Appunti Analisi matematica 1 sulle serie numeriche

RAPP

C .

. bu n I

1 1

+ +

bn 1 converge

- =

- =

ant,

bn

ES !

! 24

2"

= n

n

- +

- t

t converge

p

n = .

.

.

.

n" n

1 1

n +

1 +

= !

!

-24 n

n

+

an ~

= n

1

n +

CRITERIO RAPPORTO n

(+ car

! 2) "j

1) * [4

(n (it)

= 2

1

bn -

xe

= = =

= =

=

* -

+

!

1

( n

+

Es 24

⑧ 20

+ t

-

2 Converge

p

! a .

.

in

n = 24

an = "

! a

n

RAPPORTO

CRITERIO ma

24 1

+ 2

bn 1

0 converge

<

· =(n

= 2x 1

1)

(n ! +1)

+ 2 x

+ .

Es t

1

2 > n

3 . ,

+0 1 - n

-

2 CONVERGE

per x 0

=

=

n t

n 1

1

n <

a p

+

= . . 2 1 conv.

re <

-

n -

3

3 -n

-

< n

1

n

2 >0 -

D -

-

= - =

n2 n

= averg

n n sez -

+ - .

5

- 2 10

2 1 > -

-

- - 50

- 1 1

- -

- 5 2

3 2

CONVERGE

<

2 - DIVERGE

3

a

3 I

< 1

n CONVERCE

20 -D - - -

n2

nc

n +

RIASSUmeNDe 3

0

CONERGE DER <C0 <<<

e

· quindi <3

per

3

PER

DIUERGE C

0 ,

Es

Yes t p

. .

egn

an= 12

RAPPORTO

CRIT

. 2

n2

eg(+1) egn .

br 1 quindi NON

CRIT

=D FONZ

egen

= . .

eg(n)

2

1)2 n

(n .

+

eg+ il

faccio CRITERIO CONFRONTO

con potenze DEL A 0

+

-

lo(A) a)

lg(

ho aumentarlo

eg(n)

<penso cost

ad we posso

=

en +

=

cumonica

egn quindi

che converge I

,

an de

he maggiore ula potenza

con

we

trow

= converge)

n

I =lo(A) x o

va aumentato

↓ lg(A)

ne X c

A

quindi

f - > 0

Con L - 1

lg(A)

diverge =

n

2 ma

n e

,

quindi peco

non

n essere wa

f annonica

I = X

nz 2 che Converge

-

D

I

n l =

- x 32

2 - converge

n n

SERIE A TERMINI DI SEGNO QUALUNQUE

P qualunque quindi costante

segno

non a

segno

an a I

-

lanl

ip TEOreMA DELL'ASSOLUTA Convergenza

an Converge

converge D

: =

I a

A 0

IR

at t

a = 0 0

a =

i a <

a 0

-

a = 1 0 a 0

= I

I a

a

0 0

a + al Q

④

Sommafra e

-

-

+ a

a + 0-G

= acO -Ya=

I a

a 0

0

-

G

a -

+ a

- = ac0

a

o +

E

an= ant-an- Esan-convergono

E

glanl confronto

per

ip a +

D

converge

: -

- 1

n =

lan) ant an - 2

= +

m lan) 3

ant

=

o convergono

lan

- =

an

=

0 - lan--an-) CONVERGE

eimiti

dei

be diff D an

anche

=> =

.

TEOREMA : wwar

sentar e se

con n 1

=

ESEMPIO : ASSOLUTAMENTE

Converge

~

L ,

5

134

* (- l

lan) cumonica CONVERGE

>2

an > con

= = -

n nz

n 1

=

ESEMPIO :

-

s

Io I diverge

camonica

an= 1

com & =

n 1

= cio

perciò verole

fo

sei de

:

ESEMPIO ASSUNTAMENTE

Converge leinn

sinn sinn lan)

an=

n =

n2 2

n

n 1

=

APPUCO CONFRONTO I

lans-Irin amonica 1 converge

<

-> 2>

=

2

ESEMPIO : al

/

- cos

won coon !

2 lan)= PUO

ANCORA STUDIARE

an SI

NON

=

n U

n

n 1

=

5) CRITERIO LIEBINITZ

DI

le serie

solo alternato

oli

pu segno

(-1) Ar ap

A Az

an -

. - + ...

=

1) allore

0

an

an se

0 -D converge

limite)

2) Cha

Can)n allone è

MONOTONA OSCILLANTE

INDETERMINATAO

0

an

be o

DIMOSTRAZIONE

E 1)4 1

+

( an

-

-

n 4)

1 (decrescenter

↳

= monotona o crescente

S S

an

DISPAR · = 1

2n +

S2 an Az S

PARI · -

= 2n

S 031

az

a1

· +

-

= , ↑

S4 G A4

az Gs

· -

+

ne

= -

Si 03 s

A1 G

· = - +

,

i

S pili diminuisce

l'indice

piri

Se la at

an aumenta

↓ .

,

S3

S

DA a

, as

lin

piei aggiungo

quello val

che

tolgo negativa

che

93 quindi

cio' che az

e ass

e

+

- 92 , .

.

DA S5

Se a prime

uguale

as a

a4

- + Se

Ss

significa S

cio' <

che < y

La calando

va

suc .

1

Sen + 2 n+14

F

Se an D

=

ant

se aggiungo

ciò tolgo

piei

Sa quello

DA che

che

Se che

è

a

San Y 2nt

se an D

=

RIASSUMENDO A

an

ant se

se Sente4

e

Santa

Sen 1

+ ↑ Sand

Sen San fa

&

Lo pai

fo dispari

e

sconto

Senti San Gen+1

- = tendono

dine

e l pari entrambi

dispari

oliviob qualcosa

che a

se

e a

salvono e :

,

, haw

11 be limite

l allone stesso

due

se

· succ

= la occille

limite

=22

l serie

de

se non

· ,

ant Senti 92n+1

- =

Sen

↓ ↓

↓

es 12 21

0 2z

an

Se -

o =

- =

Sn 1 22

-o =

LA CONVERGE

SERIE li #Cz

an Do allove OSCILLANTE

se 4

an Senti San Gent1

- =

↓ I

↓

es 12 21 +2z

an

Se - 0

o -

-

Sn-e Me INDETERMINATA

&2

F e e ed e potramo mai

non a

evere

I

Essendo I

,

s ,

che : Sent

21 -

->

ESEMPIO

+ (t)

-

I quindi

monotoN

an= 0 converge

>

. -

1

n = AUTERNATO

SEGNo

CONVERGE ARMONICA A

SERIE

ESEMPIO : 14

* I

- 0

an =

M n

n 1

=

lin seco

ARMONICA Alternato

A

serie

converge

O

I =

&

n +

- assoluto

seie il

e'm esempio che

di valore

Converge converge com

non

una :

&

lan= diverge viceversab

Infatti nell'anolute il

olimostra vale

che convergenza non

ES 2

&

+ Sin(n)

2 converge

2

n

n 1

= I sen1 I

maggiore 1 it =

O

si

e minura

con seno con 12001 1

=

leincusl

lan1 = =

n

CONFRONTO

CRITERIO del

leincusl I

lan1 E converge

= = n2

n

3

Es . 1lan)

& +

+

I(-1)n DIVERGE

1

~

= =

R

1

n = Liebnitz

faccio

MONONA

E

ESERCIZI

>annu CONVERGE

t p

. .

n n il

pencio applico del

famosa citerio

by rapporto

non

an e :

~ -

= 2 ne 24

- ~

24

bn 1

n n

1 1

+ +

+ converge

1

=

- I - -

2k 1

+

bn 2n

n

!

er n

-

2) t CONVERGE

R

n 1 . .

+

n 1

=

CAMBIO SEGNO !

24

! ~n

n - applica it

famra percio

by

an non cappotto

e :

- -

= n" n

1

+ n)y

[

-

2)

( -

*

(m) )

(

-E n =

by +

+ =

=

=

=

- in

1

2 e

1

-

-e converge

=

= &

-In

3) 1 t CONVERGE

H

E . .

n6 2

+

SEGN8

CAMBIO n

I-1 ↳ l

U quindi

CON

SERIE ARMONICA 1

> converge

-

an -

- =

= 3 nxxz

· n2

V

no

ns 2

+ ·

(ni)

Di t p

. .

(*) - ( ** 10 quindi asimotic

it conf

fare

iNo

an= non posso

= . .

Appuco CRITERIO

Il DELLA RADICE Here in

i

"Tic)"= (n)"= ("-"= sin)"=

-

Fan :

e= PUO' RIMANE

QUANDO VIENE=1

SFORTUNATO APPLICARE

1 DEL

PERCHE SI

NON C

RAD

CASO IL

DELLA

C

IL .

= . ,

.

, LIMITE

PROVA DEL GENERALE

TERMINE

IL

FARE

CONFRONTO O A

SI

en()=e-2= =

lim Sa serie

quindi da COND converge

=O NECESSARIA non

an e

per

= .

n A

>

- siccome DIVERGE

t allore

p

a

è .

.

-

1

n 2

- - -

n v

·

n3 1

+

es

5) N B

CONVERGE

t P

- . . . (cioè

lgh eg(+0

con o

= +

maggiora na

CONFRONTO si lyn

: >o

a

I

im

devo esponente

mettere un si

: ligh

minora : 1

egn n ,

semplifica

due

Tale quando

modo

X

an = 2

n

n2 io Gillonica

possa convergente

avere whe

Al f

n e quindi

e camonica

eg >1

<

con converge

=n

= 12

negn

6 CONVERGE

- p .

.

I 1

an nin-egn=

= . Ign

n lign

glio minore

D to

e

CONFRONTO al

APPLICO che

eneut allone

vo aumentare

: , ,

f f

1 amonica

* converge

- >1

con

-

n°

ni 1 nix

egn .

.

as DIVERGE

t

un p

esn . .

I

1

an -

= in egn egn

n z

APPLICO CONFRONTO

IL l

1 - fami

! positivo

niz piccolo

deve così

essere seie divergente

ma da

! zone

h u

o

Ign .

n -Is

1 diverge

amonice quindi

= 1

a

con

n"

z

n . n2

+o

OS I CONVERGE

t p

nex egn -

.

n 1

= l i camonica quindi

an che

~ converge

1

<

con >

= egn

n +

Ener

as t Converse

p

. .

lon

eh =bu

an= !

! e n

n +

APPLICO RAPPORTO

IL eg

A 1

! 1)

eg(n

+1)

eg(n &

bn +

1

+ 0 1