Analisi matematica 2

Name: Analisi matematica 2
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Author: sarabru_16

Revisionato il 30/06/2026

di sarabru_16

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Appunti di Analisi matematica 2 interamente presi a lezione del professor Calamai.Comprendono esempi ed esercizi tipo che insieme alla teoria risultano necessari alla preparazione dell'esame sia …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Calamai Alessandro

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2020-2021

118 pagine

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Analisi matematica 2: le funzioni

Definizione di funzione

Si dice funzione di una variabile o di più variabili una funzione definita in A ⊆ &reals;, A ⊆ &reals;ⁿ. Si dice funzione a valori reali o vettoriali una funzione che ha codominio &reals;, &reals;^m.

Esempi di funzione

&reals; ¹ → &reals;¹: Funzione vettoriale di una variabile
&reals; ² → &reals;¹: Funzione reale di due variabili
&reals; ² → &reals;²: Funzione vettoriale di due variabili

Per n = 2, 3, F: A ⊆ &reals;¹ → &reals;^m induce un significato geometrico preciso di curve nel piano o nelle tre dimensioni.

Funzioni a valori vettoriali

Limiti

Sia φ : [0, 1] → &reals;ⁿ una funzione a valori vettoriali nell'intervallo [0, 1] ⊆ &reals;¹. Def: Si dice lim φ(t) = P se lim ||φ(t) - P|| = 0, t → t₀. Oss: Il limite si calcola componente per componente. Prop: φ(t) = ( , , ..., ). Si ha che lim φ(t) = P.

Dim: ||φ(t) - P|| = ||(x₁(t) - x₁(t₀)), x₂(t) - x₂(t₀))|| → 0 => ||(x₁(t) - x₁(t₀)), x₂(t) - x₂(t₀))||, ... => 0 = ||(x₁(t) - x₁(x_n(t) - x_n(t₀))||.

Continuità

Def: φ è continua in t o T se lim φ(t) = φ(t₀), t → t₀. Una funzione a valori vettoriali è continua se e solo se tutte le sue componenti sono continue.

Arco di curva continua / regolare

Def: Si chiama arco di curva continua o parametrica una qualunque funzione continua φ : I → &reals;ⁿ.

Esempio: φ : I(t) = tcost, y(t) = esint t &in; [0, 2π]. Equazione parametrica dell'epiciclocirconferenza funzione e curva importante e semplice.

Analisi matematica 2: le funzioni

Definizione di funzione

Si dice funzione di una variabile o di più variabili una funzione definita in A ⊂ ℝ e che a x ∈ A fa corrispondere un (e uno solo) elemento di B ⊂ ℝ. Si dice funzione a valori reali o vettoriali una funzione che ha codominio ℝ (ℝ^m).

Esempi di funzione

ℝ ⊂ ℝⁿ: L’ultimo vettore ad una variabile
ℝ²: L'ultimo reale ad due variabili
ℝ²: L’ultimo vettoriale ad due variabili
ℝ³: L’ultimo vettoriale ad due variabili

Per m = 2, 3, f: A ⊂ ℝ^m l’analisi del significato geometrico passerà a curve nel piano o nelle tre dimensioni.

Funzioni a valori vettoriali

Limiti

Si dice φ(t) : I → ℝ^d una funzione a valori vettoriali nell’intervallo, Io ⊆ I ⊂ ℝ^m. DEF: Si dice lim φ(t) = P se lim φ(t) - P = 0. OSS: Il limite è quello componente per componente. PROP: φ(t) = (x₁(t), ..., x_n(t)). Si ha che lim φ(t) = P se e solo se lim x_i(t) : ∀ i = 1, ..., n.

DIM: lim ℝ^d φ(t) = (x₁(t), y₁(t)). Per (x₀, y₀), lim φ(t) - P = lim (x(t) - x₀) = lim (x(t) - x₀) + (y(t) - y₀) = 0 → {x(t), x₀} ∩ {y(t), y₁}.

Continuità

DEF: φ è continua in t con E ⊂ t₀ | lim φ(t) = φ(t_c). Una funzione φ(t) continua a valori vettoriali è continua se e solo se tutte le sue componenti sono continue.

Arco di curva continua (regolare)

DEF: Si chiama arco di curva continua o parametrica una qualunque funzione continua φ: I → ℝ^m. Esempio: φ : [0,2π] = (cos t)l(t) := (sen t). Equazioni parametriche esplicite, circonferenza funzioni curve implicite e retrop.

Sostegno della curva e l'immagine della funzione

φ: [a,b] ⊆ R^m (insieme dei punti di R^m passanti dai punti.)

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