Analisi Matematica 2

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Appunti di analisi matematica 2 basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof.ssa Canino dell’università degli Studi della Calabria - Unical, …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Università Università della Calabria

A.A. 2016-2017

79 pagine

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Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili reali

Come disegnare grafici di funzioni a più variabili?

f(x,y) = √9 - x² - y²

Dominio di f(x,y). 9 - x² - y² ≥ 0 → - → x² + y² ≤ 9 (circonferenza con centro C(0;0) e raggio pari a 3)

Grafico della funzione

Per disegnare un grafico, basta tagliarlo e poi unirlo sul piano x-y-z.

Z = 0 √9 - x² - y² = 0 → x² + y² = 9
Z = 1 x² + y² = 8
Z = 3 x² + y² = 0

Il grafico z = √9 - x² - y² = z² + y² = x² = 9 è l'equazione di una sfera di centro C(0;0;0) e raggio 3, ma avendo la radice quadrata, sarà il grafico della semisfera superiore.

Curve di livello

Curve lungo le quali la funzione è costante f(x,y) = c ∈ R.

Esercizio

x² + y² ≥ 0

x² + y² = c

C x² + y² = 0
C = 0 → (0,0)
X² + y² = 1 c = 1 → C(0,0), raggio 1
X² + y² = c c > 0 → C(0,0), raggio √c

Paraboloide ellittico

Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili reali

Come disegnare grafici di funzioni a più variabili?

f(x,y) = √9 - x² - y²

Dominio di f(x,y): 9 - x² - y² ≥ 0 → x² + y² ≤ 9 (circ. con centro C(0,0) e raggio pari a 3)

Esterno della circonferenza

Interno della circonferenza x² + y² = 9

Grafico della funzione

Per disegnare un grafico, basta tagliarlo e poi unirlo sul piano xyz.

{z = 0 : √9 - x² - y² = 0 → x² + y² ≤ 9}
{z = 1 : x² + y² = 8}
{z = 3 : x² + y² = 0}

Il grafico z = √9 - x² - y² ↔ z² + y² + x² = 9 è l'equazione di una sfera di centro C(0,0,0) e raggio 3, ma avendo la radice quadrata, sarà il grafico della semisfera superiore.

Curve di livello

Curve lungo le quali la funzione è costante f(x,y) = c ∈ ℝ.

Esercizio

x² + y² ≥ 0

x² + y² = c

C < 0 → ∅
C = 0 → (0,0)
C = 1 → C(0,0), raggio 1
C > 0 → C(0,0), raggio √1

Paraboloide ellittico

Dominio

f(x,y) = √xy {(x,y) ∈ ℝ² | x,y > 0}

I e II quadrante compresi gli assi

f(x,y) = log(xy) x,y > 0

I e II quadrante senza gli assi

f(x,y) = 1/√1-x²-y²

√1-x²-y² ≠ 0

1-x²-y² > 0 → 1-x²-y² > 0 → x²+y²

x²+y² = 1 (circonferenza con centro O(0,0) e raggio 1)

Insieme

D = {(x,y) ∈ ℝ² | x ∈ [0,2], y ∈ [-4,3]}
D = {(x,y) ∈ ℝ² | x ∈ [-1,1]}

Distanza tra punti in R

x,y ∈ R

d(x,y): d(PQ) = |y-x| = d(QP)

Distanza tra punti R²

Teorema di Pitagora

PQ² = RQ² + RP²

PQ = √(RQ² + RP²) ⇒ |x₁ - x₂|² + |y₁ - y₂|²

Distanza tra punti R^m

P = (x₁, ..., x_m)

Q = (y₁, ..., y_m)

d(PQ) = √((x₁ - y₁)² + ... + (x_m - y_m)²)

Definizione

Si definisce distanza in X (insieme), una funzione d: X × X → R tale che:

D(x,y) ≥ 0 ∀ x,y ∈ X
D(x,y) = 0 ⇔ x = y
D(x,y) ≤ d(x,z) + d(y,z) ∀ x,y ∈ X
D(x,y) = d(y,x)

La coppia (X, d) si definisce spazio metrico.

Definizione

X₀ ∈ R^m si definisce intorno (sferico) di x₀ di raggio r > 0, l'insieme:

I_{x₀, r} = {x ∈ R^m | d(x, x₀) ≤ r}

d(x, x₀) = √((x₁ - x_0₁)² + ... + (x_m - x_{0_m})²)

R è un intervallo
R² è un cerchio
R^m è una sfera

D: {(x,y) ∈ R² t.c. y-x≤0, y+x-2≤0, y>0}

Esercizi

y-x≤0 → y≤x

y+x-2≤0 → y≤-x+2

y>0

Curve di livello

f(x,y) = x+y

x ∈ R

y ∈ R

x+y ∈ R²

f(x,y) = e, e ∈ R

E = 0 → x+y = 0 → y = -x
E = 1 → x+y = 1 → y = -x+1
E: qualunque → y = e-x

Se e<0

Se e=0

Se e>0

f(x,y) = x²-y²

Definita in R²

x²-y² = e

e:0 x²-y² = 0 → x² = y² → y = ±x

e:1

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