Analisi matematica 2

Analisi matematica 2

Le funzioni

• Si dice funzione di una variabile o di più variabili una funzione definita f: A ⊂ Rⁿ → A ⊂ R^m.
• Si dice funzione a valori reali o vettoriali una funzione che ha codominio in R (m=1),
• esempi: f: R → R funzione reale di una variabile
• f: R² → Rⁿ funzione reale di due variabili
• f: R → R² funzione vettoriale di due variabili

Per n=2,3 f: A ⊂ Rⁿ → R^m traduce a significati geometrici precisi di curve nel piano o nello spazio.

Funzioni a valori vettoriali

• limiti: definizione delle curve

Si Φ: I ⊂ Rⁿ una funzione a valori vettoriali, si intende con f: I ↦ P ⊂ Rⁿ.

Definizione:

Si dice lim _t→t0 Φ(t) = P se lim _t→t0 Φ_i(t) = P_i per i=1,...,n.

Osservazione:

Il limite Φ è calcolato componenti per componenti.

Proposizione:

Φ(t) = (x₁(t), ..., x_n(t))P = (P₁, ..., P_n).

Si ha che lim _t→t0 Φ(t) = P se e solo se lim _t→t0 x_i(t) = P_i ∀ i = 1, ..., n.

Dimostrazione:

lim → Rⁿ Φ(t) = (x₁(t), x₂(t)) per t → x₀, y₀

lim Φ(t) - P || = || (x(t) - x₀), (y(t) - y₀) ||→ 0 ( x(t) - x₀)f: {(t)| t ∈ (x(t) - x₀) }

• (y(t) - y₀)

Continuità rif. SB

Definizione:

Φ: E ⊂ Rⁿ continua in t₀ ∈ E se lim _t→t0 Φ(t) = Φ(t₀).

Una funzione che fornisce a valori vettoriali è continua se e solo se tutte le sue componenti sono continue.

Arco di curva continua (regolare)

Definizione:

Si chiama arco di curva continua o parametrica una qualunque funzione continua Φ: E ⊂ Rⁿ.

Esempio:  Φ: x(t) = t cost   ∀ t ∈ [0, 2πy(t) = t sen ]

Circunferenza funzione e curve, immagine e ombra

Def: Sostegno della curva e immagine della funzione φ

[a, b] → Rⁿ (tracciare dei punti di Rⁿ passando uno per uno)

• Esempio: φ([a, b])=[φ₁(t), φ₂(t), ...]
• Pannelli ∈ [C₀, 1]
• Proprietà delle curve

Una curva φ: [a, b] → Rⁿ, ϕ(t) = ϕ(b), punto di partenza = punto di arrivo

• Chiusa se ϕ(a) = ϕ(b)
• Semplice se t₁, t₂ ∈ [a, b] di cui ϕ(t₁) = ϕ(t₂) allora
• Piana nel piano che contiene il suo sostegno

Sia una curva ϕ contenuta in un piano, proiezione o curva di coordinazione in due dimensioni (parametrizzazione della curva), il sostegno procura il sostegno delle curve.

Esempi:

• Segmento di paralleli P₁(x, y) e P₂(x, y):
ϕ(t) = (1 - t)P₁ + tP₂ t ∈ [0, 1] congiunzione connessa x = (1 - t) x₂ + x₁ y = (1 - t) y₁ + y₂
• Retta nello spazio, passante per P₀(x₀, y₀, z₀) e v // V(v₁, v₂, v₃):
x = x₀ + t v₁ y = y₀ + t v₂ z = z₀ + t v₃ φ̅ = P₀ + tV
• Elipica:
[(cos b, sen(kt))] semplice, non chiusa
• Ellisse a, b > 0
x²/a² + y²/b² = 1 ϕ(t) = (acos, bsen) t∈ [0..2π]
• Iperbole
x²/a² - y²/b² = 1 (solo cos x≠0) ϕ(t) = (acosht, bsenht) t ∈ ℝ

Grafico di funzione continue

• Asteroide x²/a² + y²/b² = 1
• x = a cos³ t
• y = b sin³ t

e non polare

semplice, regolare a tratti e chiusa

• Cicloide
• x = t - sin t
• y = 1 - cos t

e non polare e periodica

semplice

x³ + y³ - 3xy = 0

Funzioni di più variabili

(insieme di coppie) f: Rⁿ → R

La variabile indipendente è un valore vettoriale, il valore della funzione è uno scalare

esempio: curve eccessive e domini?

f(x, y) = 2x + xy

D: x, y > 0

e dobbiamo e dato dell'inverso insieme A = {(x,y) ∈ Rⁿ | X Y > 0}

x² + xy e osserva il valore = f (1,1) = 0

D ⇔ x ∈ R y 1² parametri permeant in

oss: Le disequazioni in più variabili hanno una risoluzione grafica

i 107

Intorni e punti d'accumulazione

N in R è intorno di un intervallo

x₀ ∈ R c : [x₀ - c, x₀ + c] : c <-> x ∈ [x₀ - c, x₀ + c]

Sono i punti cui hanno di un intorno che insieme ad

I_R(x₀): intorno del centro X₀ e raggio r

intorno sferico in Rⁿ

DEF: solo t ∈ Rⁿ e emidio x > 0 (negato) e dice intorno sferico di centro P₀ e raggio o, r

B_I(P₀, r) = {P ∈ Rⁿ` | P - P₀| < r}

(negato: se io πémio) intorno circolare sono quei punti dove siamo anche acc.... (2)

B_C(x₀, y₀)(x- x₀)² + (y-y₀)² < r²

P₀ (x₀ ...)

P_Q (x, y, z)

P_R una retta

| P - P₀ | passato

ciò fa cambio e fa definizione di anziar in base dei anzra de cupan g

DEF: f è continua in A se è continua in ogni punto P₀ ∈ A.

• Esempi:
  • Le funzioni costanti sono continue
  • Le funzioni continue in due variabili sono continue
  • f(x, y) = x
  • f(x, y) = y

Esercizio: Determinare se f continua in (0,0)

• f(x) = 0
• Scegliere δ = ε
• Mostrare con le costruzione dell’ε che |x| < δ = |x| < ε
• Simbolo: ε > 0 |x| < ε
• Non deve influire il denominatore nella componente f da (0,0)

Oss:

• 0 ≤ |x| ≤ √(x² + y²)
• 0 ≤ |y| ≤ √(x² + y²)
• Scelto ε > δ, ε, d’ε, allora 0 ≤ |x| ≤ ε
• Dove √(x² + y²) ≤ ε >> f(x) < ε (per def of ε limit)

Siccome le funzioni coordinate sono continue grazie al teorema sull’algebra dei limiti, ne consegue che le funzioni combinate sono continue.

Teorema: Continuità delle funzioni combinate

(effetto di limiti) Se le variabili prese ed ottenute combinando (non) continue tramite somme, prodotto, quoziente e composizione, allora la funzione combinata risulta continua (nel suo dominio).

• Esempi:
  • f(x, y) = x⁴ + y² + 5x¹ (funzione polinomiale continua in R)
  • f(x, y) = sen(xy) + e^x continua in R (combinazione di funzioni elementari)
  • f(x, y) = e^xy continua in R

Differenziabilità

pg 124x = x_{oivi vicino}

y = f(x) e derivabile⇔ {f(x_o + h) - f(x_o)} = f^'(x_o) . (x - x_o) + o(x - x_o) per x → x_oequivalefunzioni a più variabili (come al liceo) (x₁, x₂)1. e.g. {(x, y)} possono appartenere acondizioni inerenti variabili

Def Supponiamo che esistono le derivate parziali f_x, f_y (x_o, y_o) ≤ f_x (x, y) ∀ P_o

Allora ciò è differenziabile in P_o se

{f(x, y) - [{f(x_o, y_o)} + f_x (x_o, y_o) (x - x_o) + f_y (x_o, y_o) (y - y_o)] in _eu}= 0

{(x-x_o)+(x_i-y_o)

(FAPROVARE)

{x{ }} = x_o . b^-1 [ f