CURVA
Consideriamo un intervallo chiuso e limitato [a,b], al suo interno consideriamo 3 funzioni: x(t), y(t), z(t)
t ∈ [a,b] → P = (x(t), y(t), z(t))
Ad ogni punto t di [a,b], si associa un punto P, dello spazio, avente coordinate x(t), y(t), z(t).
Al variare di t su [a,b], varia P, descrivendo un luogo geometrico (δ)
- x = x(t)
- y = y(t)
- z = z(t)
CON t ∈ [a,b] → PARAMETRO
- curva chiusa
una curva è detta chiusa quando l'equazione parametica del primo punto (tA) coincide con quella dell'ultimo punto (tB)
curva semplice
una curva è detta semplice quando per 2 valori qualsiasi di t ∈ [a,b] diversi t₁ e t₂, allora δ(t₁) ≠ δ(t₂), naturalmente con t₁ ≠ t₂.
CURVA REGOLARE
Una curva è detta regolare se valgono le seguenti definizioni:
- Le sue equazioni parametriche x(t), y(t), z(t), sono continue e derivabili in [a,b] ∧ amp; C⁻¹ in [a,b]
- Lo jacobiano (x'(t), y'(t), z'(t)) non sono simultaneamente nulla
- Non accade mai che per due valori distinti t₁ ≠ t₂, si ottenga lo stesso punto δ(t) - ovvero non può mai valere x(t₁) = x(t₂), y(t₁) = y(t₂), z(t₁) = z(t₂) con t₁ ≠ t₂
TANGENTE AD UNA CURVA REGOLARE NEL PUNTO P
Preso in considerazione una curva regolare, le cui equazioni
- x = x(t)
- y = y(t)
- z = z(t)
valgono le 3 ipotesi
Scelgo il punto P ∈ δ, a cui corrisponde il valore del parametro t scelgo un altro Q corrispondente a t + Δt
Per la terza ipotesi Q ≠ P → Δt ≠ 0
CURVA
Consideriamo un intervallo chiuso e limitato \([a,b]\), al suo interno consideriamo 3 funzioni: \(x(t), y(t), z(t)\)
t ∈ [a,b] ⟶ P = \([x(t), y(t), z(t)]\)ad ogni punto t di [a,b], si associa un punto P, dello spazio, aventecoordinate \(x(t), y(t), z(t)\).
Al variare di t in [a,b], varia P, descrivendo un luogo geometrico \(δ\)
| x = x(t)δ | y = y(t) EQUAZIONI PARAMETRICHE | z = z(t) della CURVA δcon t ∈ [a,b] il parametro
- curva chiusa
una curva è detta chiusa quando l'equazione parametrica delprimo punto (A) coincide con quella dell'ultimo punto (B)
- curva semplice
una curva è detta semplice quando per 2 valori qualsiasi di t ∈ [a,b]diversi t₁ e t₂, allora δ(t₁) ≠ δ(t₂), naturalmente con t₁ ≠ t₂.
CURVA REGOLARE
Una curva è detta regolare se valgono le seguenti definizioni:
a) Se sue equazioni parametriche \([x(t), y(t), z(t)]\), sono continue e derivabili in [a,b] ⟾ avete C² in [a,b]b) Le loro derivate \([x'(t), y'(t), z'(t)]\) non sono simultaneamente nullec) Non accade mai che per due valori distinti t₁ ≠ t₂, si ottenga lo stesso punto δ ⟶ dove non può mai essere \(x(t₁) = x(t₂)\), \(y(t₁) = y(t₂)\), \(z(t₁) = z(t₂)\) con t₁ ≠ t₂.
TANGENTE AD UNA CURVA REGOLARE NEL PUNTO P
Ponendo in considerazione una curva regolare, con equazioni
| x = x(t)| y = y(t) VALGONO LE 3 ipotesi| z = z(t)Scelgo il punto \(P \in δ\), a cui corrisponde il valore del parametro tscelgo un altro \(Q\) corrispondente a \(t + Δt\)Per la tacca ipotesi\(Q \rightarrow P\) ⟶ \(Δt \rightarrow 0\)
considero la retta secante PQ (s)
s: X/(t + ∆t) - x(t) = Y/(t + ∆t) - y(t) = Z/(t + ∆t) - z(t) | EQUAZIONE RETTA SECANTE
Porto il tutto X/Y Y/Z ∆t
s: X/(t + ∆t) - x(t) Y/(t + ∆t) - y(t) Z/(t + ∆t) - z(t) = X/∆t Y/∆t Z/∆t
DEF SI DEFINISCE RETTA TANGENTE AD UNA CURVA IN UN PUNTO P LA POSIZIONE LIMITE, SE ESISTE, DELLA SECANTE S, AL TENDERE DEL PUNTO Q VERSO IL PUNTO P PER ∆t → 0
Per la definire di retta tangente, faccio tendere ∆t → 0
Secondo la definizione di derivata f/(x) = lim f/(x0 + ∆) - f(x0) Δ → 0
Dunque tutto i miei denominatori saranno uguali a x'(t), y'(t), z'(t)
→ RETTA TANGENTE S: X/x'(t) = Y/y'(t) = Z/z'(t)
LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CURVA
Per calcolare la lunghezza della curva, considero una curva cartesiana:
- x = x(t)
- y = y(t) t ∈ [a,b]
- z = z(t)
...
SECONDO LAGRANGE SE f' CONTINUA E DERIVABILE => f(b)-f(a)=(b-a)g'(c)
APPLICO LA GAUGE
P=∑i=0n-1√[(ti+1-ti)∙x'(μi)]2+[(ti+1-ti)∙y'(νi)]2+[(ti+1-ti)∙z'(ωi)]2
FATTO LA COSTANTE FUORI RADICE
P=∑i=0n (ti+1-ti)√[x'(μi)]2+[y'(νi)]2+[z'(ωi)]2
SAPPUCCIO CHE SE HO UNA SOMMA INTEGRALE, E FACCIO IL LIMITE,
OTTENGO UN INTEGRALE,
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Recensioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
