Analisi matematica 1 - serie numeriche

SERIE

L’addizione che si è in grado di eseguire con un numero finito di addendi si estendemediante il concetto di SERIE al caso di un numero infinito di addendi. Data infatti laSUCCESSIONE di numeri reali {a_m} = a₁, a₂, ..., a_m, in più formare la successione {S_m}così definita

• S₁ = a₁
• S₂ = a₁ + a₂ = S₁ + a₂
• S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = S₂ + a₃
• ...
• S_m = a₁ + a₂ + ... + a_m = S_m-1 + a_m

{S_m} prende il nome di SUCCESSIONEdelle RIDOTTE N-ESIME o delle SOMME PARZIALI

Definizione: La successione {a_m} delle ridotte n-esime o delle somme parziali è detta SERIE.I termini a_m (con m=1,2,...) sono detti TERMINI della SERIE, e lo si denota con la seguente:

Definizione: Valgono tutte le proprietà delle successioni, e in particolare:

1. Se la successione {S_m} è CONVERGENTE, quindi se tende a un numero reale λ tale che lim S_m = λ m→∞ sarà anche la serie. In pratica si definisce SOMMA della SERIE,

(somma della serie)

2. Se la successione {S_m} è DIVERGENTE la somma della serie è analoga a se la successione {S_m} è INDETERMINATA lo sarà anche la serie.

N.B.: Studiare il CARATTERE di una SERIE vuol dire come se è convergente, divergente o indeterminata. In forma ancora disgiuntiva, la SOMMA PARZIALE assume che, se siamo nell’ambito delle serie, assume una forma particolare anche la serie. TELESCOPICA si ottiene il limite per n=∞ o 0.

Esempio:

Inoltre λ = lim S_n = 1/2

n→∞ 2ⁿ⁺¹

da λ = 1 la serie è CONVERGENTE e la sua SOMMA = 1

Serie

L'obbiettivo che si è in grado di raggiungere con un numero finito di calcoli in aritmetica mediante il concetto di serie, al costo di un numero infinito di calcoli. Dati infatti la successione di numeri reali {a_n} = a₁, a₂,..., a_m, in più formare la successione {S_m} con definito

Definizione: la successione {S_m} delle ridotte n-esime e delle somme parziali, è detta serie. I termini a_n (con n=1,2,...) sono detti termini della serie, e la scriviamo come segue:

∑ _m=1ⁿ a_m

Definizione: Volgone tutte le proprietà della successione e in particolare:

1. Se la successione {S_m} è convergente, quindi ha modo e vale che il S_n → Serie viene anche la serie e simboli S_m la definisce somma della serie,

∑ _m=1^∞ a_n = λ (somma della serie)

2. Se la successione {S_m} è divergente lo sono anche la serie e analogamente se la successione {S_m} è indeterminata lo sono anche le serie

N.B.: Studiare il carattere di uno serie vuol dire accorgere se è convergente, divergente o indeterminata. In fondo accanto significativo somma parziale aiutare imitarli; che, se compiamo nella forma della serie, assumo una forma verifica nella serie telescopio a stabilire il l meis per n → ∞.

∑ _m=1^∞ ₁⁄_{m (m+1)} = S∞ = 1− ₁⁄_m+1 = 1 - (1-1) + (1-1) +...+ ∑_⃰⁄_∞ = 1 -1 = 1

Allora la serie è convergente e la sua somma = 1

E₁      Σ (-1)ⁿ   -1 + 1 - 1 + ...

      INDETERMINATA        in quanto Ξ è la successione

E₂      Σ   = 5ⁿ = 5 + 5¹ + 5ⁿ

         DIVERGENTE        in quanto lim S_n = ∞                                    n≠Π

E₃          Studiamo il CARATTERE della SERIE detta GEOMETRICA Σ ∞

                     n = ½²

               xⁿ   = x + x¹ + x¹ + ...

•      EGUAGLI a un numero reale finito pure  x≠1    S_n = 1 + x + x¹ + 1 + ... = 1 + x + x +      lim                 S_n + ∞ =      SERIE DIVERGENTE POSITIVAMENTE

- SE x ≠ 1 in tal:

S_n = 1 + x + x¹ + 1 + ... = x + (+1) × (x) + x¹ × (x¹) + x¹ × (x¹)   →

            S_n

Σ        x 0 ∃ N(ε) : ∀n ≥ ∑ Λ ∀p ≥ 0 si abbia

(a_n+1 + a_n+2 + a_n+3 + ... + a_n+p) < ε

TEOREMA

Definizione: Se la serie CONVERGE allora lim_n→∞ a_m = 0

Dimostrazione: Considerando il criterio di Cauchy nel caso p = 1 si ha che: ∀ε > 0 ∃ N→∞ : n ≥ N : a_n+1 < ε, che implica che lim_n→∞ a_n = 0 ... per n→∞.

N.B. la condizione lim_n→∞ a_n = 0 è NECESSARIA ma NON SUFFICIENTE per determinare se una serie è CONVERGENTE, infatti considerando ad esempio la SERIE ARMONICA:

∑_m=1^∞ 1/m è DIVERGENTE nonostante lim_n→∞ 1/m = 0: infatti è una condizione non sufficiente, essendo necessario per verificare tale divergenza studiare se esiste che non la viola per il CRITERIO DI CAUCHY se fosse convergente anche alle scelte p = 2 ε = 1/4 p = 2 con n ≥ 2 :

(1/m + 1/(m+1)) + (1/(m+2)) < 1/2 (la maggiore pio; cheluce colletto puntia particolare)

- Notte cantto; anche la cha 1/m + 1/(m+1) + 1/(m+2) + ... + 1/(n+1) fin a 1/(n+1) 1/m delle RIDOTTE inval le scolaire con ...

1/m + 1/(m+1)...(M) 1/m 1/2 ≤ 1 --> 1/2.∑_m=0ⁿ 9/17

Proprietà di linearità delle serie convergenti

Definizione: Siano ∑_n=1^∞a_n e ∑_n=1^∞ b_n due serie convergenti e siano α, β ∈ ℝ. Allora converge anche la serie ∑_n=1^∞ (a_n·α + b_n·β) e vale:

∑_n=1^∞(a_n·α + b_n·β) = α∑_n=1^∞ a_n + β∑_n=1^∞ b_n

Teorema

Definizione: Sia a_n∈ℤ ∀ n ∈ ℕ. Allora la serie a_n converge se e solo se la successione ξ_n∞ delle sue medie è superiormente limitata.

Critéeri di convergenza per serie a termini non negativi

1. Criterio del confronto

Definizione: Siano ∑_n=1^∞ a_n e ∑_n=1^∞ b_n due serie a termini non negativi t.c. 0 ≤ a_n ≤ b_n. Se la serie ∑_n=1^∞ b_n converge, allora converge anche ∑_n=1^∞ a_n.

2. Criterio della radice

Definizione: Sia ∑_n=1^∞ a_n una serie a termini non negativi e sia ∞ lim _{n →∞} √n a_n = l.

• A. Se l < 1, la serie converge.
• B. Se l > 1, la serie diverge.
• C. Se l = 1, non si hanno informazioni.

3. Criterio del rapporto

Definizione: Sia ∑_n=1^∞ a_n una serie a termini non negativi e sia ∞ lim _{n →∞} (a_n+1 / a_n) = l.

• A. Se l < 1, la serie converge.
• B. Se l > 1, la serie diverge.
• C. Se l = 1, non si hanno informazioni.