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SERIE
L'addizione che si è in grado di esprimere con un numero finito di addendi si estende introducendo il concetto di SERIE al caso di un numero infinito di addendi. Dati infatti la successione di numeri reali {an} = a1, a2,... an, si può formare la successione {Sn} con definito
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
...
Sm = a1 + a2 + ... + an + am
{Sn} prende il nome di SUCCESSIONE delle RIDOTTE N-ESIME o delle SOMME PARZIALI
Definizione: La successione {Sn} delle ridotte n-esime o somme parziali è detta SERIE. I termini an (con n = 1,2,...,∞) sono detti TERMINI della SERIE e la denotiamo la seguente:
∑n=1∞ an
Definizione: Volgono tutte le proprietà delle successioni e in particolare:
- Se la successione {Sn} è CONVERGENTE, quindi la serie ha un numero reale limite finito Sn = λ (somma della serie), si dice che la serie è λ.
∑n=1∞ an = λ (Somma della Serie)
- Se la successione {Sn} è DIVERGENTE lo sarà anche la serie e analogamente se la successione {Sn} è INDETERMINATA lo sarà anche la serie.
N.B.: Studiare il CARATTERE di una SERIE vuol dire sapere se è convergente, divergente o indeterminata. La serie con uno studio della SOMMA PARZIALE avverrà, che, se non nell'esame di tutte, assuma una forma semplice detta la serie TELESCOPICA e ottenere il limite per n di ∞.
Es. ∑n=1∞ 1/n(n+1) = Sn = 1 (1-1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/n+1) = 1 (1-1/n+1)
Limn Sn = Limn (1 - 1/n+1) = 1
La serie è CONVERGENTE e la sua SOMMA è 1
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