Analisi matematica 2

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

equazione differenziale n

Si dice di ordine un’equazione del tipo

Flt O

y y y

y

y(t) F

dove è la funzione incognita e è una funzione assegnata a valori reali.

L’ordine dell’equazione è l’ordine massimo di derivazione che vi compare.

soluzione I I,

Si dirà nell’intervallo una funzione , definita almeno in per cui risulti

9h1

Flt O

l'Itt HI tt

4h I

e

q

integrale generale

Infine si dirà la famiglia di tutte le soluzioni dell’equazione. Nei casi più semplici questa è

assegnata da una formula esplicita, contenente uno o più parametri arbitrari, al variare dei quali si ottengono

tutte le soluzioni.

1. EQUAZIONI DEL PRIMO ORDINE

Consideriamo ora equazioni del tipo: y'IH fit

Fit ulti

O

y y c,

L’insieme delle soluzioni è costituito da una famiglia di funzioni, dipendente da un parametro che prende il

integrale generale.

nome di soluzione particolare.

La condizione iniziale permette in generale di selezionare una

Yital Yo problema di

Un sistema composto da equazione differenziale e condizione iniziale prende il nome di

Cauchy; ammette un’unica soluzione che:

I,

• è definita su un intervallo contenente il punto

I I

• è derivabile in tutto e soddisfa l’equazione in tutto

L’idea di soluzione di un problema di Cauchy corrisponde infatti a quella di una evoluzione di un sistema,

soggetto a una certa legge differenziale e a una certa condizione iniziale.

1.1. Equazione a variabili separabili

Le eq a variabili separabili sono del tipo: alti bui

y

• bMI O bttl.ci

but

Se il numero è una soluzione dell’equazione

T O

allora la funzione costante è una soluzione dell’equazione differenziale; il secondo

yltl

yblyl.ci

membro si annulla perché mentre il primo si annulla perché la derivata di una funzione

costante è zero.

• bMI O yhti.LI fatti

alti di

Y c

b

MIN BN

L’integrale generale è Alti c

1.2. Equazioni lineari del primo ordine

Completa: V'Itt alti f

Fit

4ITL forzante

Omogenea: È HI FIN

alti 0

zit 0

Teorema: l’integrale generale dell’equazione completa si ottiene aggiungendo all’integrale generale

dell’omogenea una soluzione particolare della completa. ZHI JIN

4ITL

• Soluzione dell’equazione omogenea

È HI ZHI

alti O

di

sia Alti IN

alti A alti

cioè

primitiva

Alti Alti

zitti 0

alti zitte

e Alti

ZHI

O a

zia e C

e fatti

di

fatti ZHI

Alti C

di e

• Soluzione particolare dell’equazione completa (variazione della costante)

V'Itt alti Fit

4ITL Alti

CHI

soluzione CHI

E

della 7h1

forma costante

non

A c'Itt fit

sostituendo alti cit

alti

cit

e e

Alti Alti

Fit

1h

fit

1h e

c

e c

Alti AH

fitte IH

di

cit di

fa

e atti

t di

fa

yeti ce e

integrale generale

• Soluzione del problema di Cauchy

c

La costante sarà determinata dalla condizione iniziale Yo

4h01

Scegliendo la primitiva tale che , cioè

AHI Alti

Alto 0

tofaisidsyltl.yoe.at

A fisica's

La soluzione unica del problema di Cauchy sarà ds

e

2. EQUAZIONI LINEARI DEL SECONDO ORDINE

Consideriamo ora equazioni del tipo: fit

Lye

FAI

alti bitty

t

y y

L

L’operatore è un operatore lineare tra spazi di funzioni: di

diYi 1242

lyitdzlyzyltd.to

generale

L’integrale di una qualsiasi equazione lineare del secondo ordine dipende da due parametri arbitrari.

soluzione particolare

Le condizioni iniziali permettono di selezionare una .

Yi

Hot

y problema di Cauchy;

due

Il sistema formato da equazione differenziale e condizioni iniziali prende il nome di

ogni problema di Cauchy ha una e una sola soluzione.

2.1. Struttura dell’integrale generale

Teorema di struttura L z = 0 I

a. L’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea in un dato intervallo è uno spazio vettoriale

b. L’integrale generale dell’equazione completa si ottiene sommando l’integrale generale dell’equazione

omogenea è una soluzione particolare dell’equazione completa.

DIMOSTRAZIONE

a. soluzioni

siano Zz

2 in

dell'equazione

e omogenea

Lz 0 0

za

ovvero e

costanti

siano da

di IR

e

e e tizi di Izz

LZ da

lineare tazza

operatore 0

tizi

O tazza

Zi ZZ

ma per Hypo risolve l'eq

tizi

D anche tazza omogenea

l'insieme è

sol

delle vettoriale

quindi spazio

uno

b. f

siano soluzione Yp

Yp dell'ego

particolare completa

soluzione dell'aq 0

zo zo

generica omogenea

L l f

f.IO

lineare lyptlzo

type

Zo

i

operatore è

Xp soluzione

120 dell'eq

ovvero completa

sia soluzione

Ya f

dell lYon

generica completa

eq 0

f

l f

lineare Xp lya LY.rs

14g

operatore è

Ya soluzione

Yp dell'eq

ovvero Omogenea

Ya Ya

D Xp Yp Zo

Zo

Teorema

Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un’equazione diff lineare omogenea del 2 ordine ha dimensione 2.

z1(t) z2(t)

Questo significa che esistono due soluzioni dell’eq omogenea tali che

a. queste funzioni sono linearmente indipendenti, ossia non sono una multipla dell’altra (z1/z2 non costante)

z1 z2,

b. ogni altra soluzione dell’eq omogenea è combinazione lineare di e ovvero l’integrale generale

dell’eq omogenea è Zitti EIR

Zeit

Ci ci.cz

ca

DIMOSTRAZIONE

soluzione soluzione

Zitti 22ITL

0 0

ti za

1

Zitto Zitto O

zitto 1

zietto

O

z1 z2

a. le funzioni sono linearmente indipendenti in

si

2 t.to

annulla

Zitti in nullo

I

costante dovrebbe essere

fosse

se Zitto

Zatti nulla

sarebbe falso

O

ovvero z1 z2

b. ogni altra soluzione è combinazione lineare di

sia O

Zo soluzione Zo

una qualunque lite

It

Zitti

Zotti Ci cazz to

Zolfo alto

2

Ci

cit cazz

ci

scegliendo l'Ita Zitto

Ito

Cz Zo cazz

cit

soluzione

è Prob

Zitti cazzotti

ci del Cauchy

O

Y è

unicità unica soluzione

Zolfo

4h01 per

viltà zitto

Determinante Wronskiano

z1 z2

Siano due funzioni soluzioni dell’equazione lineare omogenea azitbz

z

ow.fi

Allora esse sono linearmente indipendenti se e solo se la seguente matrice

III

zitti

matrice Wronkiana t.

detta ha determinante diverso da zero per ogni Affinché questo accada è sufficiente

t0.

che il determinante sia diverso da zero in un punto

Riepilogo

Il problema della determinazione dell’integrale generale di un’equazione differenziale lineare completa del

secondo ordine si riduce ai due passi seguenti:

a. Determinare la integrale generale dell’equazione omogenea associata, ovvero determinare 2 soluzioni

dell’equazione omogenea che siano linearmente indipendenti

Zitti zza

b. Determinare una soluzione particolare dell’equazione completa.

4pm

L’integrale generale dell’equazione completa sarà YIN zitti 4pct

terzetti

Ci

Infine, per risolvere un problema di Cauchy, una volta determinato l’integrale generale basterà imporre le 2

c

condizioni iniziali, ricavare di conseguenza il valore delle costanti e scrivere la soluzione corrispondente.

2.2. Equazioni omogenee

Consideriamo l’equazione omogenea ab costanti

bz O

Z t t

a2

at

e cerchiamo soluzioni di tipo esponenziale e e't

Sostituendo nell’equazione abbiamo b

zitta d O

ad

e

Affinché l’esponenziale sia soluzione, la costante deve essere una radice dell’equazione caratteristica

a

è 46

Distinguiamo 3 casi a seconda del valore di discriminante dell’equazione caratteristica

D radici

A di

distinte 12

due reali

0 carati

eq dit soluzioni

Zi dat

at

e YIN Ci Crc

distinte e

art

Zz lin indi

e di 42

De 0 radici

due

carati

i coniugate

complesse

eq eat

di ti ti

Zitti

O pt script

13 cos

da è

IN Bt

Zz

Ip

a pt sen

e cos e't

zizza pt

cos

reali

sol

avere

per eat

Zz

z sente

eat

ZHI Ci t ca

pt pt

sen

cos

D radice di

O 12

D

carat

i una doppia

eq tt

Zitti e te

Zeit

sol

secondo

ottenere

per t

moltiplico per Cat

d It e

2 ci

2.3. Soluzione particolare dell’equazione completa

Metodo di somiglianza

•

Quando il termine noto dell’equazione completa ha una forma esponenziale, trigonometrica o polinomiale (o

il prodotto di essi) si può cercare una soluzione particolare simile al termine noto.

eat

Forzante esponenziale: A A o costanti

by

t

ay Cy assegnate

del iypltl.ce.at

io radice

è

se NON

o caratteristico

polinomio at

del 4PM Cit

è pd

Se radice i e

soluzione dell'omogenea Patti

Forzante polinomiale: by a

t pt pt

ay t Cy

YP Pn It

IN Cat

Ci

a cat

o t

c Pai

cista

Yp It

IN Cat

Ci t Cat t

O 1h

4PM

FAI Praz volte

due

o ay integro

oppure

Forzante trigonometrica: by acoslktltpsenlk.tl

t CY

ay

bio 4PM Ci

o coskttczsenktob

OK.cat Yp It t Cz Kt

ci costa seu

Metodo di variazione delle costanti

TH Itl

Ci Catti

Zitti Zza GHIGNI

i con incognite

Zitti zzltlsdnz.eq.am

I FAI Prima

at condizione

t

t bye

C'Zi

7 calza azi cazz

t cizit.cz

condizione O

seconda Zz

imponiamo

7 CiZi Zz

Cr

t

Ci't

7 G'Zz

t Cazz

ozi

sostituendo

C'Zi f

tafcizitczzzftbfcizitc.az

G'Zz tazza

tali

zizza CÈ citi f

Giza

ci t

ricordando che Zz

Zi salute dell'ego

e sono omogenea

f Prima

22

Zi Cr condizione

t

i

c Zi Cr O

Zz

t E

a

incognite

f

22

li Zi Cr

t È

la

la Wiansiriana

dei è

not met

coefficienti tizzi

data

essendo lin

Zi Zz Zza O

indir ipotesi

per

CALCOLO INFINITESIMALE

1. CALCOLO VETTORIALE

ambiente naturale.

Lo spazio sarà il nostro

112

I suoi elementi (vettori) si indicheranno con una scrittura del tipo 1

1 in

X2

1

componenti

dove sono le del vettore.

Xi'EIR VE

Il modulo (norma) di un vettore è Xia

IN

versore

Si dice un vettore di modulo unitario Il III

vers 01

base canonica 11

La di è costituita dai versori le 1,0

112 la 0,0

Perciò si può anche scrivere EXili

tn tXnln

XrletXzlzt

Xi

I

paralleli

Due vettori si dicono se td.be b

d

te

I 112 O

f I 7

Prodotto scalare: si usa la notazione , è ben definito per due vettori di e ha per risultato

112

I

a

un numero reale. E

Neri Union miri

I

I 1 t

t

1 III

111

Nel caso coso 1111

I

nel 3 I o

µ

n 1

dove è l’angolo compreso tra i due vettori.

o e

1

Angolo tra due vettori: cosa lei

lui III

Prodotto vettoriale: il t'Insur

xd Msi Meis

mais

a f luna mais

E

2. FUNZIONI A VALORI VETTORIALI, LIMITI E CONTINUITÀ

Funzione tra due insiemi: se sono insiemi, una funzione è una legge che associa

FA B

A B

ad ogni elemento di uno e un solo elemento di .

B

A

Funzione di una variabile

• una funzione definita in AER

funzione di più variabili una funzione definita in AER

Funzione a valori reali

• una funzione che che ha condominio IR

funzione a valori vettoriali una funzione che ha condominio IR

2.1. Limite

Consideriamo una funzione . Sia e sia

1km

I Rm

1EUR X EI LE

lfh.lt

thief O

Si dice che se fino

fino distanza

Geometricamente significa che la tra il punto e il punto tende a zero per

1

IN Xo

Proposizione: il limite della funzione a valori vettoriali si calcola componente per componente.

Siano Fink

Ix fili EH Fi 1,2

i

112 m

con

ElRm

e sia 1 fm

11,12

Allora per Xo 1

IN li

fila vi 1,2

solo in

e

se se

In altre parole, il limite della funzione a valori vettoriali si calcola componente per componente.

2.2. Funzione continua

Si dice che è continua in se

Rm line

FIER filo

Fleet

e

3. TEOREMI IRI

f IR

Teorema di unicità del limite

Se una funzione ammette limite, allora esso è unico.

Teorema permanenza del segno

Se IO

FIA t.c.VE FIA

Il

O

O Orelli O

es

D

fine

x

Teorema del confronto Rn hit

f hi.AE 7 Med gli

lRt.c t.c.FM E

siano E

almeno un

g line had

FILI

line le

7

Se 112

Flin

D e

gliela

allora

4. CURVE REGOLARI

arco di curva continua

Si dice (cammino) in una funzione continua.

IEIR o.IR

1km I

t

Se la variabile si pensa come tempo, un arco di curva è la legge oraria; assegna la traiettoria e la posizione

in ogni istante del punto.

Sostegno:

• insieme dei punti di percorsi dal punto (la linea geometrica)

112

Chiusa:

• se punto di partenza e di arrivo coincidono b

flat lb a

con

Semplice:

• se non ripassa mai dallo stesso punto Itil

I

Titta trita

D

se

Piana:

• se esiste un piano che contiene il suo sostegno

4.1. Arco di curva regolare

Rm

Sia , si dice che è derivabile in se esiste finito

IERI to

I I

line Elton Itto

ti

n o

È

Velocità istantanea:

• Ito alla curva

tangente

Velocità scalare:

• It'Itil

Vit

Accelerazione istantanea:

• I'hai recita

Rm

regolare

Si dice arco di curva un arco tale che I'HI

EIR ties

O

I

versore tangente

Risulta ben definito il alla curva R'It

I I'Itil

4.2. Curve piane

Grafico di funzioni

• t

X

aib

fix telaio

XE

Y forma parametrica fa

y

Forma polare

• fio cosa dell'Ict

FIN OECQ.ch

g fa seno

y

101 t t FIA

flat

cosa 101

seno

sento cosa

101

I fila't flail

1011

I

4.3. Lunghezza

b

Sia la parametrizzazione di un arco di curva

Mm r

a Ito b

Itti litri

a

in e

Se considerate tutte le partizioni finite di b

a

Ts

ta P f Xo xn.by

a ex

ti È l

fai.nl

MINII

P

esiste Sup

cito l

Dico che è rettificabile e chiamo lunghezza

I al

l

Una curva regolare su è rettificabile e

b He'Hill dt

a

CALCOLO DIFFERENZIALE

1. GRAFICI E INSIEMI DI LIVELLO Rn

fi.AE

funzione reale di più variabili

Il grafico di una IRez

flXIiRn

è l’insieme dei punti di di coordinate

1 feel

curv