Teorema di De l'Hôpital
Dimostrazione del teorema 6.38
Teorema 6.38: Siano f e g due funzioni definite nell’intorno di c, tranne eventualmente in c, e tali che
lim f(x) = lim g(x) = L, x → c x → c⁻∞, con L = 0 oppure +∞ oppure -∞.
Se f e g sono derivabili nell’intorno di c, tranne eventualmente in c, con g' ≠ 0, e se esiste (finito o infinito)
lim x → c f'(x) / g'(x)
allora esiste anche lim x → c f(x) / g(x) e tale limite è uguale al precedente.
Dimostrazione
L’enunciato del teorema comprende vari casi a seconda dei valori che possono assumere L e c. Gli argomenti che intervengono nella dimostrazione possono differire al variare della situazione. Pertanto nel seguito raggruppiamo i vari casi per omogeneità di dimostrazione.
Casi L = 0, c = x0⁺, x0⁻, x0
Supponiamo dapprima c = x0⁺. Per l’ipotesi lim f(x) = lim g(x) = 0, possiamo prolungare (eventualmente ridefinendone il valore) entrambe le funzioni f e g in x, ponendo f(x0) = g(x0) = 0; in tal modo f e g risultano continue (da destra) anche in x0. Detto I(x0) l’intorno destro di x0 in cui le funzioni f e g verificano le ipotesi del teorema, sia x ∈ I(x0).
Nell’intervallo [x0, x] sono soddisfatte le ipotesi del Teorema C.8.1 di Cauchy e dunque esiste t = t(x) ∈ (x0, x) tale che
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