Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Ravaglia Carlo

Conoscenze e abilità da conseguire Affinamento e arricchimento degli strumenti matematici di base (serie, curve, vari tipi di integrale, equazioni differenziali) per la risoluzione di tipici problemi applicativi. Programma/Contenuti Calcolo differenziale per funzioni in più variabili: Introduzione Elementi di topologia, spazi metrici e spazi normati. Funzioni da R^n in R^m (n,m=1,2,3). Limiti e continuità. Teorema di Bolzano. Teorema di Weierstrass. Funzioni in più variabili a valori reali Derivate parziali e derivate direzionali per funzioni in più variabili a valori reali. Gradiente e sue proprietà. Derivate di ordine superiore. Hessiano. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine. Piano tangente. Calcolo differenziale per funzioni in più variabili a valori vettoriali. Jacobiano. Composizione di funzioni: teorema dello Jacobiano della funzione composta. Applicazioni del calcolo differenziale: Massimi e minimi relativi liberi. Teorema di Fermat. Richiami su forme quadratiche associate a matrici simmetriche e la loro classificazione. Teorema di Sylvester. Classificazione dei punti critici: condizioni necessarie o sufficienti per funzioni C^2. Varietà regolari in forma implicita Spazio normale e spazio tangente. Teorema del Dini e parametrizzazione locale di una varietà. Massimi e minimi vincolati. Teorema di Fermat per estremanti condizionati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Misura e integrazione per funzioni in più variabili Misura di Peano-Jordan. Integrale di Riemann per funzioni da R^n in R. Proprietà dell'integrale: additività, monotonia, linearità. Teorema della media. Teoremi di riduzione degli integrali doppi e tripli in domini normali. Principio di Cavalieri. Teorema di Cavalieri. Cambiamento di variabile per l'integrale multiplo. Coordinate polari, sferiche, cilindriche.