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Funzioni composte
Siano f e g due funzioni e supponiamo che la funzione composta h = f ∘ g sia definita almeno in un intorno di a. Se g è differenziabile in a e f è derivabile in g(a), allora la funzione composta h è differenziabile in a e:
h'(a) = f'(g(a)) * g'(a)
Siano f e g due funzioni e supponiamo che la funzione composta f ∘ g sia definita almeno in un intorno di t0. Se g è derivabile in t0 e f è differenziabile in g(t0), allora la funzione composta f ∘ g è derivabile in t0 e:
(f ∘ g)'(t0) = f'(g(t0)) * g'(t0)
Ortogonalità del gradiente con le curve di livello
Sia f una funzione differenziabile e C l'equazione di una sua linea di livello. Supponiamo che questa linea ammetta una rappresentazione parametrica regolare c(t). Allora, posto P = c(t0) per definizione, e dunque:
∇f(P) è ortogonale in ogni punto alle linee di C.
livello della funzione.
5. DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE
5.1. Derivate di ordine superiore
Supponiamo che una funzione reale di due variabili, f, possieda la derivata parziale in tutto un insieme aperto A. Possiamo allora chiederci se la funzione sia a sua volta derivabile nei punti di tale insieme.
In caso affermativo calcoliamo le derivate parziali di f, che si indicano con i simboli Fx, Fy.
Analogamente, le derivate parziali di Fx e Fy (se esistono) sono:
Fxx, Fxy, Fyx, Fyy.
Queste quattro funzioni si dicono derivate parziali seconde di f.
Data una funzione f con A aperto, per cui una derivata parziale esiste in tutto l'insieme A, possiamo chiederci se questa funzione sia derivabile rispetto a una variabile x.
In caso affermativo, si indicherà tale derivata con il simbolo f'.
Teorema di Schwarz
Sia f con A aperto.
Supponiamo che per certi indici i e j le derivate seconde miste fxi,xj e fxj,xi esistano in un intorno di un punto Xo e siano entrambe continue in Xo.
coincidono in Xo fxi.xje.fijxi EIA. Una funzione che ha tutte le derivate parziali seconde continue in un aperto si dice di classe A5.2. Differenziale secondo, matrice hessiana e formula di Taylor feci la differenziale secondo. Se e , i si dice di in la funzione EA f ionn OfI hihjdxiox.lk1 i eiiofI coefficienti che compaiono nel differenziale secondo possono essere ordinati in una matrice dxiox.lt matrice hessiana di ordine detta di inf Xeh n fxxikdfxzx.IEfxixncxoifxzklxdfxaxz.li fecifxzxnixI seHello i Hf Nati E Simmfxnxikdfxnxzlxd.e.fxnxr.lkfxxko.to. Se è una funzione di due variabili F Mf yo fyxlxaydfxykoYoIYdfyylxoe il differenziale secondo d'fluito dx2t2fxylXofxxlxo.no YoIdxdytfyylxoYoIdy2. Formula di Taylor Resto secondo Lagrange fetta xDSia e siano , tali che il segmento sia contenuto in .heir Ae IoAllora esiste un numero reale , dipendente da e , tale cheI10,1SE eÈfiltri hiHaifarà 12jfxjlxotohlhihjf. Resto secondo Peano c.ciSia . Per ogni vale la formula, perla IAEA è finita hitFilth lei glo6. OTTIMIZZAZIONE lhihjtolllhlHf6.1. Generalità sui problemi di ottimizzazioneottimizzazioneIl termine si riferisce a un'ampia categoria di problemi che rivestono enorme importanza nelle scienze applicate; in generale si tratta di massimizzare o minimizzare una quantità, in gergo un obiettivo, sotto certe condizioni. L'obiettivo è costituito da una funzione reale in variabili reali con estremi liberi.• Ricerca di estremi assunti in punti interni al dominio. Si parla di massimizzazione (aperto) o minimizzazione (aperto).• Ricerca di estremi assunti su un sottoinsieme di R o sulla frontiera di R. Si parla allora di estremi vincolati (es. massimizzazione di una funzione su un cerchio chiuso del piano).Sia x0 un punto interno al dominio D di f.• x0 è punto di massimo (minimo) assoluto per f in D se f(x0) è il massimo (minimo) valore assoluto di f in D.• x0 è punto di massimo (minimo) locale/relativo per f in D se esiste un intorno di x0 in cui f assume valori minori (maggiori) o uguali a f(x0).è il massimo (minimo)filoXo Alocale/relativo di in sefKIEV hasiSe nelle definizioni precedenti le disuguaglianze sono strette ( < o > ), i punti di estremo e gli estremi siforti, deboli.dicono altrimenti si diconoflhefcxdlflxiafcxdlfi.AE6.2. Estremi liberi - Teorema di FermatRn faSia , con aperto e un punto di massimo o minimo locale perlR IEAAfSe è derivabile in , allora Pf Oe6.3. Forme quadraticheIn assenza di informazioni aggiuntive, un modo per determinare la natura di un punto critico è quello diutilizzare la formula di Taylor per analizzare il segno dell’incremento fettaDf filoSe si riesce a stabilire che si mantiene di segno positivo (negativo) per ogni di moduloAf Iabbastanza piccolo, possiamo dedurre che è un punto di minimo (massimo) locale.Se invece, al variare di , cambia segno, siamo in presenza di un colle.AfIfeci laSia e of e ÈTaylor Afl OHHHflotta fxixjlxdhih.ptfiordineIIQuindi, per determinare il segnoDell'incremento di , bisogna studiare un polinomio omogeneo di forma quadratica secondo grado nelle componenti di , che si chiama la E.
Consideriamo una forma quadratica su definita da hnR 91h1 91h1aijhihjaij.fico coefficienti. Dove gli sono numeri reali, detti:
- Prodotto scalare Mh ha 91h1
- Prodotto matriciale htm h91h1
Essendo interessati al segno che la f.q. assume al variare di , possiamo notare che 1 assume segno costante su ogni retta passante per l'origine (origine esclusa)..91h1 le
Definita:
- positiva (negativa) se, alta 0Oth 0the
- Semidefinita:
- positiva (negativa) se, to 7hO queIIo O t.c.qlhleOJ
- Indefinita:
- se, qualehi.hr te qual 0 0e
CASO BIDIMENSIONALE ahtt2bhihzt chi detteqlhi.hr Fai ahit thahaa IIMmatrice:
- Definita positiva (negativa) se e solo se lorodetti 0 Oae loco
- Semidefinita positiva (negativa) se e solo se detm.ci Oae
- Indefinita se e solo se detti 0e
Se , nelle affermazioni precedenti occorre sostituire conO CIOa caTEST DEGLI
AUTOVALORI
Un numero complesso e un vettore non nullo si dicono, rispettivamente, autovalore e autovettore
Idi una matrice quadrata di ordine , se soddisfano la relazione
M nMI MDI 1din 0se e solo se è soluzione dell’equazione caratteristica: datd M din OI O
Le matrici simmetriche posseggono importanti proprietà:
- Gli autovalori sono numeri reali e possiedono autovettori reali
- Esistono autovettori linearmente indipendenti che sono una base ortonormale IRlli Win
- La matrice le cui colonne sono gli autovettori, è ortogonale (cioè )51Wi5 sNne diagonalizza M insenseiqlhlhtMhM h èhhtm 5h191h1srst SthK di1Sr kiqual KKq FORMARIDUZIONE CANONICA
INDefinita
Definita• positiva (negativa) sse tutti gli autovalori sono positivi (negativi)
Semidefinita• positiva (negativa) sse tutti gli autovalori sono positivi (negativi) e almeno uno di essi è nullo
Indefinita• sse la matrice ha almeno un atuovalore positivo e uno negativo
HmhSia una f.q.
minimo locale - Se det Hf è negativo allora è di massimo locale - Se det Hf è zero allora non si può determinare la natura del punto critico.sellaNododat eHf 0YoXo• Se allora occorre un’analisi ulteriore.dat Hf OYoXo7. FUNZIONI CONVESSE convessoUn insieme si dice se per ogni coppia di punti ,Ed1 IR XIEsi ha che , dove il simbolo indica il segmento di estremiEd XI.kz11,12 XIIERIepigraficoSi dice di una funzione l’insiemeF IRsfiziLI 4Z4pif 2e IEIcon IrmaF convessaSi dice che una funzione è se è un sottoinsieme convesso diIR pifREM ef IRd convessaUna funzione (con convesso) è se e solo seheir te ridee 0,1EdflXItl1ftp.fldlz NXI11NflXsIFlPalpp 1d Ii1 delpunti segmento1111 a8. ESTREMI VINCOLATI - MOLTIPLICATORI DI LAGRANGEDate due funzioni , dotate di derivate parziali continue, si voglionofinef faghiedeterminare gli estremi di sotto la condizione di vincolof bgcx.ieFF minMax subsub MINIMOMASSIMO bglx.nlglxid.BZ bVINCOLO guidadee IIIII_ mythli li flxltl.HN41
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