Analisi Matematica 2

CURVA

Consideriamo un intervallo chiuso e limitato [a, b], al suo interno consideriamo 3 funzioni:

• x(t), y(t), z(t)

t ∈ [a,b] → P = (x(t), y(t), z(t))

ad ogni punto t ∈ [a,b], si associa un punto P, dello spazio avente coordinate x(t), y(t), z(t).

Al variare di t in [a,b], curva P, descrivendo un luogo geometrico (ϒ)

ϒ

• x = x(t)
• y = y(t)
• z = z(t)

EQUAZIONI PARAMETRICHE DELLA CURVA ϒ

con t ∈ [a,b] | PARAMETRO

• curva chiusa

una curva è detta chiusa quando l'equazioni parametriche del primo punto (A) coincidono con quelle dell'ultimo punto (B)

curva semplice

una curva si dice semplice quando per 2 valori qualunque di t ∈ (a,b]

dice t₁ ≠ t₂, allora ϒ(t₁) ≠ ϒ(t₂), naturalmente con t₁ ≠ t₂.

CURVA REGOLARE

Una curva è detta regolare se piegava le seguenti definizioni :

1. le tre equazioni parametriche [x(t),y(t),z(t)], sono continue e derivabili in [a,b] = avevo C¹ in [a,b]
2. le loro derivate [x'(t), y'(t), z'(t)] non sono simultaneamente nulle
3. non accada mai che per due valori distinti t₁ ≠ t₂, si ottenga lo stesso punto cioè - ovvero non può mai accadere che x(t₁) = x(t₂), y(t₁) = y(t₂), z(t₁) = z(t₂) con t₁ ≠ t₂

TANGENTE AD UNA CURVA REGOLARE NEL PUNTO P

Prendo in considerazione una curva regolare, con equazioni

• x = x(t)
• y = y(t)
• z = z(t)

VALGONO LE 2 NOTESE

Scelgo il punto P ∈ ϒ e avvicino il valore del parametro t, scelgo un altro Q corrispondente a t + Δt

Per la terza ipotesi Q ≠ P → Δt ≠ 0

considero la retta secante PQ (s)

s:

X(t+Δt) - X(t)

Y(t+Δt) - Y(t)

Z(t+Δt) - Z(t)

^{X(t+Δt) - X(t)}/_△t

^{Y(t+Δt) - Y(t)}/_△t

^{Z(t+Δt) - Z(t)}/_△t

Porto per △t → 0

s: ^{X(t+Δt) - X(t)}= ^{Y(t+Δt) - Y(t)}= ^{Z(t+Δt) - Z(t)}

_{Δt Δt Δt}

DEF: SI DEFINISCE RETTA TANGENTE AD UNA CURVA IN UN PUNTO P

LA POSIZIONE LIMITE, SE ESISTE, DELLA SECANTE S, AL TENDERE

DEL PUNTO Q VERSO IL PUNTO P PER Δt → 0

Per la definizione di retta tangente, faccio tendere Δt → 0

Secondo la definizione di derivata:

f'(x₀) = lim ^{f(x₀ + Δ) - f(x₀)}/

_{Δ → 0 Δ}

Dunque tutto: miei denominatori saranno uguali a ^X'(t), ^Y'(t), ^Z'(t)

↦ RETTA TANGENTE S0 : ^{X - X(t)} = ^{Y - Y(t)} = ^{Z - Z(t)}

_{X'(t) Y'(t) Z'(t)}

LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CURVA

Per calcolare la lunghezza della curva, considero una curva coperta r

x = { x(t)

y = { y(t) t ∈ [a, b]

z = { z(t)

divido l'intervallo (a, b] in tanti intervalli piccoli;

a = t₀ < t₁ < t₂ < t₃ < ... < t_n-1 < t_n = b

dunque il valore t_i coincide in punto della curva P_i; { x(t_i); y(t_i); z(t_i) }

Si crea una poligonale con vertici P₀, P₁, P₂, ... P_n, avente il punto

vertice l'ultimo di coincidere con l'inizio e la fine della curva.

D τ [a,b], τ : DECOMPOSIZIONE DELL'INTERVALLO

Ogni decomposizione ha la norma (δ), ovvero

la misura dello lunghezza del segmento

t₀ t₁ t₂ t₃ t_n = b

LUNGHEZZA DELLA POLIGONALE

P = ∑^n-1 _i=0 ( x(t_i+1) - x(t_i) )² + ( y(t_i+1) - y(t_i) )² + ( z(t_i+1) z(t_i) )²

Insieme limitato

Def

Un insieme e di punti di Rⁿ si dice limitato se esiste un intervallo chiuso che lo contiene ovvero se esiste un dominio circolare che lo contiene.

Insieme illimitato

Un insieme che non soddisfa le proprietà del limitato.

Se consideri un insieme E e mi prendo due punti P, Q e la loro distanza PQ, il valore massimo di PQ raggiunge la distanza al variare di G se R_E è il diametro dell'insieme E.

Teorema

Condizione necessaria e sufficiente affinché un insieme sia limitato è che abbia diametro finito.

Punti di un intervallo/insieme

Posizione di considerazione su un insieme E, i punti Rⁿ si dividono in:

1. Punti interni: Appartengono all'insieme E P∈E ∃ r ∈ Rⁿ il dominio circolare di centro P il quale sia tutto costituito da punti di E.

2. Punti esterni: Appartengono al complemento di E P∉E ∃ r ∈ Rⁿ il dominio circolare di centro P, che non contiene alcun punto di E.

3. Punti di frontiera: Appartengono a E e al suo complemento, né int. né est. In ogni dominio circolare di centro P, cadono sia punti di E sia di CE.

   1) I punti interni hanno distanza nulla da E, partono da E.

   2) I punti esterni hanno distanza nulla da CE e partono da E.

   3) I punti di frontiera hanno distanza nulla sia da E che da CE.

Frontiera di un insieme

L'insieme dei punti di frontiera si indica con ∂E → ∂E - ∂E ∪

Insieme aperto (a,b)

È detto aperto quando non contiene alcun punto della sua frontiera, ovvero tutti i suoi punti sono interni e delimitato chiuso.

(esempio) I=(a,b) tutti x versi a < x < b sono esterni e x ∈ I - I, i punti stessi di frontiera che si... come quelli esterni.

Funzioni continue a più variabili

Ad una variabile una funzione f(x) è continua in x₀, se:

• ∃ lim _x→x0 f(x) (se il limite destro che sinistro)
• lim _x→x0 f(x) = f(x)

avere il valore del limite detto altrimenti, deve:

vale quindi vale la funzione in quel punto.

Stesso discorso vale a più variabili

• _{lim⃷v→0 d(v)} = f(p₀)
• ∀ε>0, ∃δ>0: ||p-p₀||<𝛿<ε

Punto singolare

Un punto è detto sengolare se non è di continuità

Discontinuità eliminabile

Una funzione discontinuà in un punto posso rendedla continua in 2 modi:

1. Quando ∃ lim _p→p0 f(p) = L ≠ f(p₀)

• Allora scelgo una funzione ausibile il cui valore in p₀ = L → f₁(R) = L

2. Quando po ∃ DE-ε

• Allora inserisco il mio po in E, questo proprio un po ∃ E → po = L

Teoremi fondamentali sulle funzioni continue

1. Teorema di Weierstrass

   Teorema

   "Ogni funzione f(p), continua in un insieme E, chiuso e limitato, ha certamente in E un minimo e un massimo "

2. Teorema di Heine-Cantor

   Teorema

   "Se f(p) è continua in un insieme E, chiuso e limitato, essa è uniformemente continua in E, quindi assegnato ad arbitrio un ε>0, esiste un δ>0, tale che per 2 qualsiasi punti p',p'' ∃ E. Verificanti a |p'-p''|<δ, risulta |f(p')-f(p'')|<ε.