Analisi matematica 2

Riassunto analisi matematica 2 - Capitolo 1

Convergenza puntuale

Dato una successione di funzioni definite in I e una funzione f: I ⟶ E si dice che f_n(x) converge punto per punto ad f in A ⊆ E ∀ x ∈ A, ∃ n₀ x : n ≥ n₀ ⟹ f(x) - f_n(x) ⇒ 0. Ciò equivale a dire che ∀ x ∈ A, ∀ ε > 0 ∃ N x : ∀ n ∈ N, ∀ n x > N x ⇒ (f_n(x) - f(x)).

Convergenza uniforme

Dato una successione di funzioni f_n definite in I e una funzione f: I ⟶ E si dice che f_n(x) converge uniformemente in A ⊆ I se ∀ ε > 0 ∃ n ε ⇒ ∀ n ≥ n_ε, ∃ x ⊆ A.

Teorema sulla continuità dei limiti

Sia (f_n)_{n ∈ N} una successione di funzioni f_n: I ⟶ R definite in un intervallo I ⊆ R, sia f: I ⟶ R tale che f_n → f uniformemente in I. Allora (se f_n)_{n ∈ N ⇒ f).}

Teorema sull'inversione dei limiti

Sia (f_n)_{n ∈ N} una successione di funzioni definite in un intervallo I ⊆ R, e sia Σ_{n = 1}^∞ f_n = f tale che f_n → f uniformemente in I. Supponiamo un intervallo I = [a, b] ⊆ R, si ha che ⇒ e_n (n) , x : R → f(x) = Σ^∞_{n = 1} f_n(x).

Teorema di passaggio per gli integrali sotto il segno di integrale

Sia (f_n)_{n ∈ N} una successione di funzioni continue definite in un intervallo I = [a, b], I ⊆ R, e sia f: I ⟶ R tale che f_n → f tale che f può essere scritta nella seguente forma: Σ^∞_{n = 1} ∫^b_a f(x) dx.

Dimostrazione

Esistono un numero finito di funzioni continue e non continue in C₀, C₂ continui e devono soddisfare le seguenti condizioni: {x ∈ C₀ | x ∈ C₀ }, (x) f(x) x ∀ ε > 0, ∀ N, ∀ ε, ∀ m ≥ n, si dice che, ∣∫^b_a f_n(x) - ∫^b_a g_n(x) dx∣ < ε. (f_n(x)) + g(x) : e _{n ∈ [x]< i}, siamo a f_n(x) > ?_ε/3 ∫^b_a ε < n. ∀ β_n,m = (f_i(x)), ∀ m ≥ n e ε g(x) , sup |x_i - a_b| onore che - ∫^b_{i ∈ [0,N]} f_n dx < c.

Teorema sul passaggio sotto il segno di derivata

Sia (f_n)_{n ∈ N} una successione di funzioni f_n continue, e differenziabile, con derivata comune g_n: I → R, e si ha f'(x) uniformemente convergente su [a,b], si è detto che f_n(x) e f(x)_c = f_c(x).

Serie di funzioni

Sia I ⊆ R, ∀ n ∈ N, _{n ∈ 1, n₀} in F : I → R definita in F : I ⟶ R. Diciamo che Σ_{n = 1}^∞ f_i(x) con le seguenti serie di funzioni definite con f(x) = Σ^b_a f_n(x) = f(x).

Convergenza puntuale

Supponiamo di X ∈ C ⊆ Σ (Σ_n1) Si ammette limite finito f(x) e ≅ ∑_{n = 1}^∞ con Riassunto Analisi Matematica 2Capitolo 1Convergenza puntuale: Dato una successione di funzioni definite in I e considerato x₀ appartenente a I, {f_n} converge puntualmente in A Z-V x appartenente A lim_n→∞ f_n(x) = f(x). Ciò equivale a: V x appartenente A, ∃n≥ n₀ ∀ n≥ n₀, V e > 0 |f_n(x) - f(x)| < e.

Convergenza uniforme

Data una successione di funzioni definite in I e detto {f_n}, la successione converge uniformemente in A se ∃n₀ ∀n ≥ n₀ V e > 0 ∀ n ≥ n₀ &Verbar; f_n(x) - f(x)| < e V x appartenente A.

Teorema sulla continuità del limite

Sia (f_n), una successione di funzioni uniformemente continua in I. Allora esiste una funzione f, continua in I, tale che ∃ lim_n→∞ f_n(x) = f(x).

Teorema sull'inversione dei limiti

Sia (f_n) una successione di funzioni definite in un intervallo I &lowbar;&lowbar; R. Si suppone che la successione (f_n) converga uniformemente in I. Supponiamo di volere lim_n→∞ lim_k→∞ f_n(x), allora esiste comunque lim_n→∞ lim_k→∞ f_n(x) = lim_k→∞ lim_n→∞ f_n(x) ∀ x appartenente R.

Teorema di passaggio per limiti sotto il segno di integrale

Sia (f_n) una successione di funzioni continue definite in un intervallo I R. Se ∃ (f_n) : &Rarr; tali che ∃ f continua in I allora vale la seguente formula: lim_n→∞ ∫_{a&supb=c; i} f_n(x) dx = ∫_{a&supb=c; i} lim_n→∞ f_n(x) dx.