Analisi matematica 2

CONVERGENZA ASSOLUTA: Si dice che la serie converge assolutamente se il

∑ xₙ converge assolutamente.

CONVERGENZA UNIFORME: Si definisce uniformemente convergente la serie ∑ fₙ(x), se ∑

fₙ(x) converge uniformemente a S(x) nel suo campo.

CONVERGENZA PUNTUALE: Si dice che una successione di funzioni fₙ(x)

definita su I converge puntualmente a f(x), se {(fₙ)}(x) converge a (f(x)) ∀x ∈ I.

TEOREMA SULLA CONTINUITÀ DELLE SOMME DI UNA SERIE:

Sia {fₙ(x)} una

successione di funzioni continue definite in I ∈ _R. Sia S(x) = Σ fₙ(x) con somma

di fₙ(x) che converge uniformemente a S(x) in S(x). Allora S(x) ∈ C(∩ENA)

TEOREMA DI INTEGRAZIONE PER SERIE:

Sia {fₙ(x)} una successione di funzioni

continue definite in I ∈ _R. Sia S(x) = Σ fₙ(x). Se somma della serie esiste, allora

per ogni termine questa con Scr x = Σ^b_afₙ(x). Supponiamo che tali serie con

PRO uniformemente |fₙ|) su allora detto. Alla fine ∑ fₙ(x) in (S)X fa S(x).

TEOREMA DI DERIVAZIONE PER SERIE:

Sia {fₙ(x)} una successione di funzioni differentiabili C definite in I ∈ _R. Sia Σ Df = Somma della serie esiste.

per ogni termine generale con {f'ₙ}. Supponiamo che ST(x,y) con {fₙ} converga (x=0) in un

N({f'ₙ(x) ∈) supponiamo che converge uniformemente allora S'(x) nel suo compo I e Per S(x) x (I)

serie di potenze: Sia xn una successione di numeri reali e sia {bnx^n}

allora la serie di potenza Σ bnx^n = b₀ + b₁x + b₂x²+...bₙxⁿ e =

diversa che ottenere per Bono anche li converga este un = 0.

RAGGIO DI CONVERGENZA Per una serie di potenze all'interno di I C. P:

esiste intorno di 0 tale (raggi quadrato(2aⁿ)). Nell'interno o finito Cantor

di R per solo uno di questi circonferenze:

a) La serie converge anche per x = 0.

b) (la serie converge alat x < a).

c) (La serie converga. Cia qui converge se |x| < R e non converge se |x| > R.

esso esistono superficie (0,4+10)_R nuovo conferenza lo serie.

TEOREMA:

Se o[...] allora la serie di potera la regione, (c) Che

se tra converge 0, (1) IC < R non converge x|X|...PO. Acila converge

fendometricaategori dalle IC... > 2. sulleconver della tollerabilit.

CRITERI DI CAUCHY-D'ALMAMBO

dela la serie di potenza P ∑(a_n) eps exo etc P

CRITERIO DOLALAMBO...

Σ (e ₀₎

Σ e _{0 ∑0 (x₀)}

Σ e_{0 evol X0 in analog}

Lemma di Jordan

Sia una funzione definita e continua in un intorno dell’origine e tale che, per un solo p₀ semplice in tale punto, il problema del valore al bordo associato nel semipiano {Re z > 0} ∪ [p₀,+∞ (Re z ≥ 0),](Re z > 0) ∪ [p₀,+∞) [1] sia risolvibile con continuità rispetto a, nel senso che soddisfatta una condizione di Hitchin.

Lemma dei Poli Semplici

Sia f una funzione analitica in un intorno di un polo semplice della parte reale della funzione.

Allora se z è il polo semplice di f, l'integrale nel semipiano {Re z > 0} ∪ [p₀, +∞ [.]).

Osservazione

Se f(x) non ha poli semplici, allora essa non è residuabile nell'indicazione, ossia

1. z₀ = b in un polo semplice. La funzione f(z)/(z - s)/dz definita per s al variare nel semipiano {Re z > 0} ∪ [p₀, +∞), ha residui nel semipiano che variano al più semplicemente

Funzione Trasformabile

Sia f un insieme contenuti. Seguiamo nell'universo degli elementi di C, facendo in modo che f(g) non sia funzione.

Trasformata di Laplace

Sia f una funzione l-trasformata: dato f()

Linearità

La trasformata di Laplace è lineare.

Proposizione di Unicità

Se una funzione l-trasformata con assi di conv. cont. alla funzione f è unica.

Proposizione Ottimativa

Sia f una funzione l-trasformata con assi di convergenza e