , y , z )), (x , y ) E, t [0, 1],

0 0 0 0 0 0

 ′ −

 x x + )

= t(x x

0 0 ′ ′

′ − ∈ ×

y = y + t(y y ) , (x , y , t) E [0, 1].

0 0

 −

z = z tz

0 0 Figura 8.2: Cono con base

Il nuovo dominio è quindi un cilindro di base e altezza in modo che

E 1 non circolare e non retto di

E

tutta la base che giace sul piano sia trasformata nel vertice, quindi è un

xy vertice (x , y , z ).

0 0 0

diffeomorfismo a meno di un insieme di misura nulla.

 

′ −

t 0 x x 0

 

′ ′ ′ ′ ′ ′

′ − ⇒ | | − |

2 2

0 t y y

φ (x , y , t) = det φ (x , y , t)| = t z = z t .

0 0 0

−z

0 0 0 ( ) ( )

¨ ˆ

˚ ˚ 1 1

′ ′ ′ ′ ·

2 2

mis(D) = dxdydz = z t dx dy dt = z dx dy t dt = z mis(E) .

0 0 0 3

D E×[0,1] E 0

8.7.1.4 Volume di un solido di rotazione

⊂ R ̸

2

Abbiamo incluso nel piano con compatto,

E xz x > 0, E mis(E) = 0,

come rappresentato in Figura 8.3, e facciamo ruotare attorno all’asse

E z,

′ ′ ∈

quindi partendo da un punto avremo che i punti sono dati da

(x , z ) E

 ′

 x = x cos θ

′ ′ ′ ′

′ ∈ ∈

y = x sin θ

φ(x , z , θ) = , (x , z ) E, θ [0, 2π].

 ′

z = z

Il dominio diventa quindi un cilindro di base e altezza

E 2π.

 

−x

cos θ 0 sin θ Figura 8.3: Solido a “sal-

 

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

′ ⇒ | | − |

sin θ 0 x cos θ

φ (x , z , θ) = det φ (x , z , θ)| = x = x . vagente” generato dalla ro-

0 1 0 tazione di attorno all’asse

E

z.

( ) ( )

˚ ˚ ¨ ˆ ¨

2π ′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ · (8.2)

mis(D) = dxdydz = x dx dz dθ = x dx dz dθ = 2π x dx dz .

D E×[0,2π] E 0 E

Il punto ¨ ¨

 

x dxdy y dxdy

 

 

E E

G = ,

 

mis(E) mis(E)

si chiama baricentro di per cui possiamo riscrivere l’Equazione 8.2 come

E, ¨ ′ ′ ′

x dx dz ·

E

2π mis(E) = 2π G mis(E).

1

mis(E)

·

Risulta che sia la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro nella rotazione, quindi questo

2π G 1 ·

solido equivale a un cilindro di base e altezza , questo è il Teorema di Guldino.

E 2π G 1

Se prendiamo un cerchio di raggio con centro sull’asse a distanza dall’origine, una sua rotazione

E r x a

attorno a genera una figura detta toro il cui volume risulta, noto che il baricentro coincide col centro,

z ·

2 2 2

mis(D) = πr 2πa = 2aπ r .

44

Capitolo 9

Integrali su sottovarietà

∈ N, ≤ ∈ R N

Sia , , si chiama graamiano di vettori il determinante

m, N m N a , a , . . . , a m

1 2 m |a |a ··· |a

(a ) (a ) (a )

1 1 1 2 1 m

|a |a ··· |a

(a ) (a ) (a )

2 1 2 2 2 m

γ = .. .. ..

(a ,a ,...,a )

m

1 2 . . .

|a |a · · · |a

(a ) (a ) (a )

m 1 m 2 m m

che si dimostra essere positivo.

Possiamo considerare i vettori come matrici colonne e quindi scrivere la matrice

 

· · ·

(a ) (a ) (a )

1 1 2 1 m 1

 

· · ·

(a ) (a ) (a )

 

1 2 2 2 m 2 ∈

 

a = m (R)

.. .. .. ×m

N

 

. . .

· · ·

(a ) (a ) (a )

1 2 m

N N N

il cui graamiano è .

γ = γ

a (a ,a ,...,a )

m

1 2

Data a m (R),

×m  

N ···

a a

11 1m

 

···

a a

 

21 2m

 

a = ,

.. ..

 

. .

· · ·

a a

N 1 N m

in genere non se ne può calcolare il determinante, ma ciò diventa possibile se scegliamo righe e componiamo

m

la matrice  

· · ·

a a

i 1 i m

1 1

 

· · ·

a a

 

i 1 i m

2 2

 

b = ;

. ..

.

 

. .

· · ·

a a

i 1 i m

m m

si può dimostrare che ∑

(2) 2

γ = a = (det b) ,

a ≤N

1≤i <i <···<i

m

1 2

cioè la somma dei quadrati dei determinati di ogni possibile minore di ordine che prende il nome di

m,

quadrato simbolico. −

Nel caso in cui avremo il determinante

m = N 1 ···

a a −1

1,1 1,N

.. ..

. .

· · ·

a a −1

i−1,1 i−1,N

i−1 (9.1)

w = (−1)

i · · ·

a a −1

i+1,1 i+1,N

.. ..

. .

···

a a −1

N,1 N,N

45

−1

che viene moltiplicato per o se la riga tolta è dispari o pari secondo la regola di Laplace.

+1 ∈ R ∈

N

Consideriamo e la matrice che ha questi vettori come colonne,

a , a , . . . , a a m (R)

−1 ×N −1

1 2 N N

∧ ∧ · · · ∧ ∧

pongo dove il segno indica il prodotto vettoriale tra più vettori,

a a a = (w , w , . . . , w )

−1

1 2 1 2

N N

si riduce alla normale operazione binaria se N = 3.

∧ ∧ · · · ∧

Se ora facciamo il prodotto misto il risultato sarà il determinante della matrice

(v|a a a )

−1

1 2 N 

 · · ·

v (a ) (a )

−1

1 1 1 1

N 

 .. .. .. 

 . . .

· · ·

v (a ) (a )

−1

1

N N N N

che se sviluppato con Laplace rispetto alla prima colonna dà esattamente il prodotto scalare tra e i

v

determinanti , spiegando meglio il segno meno, o più, nell’Equazione 9.1.

w i

Se come scegliamo uno qualunque dei vettori si avrà il determinante di una matrice con due colonne

v a

uguali e quindi nullo, per cui il determinante sarà ortogonale allo spazio generato dai vettori a.

∥a ∧ ∧ · · · ∧ ∥ · · ·

2 2 2 2 (2)

Risulta inoltre che .

a a = w + w + + w = a

−1

1 2 N 1 2 N

9.1 Integrale su sottovarietà parametrizzabili

⊂ R N

Sia sottovarietà differenziale di dimensione parametrizzabile,

V m

⊂ → R

misurabile rispetto a , misurabile rispetto a ,

A V V f : A V f

−1

⊂ R →

m

positiva, aperto, parametrizzazione di ,

D φ : D V V P = φ (A),

si pone ˆ ˆ √ (9.2)

f (x)ds = f (φ(t)) γ dt.

φ (t)

A P

Per abbiamo una curva e la matrice jacobiana di è la matrice

m = 1 φ

colonna Figura 9.1: Sottovarietà di

  V

′ R N di dimensione con sua

φ (t) m

1

 

′ parametrizzazione.

φ (t)

 

2

′ ′ ′ ′

⇒ ∥φ 2

 

φ (t) = γ = (φ (t)|φ (t)) = (t)∥ ,

.. ′

φ (t)

 

.

′ (t)

φ N

quindi l’Equazione 9.2 diventa ˆ ˆ ′

f (x)ds = f (φ(t))∥φ (t)∥dt.

A P

Con la matrice jacobiana di sarà

m = 2 φ

  )( )

(

∂φ ∂φ

1 1 ∂φ ∂φ ∂φ

∂φ

(u, v) (u, v)

  (u, v) (u, v) (u, v) (u, v)

∂u ∂v

 

.. .. ∂u ∂u ∂u ∂v

 

′ ⇒ ( )( )

φ (u, v) = γ = .

 

. . ′

φ (u,v)

  ∂φ ∂φ

∂φ ∂φ

∂φ ∂φ (u, v) (u, v) (u, v) (u, v)

N

N (u, v) (u, v) ∂v ∂u ∂v ∂v

∂u ∂v

I termini di questo determinante sono indicati con i simboli di Gauss

( )

∂φ ∂φ

E(u, v) = (u, v) (u, v) ,

∂u ∂u

( )

∂φ ∂φ

F (u, v) = (u, v) (u, v) ,

∂u ∂v

( )

∂φ ∂φ

G(u, v) = (u, v) (u, v) ,

∂v ∂v

46

per cui il graamiano sarà uguale a − 2

γ = E(u, v)G(u, v) (F (u, v)) ,

φ (u,v)

da cui segue che l’Equazione 9.2 sarà

ˆ ˆ √ − 2

E(u, v)G(u, v) (F (u, v)) dudv.

f (x)ds = f (φ(u, v))

A P

Si può dimostrare che il valore di dipende dal modo in cui le curve con costante si interseca-

F (u, v) u

no con quelle con costante, quindi se queste curve sono sempre perpendicolari il valore di sarà nullo.

v F (u, v)

Prendiamo ora il caso generale con che ci dà la matrice jacobiana

m = N 1

 

· · ·

D φ (t) D φ (t)

−1

1 1 1

N

 

.. ..

′  

φ (u, v) = . .

· · ·

D φ (t) D φ (t)

−1

1 N N N

per cui si ha ∧ ∧ · · · ∧

∥D 2

D φ(t) D φ(t)∥ ,

γ = φ(t) −1

′ 2

1 N

φ (t)

da qui segue che ˆ ˆ ∧ ∧ · · · ∧

f (x)ds = f (φ(t))∥D φ(t) D φ(t) D φ(t)∥dt.

−1

1 2 N

A P −1

{(x, ∈ ⊂ R → R

N

Se la varietà è il grafico di una funzione avremo aperto, di

V = g(x)); x D}, D g : D

⊂ {(x, ∈ }

1

classe , misurabile, per cui

C P D A = g(x)); x P

ˆ ˆ √ · · · (9.3)

2 2

f (x, y)ds = f (x, g(x)) 1 + (D g(x)) + + (D g(x)) dx;

−1

1 N

A P 9.3 diventa

in particolare con l’Equazione

N = 3 √ ( ) ( )

ˆ ¨ 2 2

∂g ∂g

f (x, y, z)ds = f (x, y, g(x, y)) 1 + (x, y) + (x, y) dxdy.

∂x ∂y

A P

R ⊂

N

Sia sottovarietà di differenziale di dimensione parametrizzabile, misurabile rispetto a ,

V m A V V

pongo misura di rispetto alla varietà

A ˆ

mis (A) = ds.

V A

⊂ R → R

N M

Sia , , dico che una funzione è localmente lipschitziana se

A f : A ∈ ∈ ∥f − ≤ −

intorno di

(∀a A)(∃U a)(∃L > 0)(∀x, y U ) (x) f (y)∥ L∥x y∥.

1

Possiamo sostituire la condizione di sottovarietà di classe con lipschitziana ottenendo le sottovarietà

C

lipschitziane che ammettono spazio tangente in tutti i punti a meno di un insieme di misura nulla rispetto

alla sottovarietà. Per ora abbiamo considerato sottovarietà aperte, ma poiché sappiamo che gli insiemi

di misura nulla non contano nulla nel calcolo dell’integrale, possiamo anche considerare delle sottovarietà,

lipschitziane e non, con bordo.

⊂ R ∃φ →

N

Sia , dico che è un arco semplice regolare se biettiva tale che:

γ γ : [a, b] γ

1. omeomorfismo;

φ 1

2. di classe ;

φ C ′

∈ ̸

3. (∀t [a, b]) φ (t) = 0; 1

cioè è la deformazione di un intervallo; se è lipschitziana e non di classe l’arco si dice lipschitziano.

γ φ C

47

L’integrale curvilineo rappresenta, supponendo di dividere la curva in tanti

pezzettini, la sommatoria della lunghezza di ognuno dei pezzi moltiplicata per

il valore della funzione integranda in un punto del pezzo. Abbiamo curva

γ

⊂ R R

2 3

in e la funzione ne dà un’immagine in come si vede in Figura 9.2,

A

per cui, intuitivamente l’integrale è l’area sottesa da e dalla sua immagine

γ

tramite . Se è simmetrica rispetto a un asse, può assumere valori opposti

f γ f

in punti simmetrici e l’integrale è nullo, o anche gli stessi e in caso il valore

dell’integrale è pari a due volte il valore su metà curva. Figura 9.2: L’integrale di

Per gli integrali di superficie procediamo come per i curvilinei e dividiamo una funzione su una cur-

la superficie in tanti pezzi, l’integrale rappresenta quindi la somma dell’area di R 2

va di rappresenta l’area

ognuno di questi pezzi moltiplicata per il valore della funzione in un punto del evidenziata in nero.

pezzo di superficie. La superficie può essere simmetrica rispetto a un piano e

abbiamo una situazione analoga a quella descritta per le curve.

9.1.1 Applicazioni geometriche

9.1.1.1 Lunghezza di una circonferenza

Consideriamo una circonferenza di centro e raggio sappiamo che la sua lunghezza è l’integrale

(x , y ) r,

0 0

sulla circonferenza della costante consideriamo la parametrizzazione

1,

{ x = x + r cos t ′ ′

0 ∈ ⇒ ⇒ ∥φ

, t [0, 2π] φ (t) = (−r sin t, r cos t) (t)∥ = r,

φ(t) = y = y + r sin t

0 ˆ ˆ 2π

ds = r ds = 2πr.

γ 0

9.1.1.2 Lunghezza di un’elica circolare

Prendiamo l’asse come asse dell’elica che ha raggio fase e velocità di salita la parametrizzazione

z r, ω v,

sarà  [ ]

 √

x = r cos(ωt) 2π ′ ′

∈ ⇒ ⇒ ∥φ 2 2 2

y = r sin(ωt)

φ(t) = , t 0, φ (t) = (−rω sin(ωt), rω cos(ωt), v) (t)∥ = r ω + v ,

 ω

z = vt 2π

ˆ ˆ √ √

ω 2 2 2 2 2 2

r ω + v dt = r ω + v .

ds = ω

γ 0

9.1.1.3 Lunghezza di una cicloide

Pensiamo una circonferenza con centro sull’asse nel semipiano con positivo appoggiata sull’asse come

y y x

in Figura 9.3a; se comincia a rotolare verso destra il punto che era nell’origine si sposta descrivendo la

cicloide; facendo riferimento alla Figura 9.3b la parametrizzazione della curva sarà

{ ′

− −

OA P A = rθ r sin θ

x = ′

∈ ⇒ −

φ(θ) = , θ [0, 2π] φ (θ) = (r r cos θ, r sin θ)

′′

− −

y = OB P B = r r cos θ √ √ √

′ − −

⇒ ∥φ 2

2r (1 cos θ) = 2r 1 cos θ,

(θ)∥ =

ˆ

ˆ √ √

2π − (9.4)

2r 1 cos θ dθ,

ds = 0

γ 48

t 1−cos t t

2 2

poiché sappiamo che si ha per cui l’Equazione 9.4 sarà uguale a

sin = 1 cos t = 2 sin

2 2 2

√ [ ]

ˆ ˆ

√ 2π

2π 2π

θ θ θ

−2

2

2r 2 sin sin = 8r.

dθ = 2r dθ = 2r cos

2 2 2

0 0 0

(a) (b)

Posizione iniziale. Posizione dopo una

rotazione di un angolo θ.

Figura 9.3: Cicloide tracciata dal punto durante la rotazione della circonferenza.

P

9.1.1.4 Superficie laterale di un cilindro

Consideriamo un cilindro regolare con raggio di base e altezza la parametrizzazione sarà

r h,

  

−r

 x = r cos u sin u 0

 

∈ × ⇒

y = r sin u r cos u 0

φ(u, v) = , (u, v) [0, 2π] [0, h] φ (u, v) =

 z = v 0 1

 2

 √

E = r √

⇒ ⇒ 2 2

F = 0 EG F = r = r,

 G =1

¨

¨ · ·

ds = r dudv = r 2π h = 2πrh.

S [0,2π]×[0,h]

9.1.1.5 Superficie laterale di un cono regolare

Consideriamo un cono regolare di altezza e raggio di base una parametrizzazione sarà

h r,

(x, y, z) = (0, 0, h) + t((r cos θ, r sin θ, 0) (0, 0, h))

  

−rt

 sin θ r cos θ

x = rt cos θ  

∈ × ⇒

⇒ rt cos θ r sin θ

y = rt sin θ , (θ, t) [0, 2π] [0, 1] φ (θ, t) =

φ(θ, t) =  −h

− 0

z = h th

 2 2

 √ √

E = r t √

⇒ ⇒ − 2 2 2 2 2 2 2

F =0 EG F = r t (r + h ) = rt r + h ,

 2 2

G = r + h √

( ) ( )

¨ ˆ ˆ

¨ √ √ 2π 1 2 2

2πr r + h

·

2 2 2 2

rt dθ t dt =

ds = r + h dθdt = r r + h ,

2

[0,2π]×[0,1] 0 0

S

cioè l’area di un triangolo avente per base la circonferenza e altezza l’apotema del cono.

49

9.1.1.6 Superficie sferica

Considerando una sfera di raggio la parametrizzazione è

r,

  

−r

 x = r sin φ cos θ r cos φ cos θ cos φ sin θ

 

∈ × ⇒

y = r sin φ sin θ r cos φ sin θ r sin φ cos θ

α(φ, θ) = , (φ, θ) [0, π] [0, 2π] α (φ, θ) =

 −r

z = r cos φ sin φ 0

 √

2

 √

E = r ⇒ −

⇒ 2

2

2 4

F =0 EG F = r sin φ = r sin φ,

 2

2

G = r sin φ ( ) ( )

¨ ¨ ˆ ˆ

π 2π

· · · ·

2 2 2 π 2 2

ds = r sin φ dφdθ = r sin φ dφ dθ = r [− cos φ] 2π = r 2 2π = 4πr .

0

S [0,π]×[0,2π] 0 0

9.1.1.7 Superficie di rotazione

Abbiamo una curva sul piano come in Figura 9.4, i punti generati

γ xz ′ ′

dalla rotazione a partire da un punto sono

(x , 0, z )

 ′

 z = x cos θ

y = x sin θ ,

 ′

z = z

mentre una parametrizzazione di è

γ

{ ′

x = φ (t) Figura 9.4: Una curva sul piano

1 ∈ ≥

, t [a, b], φ (t) 0;

′ 1 ′ ′

z = φ (t) ruotata attorno all’asse ,

xz z. x z

2 e sono usati per parametrizzare i

θ

mettendo assieme si ha punti ottenuti.

 z = φ (t) cos θ

1 ∈ ×

y = φ (t) sin θ , (t, θ) [a, b] [0, 2π]

α(t, θ) = 1

 z = φ (t)

2 

 

′ ′

−φ ∥φ 2

 √

φ (t) cos θ (t) sin θ E = (t)∥

1

1

 

′ ′

⇒ ⇒ ⇒ − ∥φ

2

φ (t) sin θ φ (t) cos θ F = 0

α (t, θ) = EG F = (t)∥φ (t),

1 1

1 ′ 2

φ (t) 0 G = (φ (t))

1

2 ( ) ( )

¨ ¨ ˆ ˆ ˆ

b 2π

′ ′ ′

∥φ ∥φ ·

ds = (t)∥φ (t)dtdθ = (t)∥φ (t)dt dθ = 2π x ds.

1 1

S [a,b]×[0,2π] a 0 γ

Come avevamo fatto per le superfici definiamo il baricentro della curva

ˆ ˆ 

 x ds y ds 

 

 γ γ ,

G = , 

 mis(γ) mis(γ)

quindi si ha ˆ ′

ˆ x ds

′ γ ·

2π x ds = 2π mis(γ) = 2π G mis(γ).

1

mis(γ)

γ

Da ciò segue che l’area di una superficie torica generata da una circonferenza di raggio a distanza

r a

dall’origine è 2

mis(S) = 4π ar.

50

Capitolo 10

Integrali di forme differenziali su

sottovarietà orientate ′ ′ ′ ∈

Sia uno spazio vettoriale reale di dimensione e basi di ,

V n, (v , v , . . . , v ) (v , v , . . . , v ) V a M (R)

1 2 n n

n

1 2

′ n

la matrice di cambiamento di base, e quindi invertibile, tale che , dico che le due basi sono

v = a v

ij j

i j=1

equivalenti se det a > 0.

R{x, R{x,

Sia insieme, relazione fra elementi di dico che è relazione di equivalenza in se

A A, A

y} y}

∈ R{x,

1. (∀x A) x};

∈ R{x, ⇒ R{y,

2. (∀x, y A) y} z};

∈ R{x, ∧ R{y, ⇒ R{x,

3. (∀x, y, z A) y} z} z};

∼ ∈

in tal caso si scrive Sia pongo classe di equivalenza di

x y. a A, a

{x ∈ ∼ ∈ ̸ ∅.

[a] = A; x a}, a [a], a =

{[a]; ∈

Poniamo insieme quoziente e poiché le classi di equivalenza non si toccano, si dice che

A/∼ = a A}

l’insieme quoziente è una partizione di dato che l’insieme viene diviso in più parti.

A

B B/∼ {B }, ∈ B/∼

Sia l’insieme delle basi di , allora si chiama orientazione di .

V = , B B V

1 2

Consideriamo per cui abbiamo una retta, una base è data un

n = 1

qualunque vettore non nullo: se due basi stanno dalla stessa parte rispet-

to all’origine sono equivalenti, se stanno in parti diverse no. Con n = 2

una base è formata da due vettori e, come rappresentato in Figura 10.1,

si considera in che verso ruota il primo vettore per sovrapporsi al secondo

con un angolo minore di un angolo piatto: due basi sono equivalenti se

il verso di rotazione è lo stesso. Con ci si pone in e si “guarda

n = 3 v 3

in basso” verso gli altri due vettori: le basi sono equivalenti se il verso

di rotazione di per portarsi su è lo stesso, la definizione è uguale

v v

1 2 Figura 10.1: Le due basi sono

se ci si pone sul primo e si guarda la rotazione di per andare in .

v v

2 3 equivalenti perché entrambi i primi

Scegliere un’orientazione vuol dire scegliere una classe di basi equivalenti, vettori ruotano in senso antiorario

con ciò equivale a dare un verso allo spazio, un ordine, con

n = 1 n = 2 per sovrapporsi ai secondi.

si fissa un senso di rotazione.

R n

Prendiamo , la sua orientazione canonica è data dalla base canonica.

V = B = [(e , e , . . . , e )]

1 2 n

∈ R ∧ ∧ · · · ∧

n−1

Sia linearmente indipendenti, è una base di

v , v , . . . , v (v v v , v , v , . . . , v )

1 2 n−1 1 2 n−1 1 2 n−1

R R

n n

con l’orientazione canonica di .

R R →

N m

Sia sottovarietà di differenziale di dimensione parametrizzabile, aperti di ,

V m D, D φ : D V

1

−1 ′

→ ◦ ◦ ∈ ̸

e parametrizzazioni di , diffeomorfismo,

ψ : D V V α = ψ φ, φ = ψ α, α (∀t D) det α (t) = 0,

1 ′

∈ P

dico che è equivalente a se Sia l’insieme delle parametrizzazioni di , la

φ ψ (∀t D) det α (t) > 0. V

P; ∈ P/∼

relazione equivalente a è una relazione di equivalenza in un si chiama orientazione di .

φ ψ P V

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DESCRIZIONE APPUNTO

Conoscenze e abilità da conseguire
Affinamento e arricchimento degli strumenti matematici di base (serie, curve, vari tipi di integrale, equazioni differenziali) per la risoluzione di tipici problemi applicativi.

Programma/Contenuti
Calcolo differenziale per funzioni in più variabili:
Introduzione Elementi di topologia, spazi metrici e spazi normati. Funzioni da R^n in R^m (n,m=1,2,3). Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass.
Funzioni in più variabili a valori reali Derivate parziali e derivate direzionali per funzioni in più variabili a valori reali. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Hessiano. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente.
Calcolo differenziale per funzioni in più variabili a valori vettoriali. Jacobiano. Composizione di funzioni: teorema dello Jacobiano della funzione composta.
Applicazioni del calcolo differenziale:
Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Teorema di Sylvester. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie o sufficienti per funzioni C^2.
Varietà regolari in forma implicita Spazio normale e spazio tangente. Teorema del Dini e parametrizzazione locale di una varietà. Massimi e minimi vincolati. Teorema di Fermat per estremanti condizionati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Misura e integrazione per funzioni in più variabili Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teorema della media. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini normali. Principio di Cavalieri. Teorema di Cavalieri. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2015-2016

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher piscoTech di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Ravaglia Carlo.

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