Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili reali
- Come disegnare grafici di funzioni a più variabili?
f(x,y) = √9 - x² - y²
Dominio di f(x,y). 9 - x² - y² ≥ 0 → - → x² + y² ≤ 9
(urocenferenza con centro C(0;0) e raggio pari a 3)
< x² + y² = 9
Grafico della funzione: per disegnare un grafico, basta tagliarlo e poi unirlo sul piano x-y-z
z=0 √9 - x² - y² = 0 → x² + y² = 9
z=1 x² + y² = 8
z=3 x² + y² = 0
Il grafico z = √9 - x² - y² = z² + y² = x² = 9 è l'equazione di una sfera di centro C(0;0;0) e raggio 3, ma avendo la radice quadrata, sarà il grafico della semisfera supe★★
Curve di livello → curve lungo le quali la funzione è costante f(x,y) = c ∈ R
Esercizio
x² + y² ≥ 0
x² + y² = c c < 0 → Ø
x² + y² = 0 c = 0 → (0,0)
x² + y² = 1 c = 1 → C(0,0), raggio 1
x² + y² = c c > 0 → C(0,0), raggio √c
Paraboloide ellitico
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI REALI
- Come disegnare grafici di funzioni a più variabili?
f(x,y)=√9-x2-y2
Dominio di f(x,y): 9-x2-y2≥0 → x2+y2≤9
- (circ. con centro C(0,0) e raggio pari a 3)
- esterno della circonferenza
- interno della circonferenza
x2+y2=9
Grafico della funzione
per disegnare un grafico, basta tagliarlo e poi unirlo sul piano xyz
- {z=0 : √9-x2-y2 =0 → x2+y2≤9}
- {z=1 : x2+y2=8}
- {z=3 : x2+y2=0}
Il grafico z=√9-x2-y2 ↔ z2+y2+x2=9 è l'equazione di una sfera di centro C(0,0,0) e raggio 3, ma avendo la radice quadrata, sarà il grafico della semisfera superiore.
CURVE DI LIVELLO
→ curve lungo le quali la funzione è costante f(x,y)=c ∈ ℝ
Esercizio
- x2+y2 ≥ 0
- x2+y2 = c
- c < 0 → ∅
- c = 0 → (0,0)
- c = 1 → C(0,0), raggio 1
- c > 0 → C(0,0), raggio√1
PARABOLOIDE ELLITTICO
Dominio
* \( f(x,y) = \sqrt{xy} \) \(\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x,y>0 \}\)
I e II quadrante compresi gli assi
* \( f(x,y) = \log(xy) \) \(x,y>0\)
I e II quadrante senza gli assi
\( f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\)
\(\sqrt{1-x^2-y^2} \neq 0\)
\(1-x^2-y^2 > 0 \rightarrow 1-x^2-y^2 > 0 \rightarrow x^2+y^2 < 1\)
\(x^2+y^2=1\) (circonferenza con centro \(O(0,0)\) e raggio 1)
Insieme
\(\cdot D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in [0,2], y \in [-4,3] \}\)
\(\cdot D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \in [-1,1] \}\)
Distanza tra punti in R
x,y ∈ R
d(x,y): d(PQ) = |y-x| = d(QP)
Distanza tra punti in R2
Teorema di Pitagora
PQ2 = RQ2 + RP2
PQ = √(RQ2 + RP2) ⇒ |x1 - x2|2 + |y1 - y2|2
Distanza tra punti Rm
P = (x1, ..., xm)
Q = (y1, ..., ym)
d(PQ) = √((x1 - y1)2 + ... + (xm - ym)2)
Definizione
Si definisce distanza in X (insieme), una funzione d: X × X → R tale che:
- d(x,y) ≥ 0 ∀ x,y ∈ X
- d(x,y) = 0 ⇔ x = y
- d(x,y) ≤ d(x,z) + d(y,z) ∀ x,y ∈ X
- d(x,y) = d(y,x)
La coppia (X, d) si definisce spazio metrico.
Definizione
X0 ∈ Rm si definisce intorno (sferico) di x0 di raggio r > 0, l'insieme:
Ix0, r = {x ∈ Rm | d(x, x0) ≤ r }
d(x, x0) = √((x1 - x01)2 + ... + (xm - x0m)2)
- R è un intervallo
- R2 è un cerchio
- Rm è una sfera
D: {(x,y) ∈ R² t.c. y-x≤0, y+x-2≤0, y>0}
ESERCIZI
- y-x≤0 → y≤x
- y+x-2≤0 → y≤-x+2
- y>0
CURVE DI LIVELLO
f(x,y) = x+y
x ∈ Ry ∈ Rx+y ∈ R²
f(x,y) = e, e ∈ R
(e = 0 → x+y=0 → y=-x)
(e = 1 → x+y=1 → y=-x+1)
(e:qualunque → y=e-x)
- Se e<0
- Se e=0
- Se e>0
f(x,y) = x²-y²
DEFINITA IN R²
x²-y²=e
- e:0 x²-y²=0 → x²=y² → y=±x
- e:1
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