Analisi Matematica 2

Valerio Spagnoli

Ingegneria Informatica e Automatica

La Sapienza

Analisi Matematica II Skuola.net

Argomenti trattati: -

valerio_spagnoli

• Equazioni differenziali;

• Calcolo differenziale per funzioni

reali di più variabili;

• Calcolo differenziale per funzioni

di più variabili a valori vettoriali;

• Calcolo integrale per funzioni

di più variabili.

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DIFFERENZIALI

EQUAZIONI nei nella

Unicef di

Def ordine

differenziale forma

ftp.yhy Ìone

e0

y

Flt 1

ordine

primo 0

4,4 4

tetti O

PROBLEMA di Cauchy Skuola.net

Cto

µ condizione

Yo

e iniziale -

fit

un Pc 4,44

Y's

normale

forma valerio_spagnoli

in se

variabili SEPARABILI d'ordine

Eq normale

forma

alti bigi ascia

4 becco

stazionarie

SOLUZIONI

05J sol

b aI

776J allora

se io qui costante

alti

hey

se O 9h45 e

action

DÌ A

Sia di

Bly una e

primitiva una

y

allora

di alti

primitiva Act

Bly ac

i B Acate

soli Yeti e BG

4 act

Pc

Considerando

TEO un Hot

Y Yo Skuola.net

to

di

in

la intorno

è

alti continua

se funzione un

dei while di

continuità interno

è

bly in

con un

e -

è

allora ed salvarono

esiste la valerio_spagnoli

4 unica per

cct

I

H t primo ORDINE

lineari Di

Equazioni f

FU f I'tayeb

lineare yay

io

4,4 in

e fu

I'ta continenti

ala

y

linea ordine

1

diff costanti

Eq coefficienti non

f 0

non omogenea

fosso

se 4

omogenea

eq

i tag µ

Dato omogeneo 0

un non

problema porre

posso

Y't detta

lievi omogenea

considerare

a achy

Associata è

del

TEO completo

problema

L'integrale genera del problema

all'integrale generale

uguale omogeneo

associato t soluzione

qualunque

my particolare

PROBLEMA

Soluzione OMOGENEO

a Yt 0

easy

Sia Ala di ale

primitiva

una Skuola.net

la today

già D

Moltiplicando ottengo

per d da

di

lo o_O

derivata e C

g

Y cui

ovvero -

valerio_spagnoli

la soluzione del è

quindi ph omogeneo

la

se cè

qu e cena

c PB

PARTICOLARE

UNI COMPLETO

SOLUZIONE DEL

delle

Metodo costanti

urinarie È

plotone di

Si trovare Yoda

una

a

prova costante

CW

con non

funzione

è Sostituendo nell'ente

pace principale

tacer

c'Eaten c'è

p of

f

fà

c'e fase DX

cose è

La soluzione quindi

particolare ea

sE

Ge fcxieandx

qyi.cc

GENERALE

INTEGRALE

Y aol.ph omogeneo Skuola.net

sue ph completo

pertiche

E

quiete -

valerio_spagnoli

se

ycxiacei.cm ok cena

fixse generale

primo GENERALE

ORDINE

Differenziali

equazioni

fumi

d

4 e abili

2 ieri

pi

R

f ne distanza

X yer

x y con definita

N

Che di

di

se qui successione un

a

punti

Ieri

IX che

dice

4

punto si Skuola.net

Iva

K Leo O

qui

se

Xu yo too Yo

Ya per

ko too

per -

valerio_spagnoli

ERI i

Xo

Stella

intent 4

m È le

io

Up r

C 4

Hq 4

e dell'intorno

raggio

È di

ha definita sferico

f Xo

almeno indovino

sia in un

NÈ

L diremo che

E

e sia L

him felice

4,4 840,40

tt UE

di

Che tali che

di Haifa

se scatto

yu punti

Sa the ho

la Ceo

too che fafkniyw

4 si

lfo.nl

ya

per ne l'un feiice

è continua in se

yo Noi

C Homo

Y

parziale

DERIVATA

f 44 Homo devota

1 di

feci Xo

felino

4 in

di

2 fuochi

filo derivata

Y

o

q in Yo

fcx.iq

ftp.yo nfjfceothiyol

h fcxo.no

KI

puo Yoo

Gomito jo Skuola.net

K -

valerio_spagnoli

0 di

lodo finto

40,90

Pfcx.no gradiente yo

I fa

4 4

dato il pc

amo 4401 Yo

PEANO

TEO ESISTENZA di f ne

ché D contino

D Cto

Sia ed

i

i Yo

aperto

Allora PC definita

ammette almeno soluzione

il una

to

interno di

un

in UNICITÀ

TEO Esistenza LOCALE

E

CAUCHY Delitto

f ok

Sia D continua ed

un yo

in coperto

Allora to

I

esiste Pc

tale il

intorno di che

un I

soluzione

sola

ammette una in

una e Lipschitz

Oss condizione Di

0 ottenuta

La basta

Infatti

condizione essere

può

che il

richiedere di f

incrementale sia

ay

rapporto rispetto

limitato tt

localmente limitato

chiuso

ovvero e

insieme

tale

Kcb 3 la che

costata Skuola.net

fltiyeilsl YdV

ftp.I

i 44iIiltiYdEK

Yi -

valerio_spagnoli

che fà

diremo

Se lips

ciò CHITIANA

accade LOCALMENTE

int

rispetto uniformemente

4

a

riformulando teorema

il

Dunque precedente

Delli

f continua

D

Sia localmente

2k lipachidiona

con e detti

t Ho ed

aperto

in in in

uniformemente un yo

y 3 PC

dito

Allora il ammette

interno una

cui

un per

ed soluzione definita

una in 420

Vedi ANZ

4

io

i i

e

esempi pag

REGOLARITÀ

Ulteriore Soli

OSS DELLA

di PC è

se sol

Yet definizione 4

in per

Poichè

continua I

almeno feti

derivabile 4

e in

dcoutiwaiykt

fctiyc.tt

è C'E

di

continua Quindi classe

4 una

4 e maggiore

di f uni della

ulteriore

implica soe

regolarità per reagente

pecten

pecked

Iterando

4 facto esperta Skuola.net

Esistenza

di

INTERVALLO soluzione

MASSIMALE Doria

tlty

Ea 4 -

obly.ly valerio_spagnoli

it

alta na

continua

I

Se solenne

CI definita

40 ovunque

I

Y 4

I

se C NOI

e

et 470

4 y

e t'te

filotto_ fette

a

et k

te

40

1

qui Etc I I

i

Yeo

d

qui

1 dal che

dato

ovunque dobbiamo uno

scegliere

to devo

sol della

che C I

contiene

1 Idoli D

rendere

4 del

2 e per la

estendere soluzione

Come come posso

posso

Prendono troy

7

di t.iq

al se tipo

in cui

posto lei RCD

E limitato

chiuso

consideriamo il

ora in

e

rettangolo

est

to stata

R ct.iq bsysy.tt

ya

E

D 2

Weierstrass

continua

2 dimensioni

in

applicare

possiamo

Hot

otteniamo min

e

e maxi l

l en

pit

Ma 44

y Skuola.net

fa

f 9 9

Y 441 di

e

che

tm in

pendenza il

di

la oltre

andare µ

4 può

quindi non e

pendenza -

dalle

di rette

limitato

sarà valerio_spagnoli

4

grafico to

t

M

y massima

Yo pendenza

to

M

4 t

Yo minima

pendenza

p to

y t

4 fa ISM

lei

19

dove 4 L'idea

all'interno di

R

Questo è

del

succede rettangolo

R

di

bordo succede

vedere

al

avvicinarsi cosa fuori

per

le basi sulle

sulle

rette toccano

Le altezze

o o

to

1 ca ro f spostamento verso

min a bordo

il

to

2 sa a

di

fi lo

Io tot sol O

to definita

e f

tot

di

il

Iterando ci verso nuovo

un potenza

procedimento punto

spostiamo

toto

toto 91

te 4 un

e

Definisco yo nuovo

prendo rettangolo

t stst.to

e a

t.y.cn b.sysy.tk

q

iterare di R

volto

il ulta

spostando

procedimento in

posso t che è

4

sdraione esiste unica

ed

4

nuova

una

ottengo che della

Ora sia il

effettivamente prima

voglio prolungamento

d t.to

Io ti Skuola.net

Io sol

MI le

I

Intersecando quo

i yo e

a ottengo

fa

lo Yi

µ ti coincidere e

devono

14 effettivamente una

sono

e -

valerio_spagnoli

l'unicità del di

teorema

sola soluzione Cauchy

per to

fit

lo è

sol

Quindi to estensione

8,6

in

definita

yo

4h

della Yo

precedente

two Cto

how è

fit tuo

Iterando anche definita in

infinita Yo

cui

per

di 94,4

sinistra

a

estensione

Analogamente per del

della

del

Nelle teorema di

di unicità salsiera

esistenza e

Cauchy

ipotesi turn

la it

è intervallo manicure

definita

soluzione inox

in

problema un

Al D

di

lo

di

di di

intervallo esiste fuori

sdraione al

funi o non esce

o

questo UNICITÀ Globale

TE 0 ESISTENZA E i

0 Ca

si

f Xk

5 striscia

ci dove b

e una

4 b

K da

costanti

Siamo e cui

dipendenti per

i

positive

e5

htkiyiv.hn

i E

4411

pc è

Allora 941 PCC

del definita

la soluzione su

problema

b

tutto a

limitata

1 f 5

in i

shVCt

lflt.gl

yIeR2 Skuola.net

fy 5

limitata in tilt 5

4411

I fg sic y e -

valerio_spagnoli

fglt.sldslsmtk.ly

fitto ben

alti

alti

4,4 bit

f continue

Tornando con

a 4

e

t.ca b

in Is

le ht

lance

I fumi but Kyi

t b

lo 3 tutto

sdraione in a

DIPENDENZA DATIi

DAI to di da

41 Dito misura.me errore

una

yo affetto

probabilmente

µ 94,4

to

da

cosa se 4

succede vicino Yo

y con

porto f f di f

di vicina a

avere perturbata

Supponiamo Ht ftp.qs finiti

sono

e viene tempi

yo in

Ddr dee problemi f

4

l'afa 4,41

y il

B e perturbato p

quo Yao

yo 41

coli

D

siamo ef

f continue

TEO localmente

in l'pac

e

coperto

t to to ED

4,1

Siamo

in siamo

in uniformemente yo

e

4 e

di Ip

Lt soluzioni

4

qui e e rispettivamente

Allora to entrambe vola

iloti

se definite

in sono lite

I le

b.im

tlt

Lt

4 s 1 9,1 to t.tt

144 fan

I K

fault

Ma 4,4

uno e Skuola.net

cost di K

l'Pac f

f

do su i qui

di

K limitato CD

chiuso K 4,4

e contenente

e grafici -

valerio_spagnoli

fa

fb

Se considero 1

I E le

9 14

Lt

44 q

1

1 91

le

qui

t.to 9

se 9,4

qui

40 9

ne e brevi

tutto

Voce finiti e

0g tempi

per I

DIFFERENZIALI ORDINE

EQUAZIONI FU 1

4

4,4 0 Fey

egli

4 f

4,4

normale

forma il normale

Consideriamo forma

in

problema Ve 4

udibile

la

Introduciamo seconda vi yn.fi flk9iV

ipy'l

i u

vi go.mn Skuola.net

ordine

2

In del

sistema

abbiamo il in

trasformato

generale -

valerio_spagnoli

del

sistema normale

ordine in forma

un primo

44,4 vi

4 Kamil

vi 2 ORDINE LINEARI

Equazioni DIFFERENZIALI

FU fa.be

tbqitcy

44 feCCI

4,4 04

f

ayntbq'tcy

that normale

4 forma

stag

b fduvea.ba

tayitby Ifaf

basa

4 NOTAZIONE

Solo PER

by D

t

4

forma toy

omogenea e

Lq day'tby

4

ci CCI

Lily XLY.iq

Lye

tqye delle I I one

lo

Definito funzioni

fusioni

sparo

f DI

ci

CEI

CI definito Dfa

o

ce o DX Skuola.net

L BI

D'tabi

i

Possiamo scrivere -

Lye f valerio_spagnoli

completa

Lys o omogenea

Ly b feccia

by

4 t agit a

c Ly è

d del p

TEO problema

L'integrale generale

del 0

4

problema

all'integrale omogeneo

generale

uguale ftp.f

del

soluzione completo

una

più particolare problema

Lys

delle di

L'insieme

2 soluzioni forma

o uno sparo

È 2

vettoriale dimensione

di

si by p

t

4

Il di day

Cauchy

problema 4 e

due

le b

del

soluzioni

Consideriamo p omogeneo

cooled

Khao 4

y e yiko.co

Yik

4 4 linearmente

sono

e indipendenti

del

un'altra

Sia 7 soluzione problema Skuola.net

omogeneo

titolo C

z È Ce

A e -

valerio_spagnoli

del

anche sol

tc.ge

Coy problema

ma e omogeneo

Quindi sol altre

le

le

4 che tutte

Ind

lin e

sono

linearmente

sono dipendenti

Oscillatore

Es armonico

di

modo

t n 4 di

4 interiore

0 forza

un a una

punto soggetto

elastica

richiamo

LI

af

4 4 forza

tw esterna

una

thy abito

4 p

tw t.CI ed

f

ah CLI

e yo

TEO Yo

PC yntayitby.fi

Allora normale

il in forma

annowancoroneweed

ammette una

RISOLUZIONE del associno

Integrale problema omogeneo

generale K

4

C 1 Ce 42 E

Ci.co

I

sezione particolare

del

Integrale completo

generale problema

te Yet

9

4 Ce

b bene

costanti

Risolubile a sono

se a

coefficienti Skuola.net

Iatali

di di

specifica somiglianza

forma

2

Abbiamo cosi delle

costanti

di solo

Metodo risolto

unione se -

valerio_spagnoli

2 LINEARE

ORDINE costanti

coefficienti

omogenea

be hic EA

at caso

t a ad

a

Gtt

tipo

Cerchiamo del

soluzioni r

con complesso

dire

tipi k

a e È

è entita E cose

e pt siulp

i

rent

e too

Crt br

ar't c

Sostituiamo nell'ego

Crt

dato che deve

annulla

quindi avere

mai

non

e si si

art bit ardteristica

Eq

O

c

Abbiamo 3 cosi distinte

1 I

20

A 2 ti

reali

soluzioni erit

f

fa

b

vii era

Ta a Gert

Gent

2

Lt

L'integrale generale

2

2 Dco radici complesse coniugate

vi tip

a

vive r op

x

a Skuola.net

at.giBt 7

z EtCcoscptItisiulpstII_ -

valerio_spagnoli

at.jipt Ética

7 7 isiulp.it

pt

t.CI ulpt

eeatccoscp.LI

7 É

741 cecoscptltc.sn pt

L'integrale generale I

D R

0 radice

3 unica doppia 2A

c'È sdraione

Quindi zitti è una

Per trovare delle

l'altra metodo

soluzione il

usiamo

delle costanti

unction C'È

della g

2

Cerchiamo soluzione

una fauna

era

2 y resort

dei

ti ero

tere'tre

l'life

dentro

Sostituiamo ert

tere'treitbletrcii.cc

alti o

b ert

aritbrtcictleartbieta.ci o

n

0 O

I E

re sol fase

a Skuola.net

Ee

d Det

D Det

a so Gettiate è -

2 Che cit valerio_spagnoli

L'integrale generale

lett

7 D

ES cieco

b ut

lei 0 co

ce

D III

4W io n.ee su

cieco CÈ

IG za ER

ci.ci

uff

I't D

es co psico

tipo

A in

o o

int

Cecina

Ici 2 e

Ct cascati aiutati

e i

c i

costui singolo

C

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2 2W D

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2W C

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Deo 2 tipo 2

II cu

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Ica

44241

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34

1

407

Cosi 2

y ritorto

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D

O 8 Skuola.net

yiifzIG.Ylt

GEtanCEt tsiuCEt i

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a

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valerio_spagnoli

4

4107 I

µ tlaruetli.gs

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Ittica Icier

L

6 Èccoscritttèsincreti

IG 441 PARTICOLARE

problema SOLUZIONE

COMPLETO fa.b.eewe.aeofe4I

tbyitcy

ay

1 SOMIGLIANZA

METODO Di

fette Punch di n

grido

polinomio

Sancti

Yeti

Sol Ceo

tana O 0

G a

È cibo

alti o Skuola.net

Qual digrido

con in

polinomio -

Itt

n'y valerio_spagnoli

es y ciao

2 beo

f aid

grado GE

cotc.tt

Cfo 44 2Gt

Cit

4

4 2g

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nell'erta

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Sostituiamo aiso0i2Ce WCo

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Al contattino

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