Analisi matematica 2

ESEMPI:

ESEMPIO: 2 2 2 2

{(, }

= ) ∈ ℝ : + ≤ 1 >

Dentro alla sopra alla parabola

Circonferenza di raggio

Osservazioni:

1. Le tre condizioni (esterno,interno, di frontiera) sono mutuamente esclusive e

comprendono tutte le possibilià.

2. Un punto esterno, chiaramente, appartiene ad E, “esterno” non appartiene ad E

I punti di frontiera possono appartenere o meno a E

DEFINIZIONE:

• Diciamo che un insieme è aperto se tutti i suoi punti sono interni

• Diciamo che un insieme è chiuso se il suo complementare è aperto

ESEMPI:

L’insieme dell’ultimo esercizio non è né aperto né chiuso:

• ∈ , ma D non è interno => E non è aperto

•

(è )

∈ , è è è =>

è ℎ

• 2 2

{ + < 1}è

• 2 2 2 2

{ ( {

+ ≤ 1}è ℎ = + > 1}è )

•

(ℝ (∅) )

ℝ è ℝ è ℎ =

• ∅ è ℎ ∅ è => Non posso contraddire questa affermazione

Sono gli unici insiemi ad essere aperti contemporaneamente aperti e chiusi.

• ℝ,

Caso particolare, n=1, gli intervalli aperti sono insieme aperti, secondo la nuova

definizione, idem per i chiusi.

Risultati utili per stabilire se un insieme è aperto o chiuso:

: ℝ → ℝ, , :

Sia • { { {

> 0}, < 0}, ≠ 0}

• { { {

≥ 0}, ≤ 0}, = 0} ℎ

, , … . , , … . . ,

Inoltre, se ho N insiemi aperti 1 2 1 2

è , è ,

⋃ ⋂

=1 =1

è ℎ , è ℎ

⋃ ⋂

=1 =1

ESEMPIO:

{ { {

≤ 0} ∩ ≥ 0} = = 0} ( è ℎ)

{ { {

> 0} ∪ < 0} = ≠ 0} ( è )

ESEMPIO: 1

(, ) =

1. Dominio di ln(+) { {

ln( + ) ≠ 0 => + ≠ 1} = ln(∙) : + > 0}

Dal denominatore inoltre, dominio

1

• {

è ( = + − 1 ≠ 0} => è }

1 1 1

• è => ∶ ∩ è

2 1 2

Definizioni:

̇ = =

= =

̅ ̇

= ℎ = ∪ ̇ ̅

⊆ ⊆ .

Lezione del 29/03/2021

CONTINUIAMO A PARLARE DI CONTINUITA’ E TOPOLOGIA

DEFINIZIONE:

⊆ ℝ è > 0 ℎ |||| ≤ ∀ ∈

Un insieme |||| ||||

≤ >

è è

DEFINIZIONE: (:connesso)

⊆ ℝ ℎ :

Un insieme

[0,1]

∀ , ∈ : → ℝ ℎ:

• (0) = , (1) =

• è .

Il sostegno di E è connesso E

Il sostegno di non è contenuto in E => E non è connesso

TEOREMA DI WEIERSTRASS

⊆ ℝ ℎ : → ℝ, .

Sia Allora f ammette minimo e

ℎ

massimo(assoluti) su E. Cioè esistono

) )

( ≤ () ≤ ( ∀ ∈

Punto di Punto di

Minimo Massimo

Compito:

Eliminare una delle ipotesi del teorema e costruire una funzione di due variabili che non ha

massimo (o minimo) su E.

()( ) (, ) = ()

Nota: da .

costante in

ESERCIZIO:

() = sin() → (, ) = sin()

TEOREMA DEGLI ZERI

⊆ ℝ : → ℝ

Sia , ∈ ℎ ()() < 0, ∈ ℎ () = 0.

Se esistono

Idea: (())

applico il teorema degli zeri per funzioni di una variabile

• ((0)) > 0

• ((1)) < 0

• ()è

 (0,1):

∃ ∈ (()) = 0

 = ()

DERIVATE PER FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI

ℝ:

In )

( + ℎ) − (

0 0

′ ( ) (

= lim è )

0 ℎ

ℎ→0 ∆ =

∆ ))

( , ( ( + ℎ, ( + ℎ))

0 0 0 0

Al limite

+ ℎ →

0 0 →

Rette secanti

∆ →

∆ →

rette secanti

2 ′

(. (…

ℝ ∶ : ) . . +ℎ) ,

In e poi passo al

ℎ → 0

limite per

Definisco quindi 2 derivate, una per ciascuna variabile:

) )

( + ℎ, − ( ,

0 0 0 0

( )

, = lim

0 0

ℎ

ℎ→0 ( )

( , + ) − ,

0 0 0 0

( )

, = lim

0 0

→0

(se i limiti esistono e sono finiti)

( )

ℎ , ,

0 0

( è )

Notazione

= = =

( = = = )

2

ℝ : :

Posso raccogliere le derivate parziali in un vettore in

) )( ))

∇( , = (( , ,

0 0 0 0 0 0

⃗

⃗ ()

ℎ ∶ ∇ = ∇ =

“Nabla”

⃗

⃗=

2

ℝ ) ∶ ∇ ( , )

Nabla è un operatore formale dato da (

ESEMPI: 2 2

(, ) = −

1 (2,1)

( , ) ,

0 0

• 2

= = 1 , (, 1) = − 1

Fisso 0

2

(2,1) = (, 1) { − 1} = 2

= = 4

“faccio il conto e poi sostituisco x = 2”

(2,1)

Calcolare

• Fisso x = 2

• 2

(2, ) = 4 −

Ottengo

• = 1 => −2

Calcolo in

Ora abbiamo usato la definizione. C’è un modo più rapido (che potrebbe non funzionare

′

∈ )

se 2 3

(, ) = :

2 3

(, ) = 2 ∗

Ora considero x costante e derivo rispetto a y:

2 2

(, ) = 3 ∗ , .

Così ottengo rapidamente le funzioni

(,

) ≠ (0,0)

2 2

+

(, ) = {

3 0 (, ) = (0,0)

Posso calcolare le derivate parziali in (0,0)?

Uso la definizione:

0

(0,0) = (, 0) = =0

2

Analogamente:

0

(0,0) = (0, ) = =0

2

Conclusione: usando la definizione ho trovato che le derivate parziali esistono e valgono zero in

(0,0)

Nota:

f non è continua in (0,0) (visto negli esempi sui limiti)

ma derivabile in (0,0) (,

) ≠ (0,0)

2 2

+

() {

3 ….segue 0 (, ) = (0,0)

Provo ora a fissare y costante e derivare in x, per poi calco