Analisi matematica 1 - Teorema di de l'Hôpital

Teorema di de l'Hôpital

2 C.9 Teorema di de l'Hôpital 0-f(x) f(x) f(x) f(t)0 = = .0-g(x) g(x) g(x) g(t)0 Poiché x < t(x) < x, il secondo Teorema del confronto 4.5 garantisce che al tendere di x a x anche t = t(x) tende a x. Pertanto, applicando il Teorema di sostituzione 4.15, si ottiene 0 f(t(x)) f(t)f(x) = lim = lim , lim 0 g(x) g(t(x)) g(t)+ ++ x→x t→x x→x0 e la tesi è verificata. -Analogamente si procede nel caso c = x; il caso c = x si ottiene combinando i 00 due limiti unilateri.±∞.b) Casi L = 0, c = 1 Supponiamo c = +∞. Mediante la sostituzione z = siamo condotti a studiare il x1 f( ) 1 1 1 d 0 z+→ -limite per z 0 del quoziente f = f,. Osservando che 1 2dz z z z g( )ze analogamente per la funzione g, si ha d 1 0 1 f 0 f f(x) dz z z lim = lim = lim . 1 0 d 0 g(x) g 1 x→+∞+ +z→0 z→0 g z dz z + Dunque siamo ricondotti al caso precedente con c = 0 e il risultato segue.-∞. Similmente si

procede nel caso c = ±∞,c) Casi L = c = x , x , x .00 0 0f (x)+ ∈Supponiamo dapprima c = x e poniamo lim = `. Nel caso ` siaR,0 0g (x)+x→x0+I (x ) l'intorno destro di x in cui le funzioni f e g verificano le ipotesi del0 0 +∈teorema. Per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che x + δ I (x ) e per ogni1 0 1 00f (x)∈ -x (x , x + δ ) si ha ` < ε. Nell'intervallo [x, x + δ ] sono soddisfatte0 0 1 0 10g (x) ∈le ipotesi del Teorema C.8.1 di Cauchy e dunque esiste t = t(x) (x, x + δ ) tale0 1che 0-f (x) f (x + δ ) f (t)0 1 = . (C.9.1)0-g(x) g(x + δ ) g (t)0 1f (x)Scriviamo il quoziente nella formag(x) 0f (x) f (t)= ψ(x) ,0g(x) g (t)dove, ricordando la (C.9.1), si hag(x +δ )- 0 11 g(x)ψ(x) = , con lim ψ(x) = 1 ,f (x +δ )- +0 11 x→x0f (x)