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C.9

Teorema di de l’Hôpital

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Pag. 202 Dimostrazione del Teorema 6.38

Teorema 6.38 Siano f e g due funzioni definite nell’intorno di c, tranne

eventualmente in c, e tali che

lim f (x) = lim g(x) = L,

x→c x→c

−∞.

con L = 0 oppure +∞ oppure Se f e g sono derivabili nell’intorno di c,

0 6

tranne eventualmente in c, con g = 0, e se esiste (finito o infinito)

0

f (x) ,

lim 0

g (x)

x→c

allora esiste anche f (x)

lim g(x)

x→c

e tale limite è uguale al precedente.

Dimostrazione. L’enunciato del teorema comprende vari casi a seconda dei valori

che possono assumere L e c. Gli argomenti che intervengono nella dimostrazione

possono differire al variare della situazione. Pertanto nel seguito raggruppiamo i

vari casi per omogeneità di dimostrazione.

+

a) Casi L = 0, c = x , x , x .

0

0 0 +

Supponiamo dapprima c = x . Per l’ipotesi lim f (x) = lim g(x) = 0, possiamo

0 + +

x→x x→x

0

0

prolungare (eventualmente ridefinendone il valore) entrambe le funzioni f e g in

x ponendo f (x ) = g(x ) = 0; in tal modo f e g risultano continue (da destra)

0 0 0

+

anche in x . Detto I (x ) l’intorno destro di x in cui le funzioni f e g verificano

0 0 0

+

le ipotesi del teorema, sia x I (x ). Nell’intervallo [x , x] sono soddisfatte le

0 0 ∈

ipotesi del Teorema C.8.1 di Cauchy e dunque esiste t = t(x) (x , x) tale che

0


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Novadelia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Scienze matematiche Prof.

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