Analisi matematica 1 - le serie numeriche
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(1) convergente.
SERIE LOGARITMICA
n
x
(1) xR
n
1
n 2
x x
...
1 2
I) x=0 converge e ha somma 0
II) x=1 serie armonica che diverge
III) x=-1 serie armonica alternata che converge
IV) x>0 è a termini positivi
Criterio del rapporto:
n 1
a x n n
n 1
x x
n
a n 1 n 1
x
n
x > 1 (1) diverge
0 < x < 1 (1) converge
V) x < 0 n n
x | x |
i) -1 < x < 0 n n
n 1 1
n
è la serie logaritmica con |x|
0 < |x| < 1 Converge
quindi (1) è assolutamente convergente (1) converge.
ii) x < -1 non è assolutamente convergente
E’ alternante; Applichiamo il Teorema 3:
n n 1
| x | | x |
a a
n n 1
n n 1
n 1 n 1
1 | x |
|x| > 1 :
N
n n
Applichiamo il Teorema 3 al resto di posto ;
segue che esso è oscillante.
Allora è oscillante la (1).
PROPRIETA’ ASSOCIATIVA DELLE SERIE
a
(1) n
1
n
{n } n n <n
N nN
k nN k k k+1
Introduciamo:
b
(2) n
1
n
b a a ... a
1 1 2 n 1
b a a ... a
2 n 1 1 n 1 2 n 2
...
b a ... a
k nk 1 1 nk
Teorema (1) è convergente (2) è convergente ed ha la stessa somma.
Dim. {s } è convergente per Ip.
n
t b b ... b a ... a s {t } è estratta da {s } Ts.
k n
k 1 2 k 1 nk nk
Il viceversa non è vero in generale;
n 1
( 1
)
ES. 1-1+1-1+…
n 1
s 1
2 n 1 (1) è oscillante.
s 0
2 n
PRODOTTO SECONDO CAUCHY DI 2 SERIE
a
(1) n
1
n
b
(2) n
1
n
p
DEF. (3) si definisce prodotto secondo Cauchy delle serie (1) e (2)
n
1
n
p a b
1 1 1
p a b a b
2 1 2 2 1
p a b a b a b
3 1 3 2 2 3 1
con ... n
p a b
n k n k
k 1
Teorema 1 Se (1), (2) e (3) sono convergenti, allora dette rispettivamente s, t, p le loro somme si
ha: p = s t
Teorema 2 Se (1) e (2) sono assolutamente convergenti (3) è assolutamente convergente
(Quindi p = s t).
SERIE A TERMINI COMPLESSI
{z } z C nN
n nN n
z
(1) s = somma parziale
n
n
1
n
Si danno le stesse definizioni viste per le serie a termini reali.
Una serie a termini complessi può essere convergente, infinitamente grande e non regolare.
| z |
DEF. (1) si dice assolutamente convergente se è convergente. (|z | è il modulo R).
n
n
1
n
z a ib
n n n
a
(2)
n
n
1
n
b
(3)
n
n
1
n
s a ib
Teorema (1) è convergente ed ha per somma il numero complesso
(2) è convergente ed ha somma a e (3) è convergente ed ha somma b.
s i
E’ evidente che n n n
Teorema (1) è assolutamente convergente (2) e (3) sono assolutamente convergenti
| a | | z |
n n se (1) è assolutamente convergente lo sono anche (2) e (3) per confronto.
| b | | z |
n n
N.B. |a | e |b | = valore assoluto
n n
|z | = modulo
n
| z | | a | | b | Se (2) e (3) sono assolut. conv. lo è anche la (1).
n n n
CRITERIO DI CAUCHY
CNS perché (1) sia convergente è che:
z z ... z
: se n> e si ha
>0 N pN
n 1 n 2 n p
Prodotti secondo Cauchy come nel caso reale.
SERIE ESPONENZIALE
n 1
z
(1) zC
( n 1
)!
n 1
n 1
n 1
z | z |
Consideriamo converge perché |z|R (1) è assolut. conv.
( n 1
)!
( n 1
)!
n 1
n 1
è conv.
zC.
SERIE GEOMETRICA
n 1
z
(1) zC s n
n 1
|z|1 n
1 z
s n
1 z 1
sn
|z| < 1
1 z
n n
| z 1 | | z | 1
| s |
|z| > 1 |s | + (1) infinitamente grande
n
n
| 1 z | | 1 z |
+
|z| = 1 n n
| 1 z | 1 | z | 2
| s |
n
| 1 z | | 1 z | | 1 z |
n-1
|z|=1 z non tende a 0 la serie non è convergente.
La serie non è convergente, non è infinitamente grande perché |s | è limitato è oscillante.
n
INTEGRAZIONE PER RAZIONALIZZAZIONE
R ( y ) funzione razionale
4 x 2 x 4 2
e 3
e 1 y 3 y 1
x x
R ( e ) es. e
2 x 2
5
e 6 5 y 6
x
R ( e )
x x x
Derivata di e
I R ( e ) dx e dx
x
e
R ( y ) x x
R ( y ) I R ( e )
e dx R ( y ) dy
ES. 1 1 1 x
y
y e
4 x 2 x 4 x 2 x 4 2
e 3
e 1 e 3
e 1 y 3 y 6
x
dx e dx dy
ES.
2 x 3 x x 3
5
e 6 5
e 6 e 5 y 6 y
x
y e
INTEGRAZIONE DEFINITA PER SOSTITUZIONE
f : ( , ) R
Ip. continua
: ( , ) ( , ) derivabile con derivata continua
a , b ( , )
( c ) a
c , d ( , ) tale che
( d ) b
b d
f ( x ) dx f ( ( t )) ' ( t ) dt
Ts. a c f
Dim. Sia F una primitiva di
F ( b ) F ( a )
I membro =
F ( ( t )) è una primitiva della funzione integranda del II membro.
F ( ( d )) F ( ( c )) f ( b ) F ( a )
II membro = Ts.
INTEGRALI DI FUNZIONI GENERALMENTE CONTINUE
X R f : X R
f
DEF. si dice generalmente continua in X se ha un numero finito di punti di discontinuità.
N {punti di discontinuità di f}
f
f : a , b R generalmente continua
N b
I) f
F ( ) f ( x ) dx
f
0
, b a che ha senso perché in [a,b-] è definita.
[ a , b ]
F : 0
, b a R
f ( x ) dx
lim F ( ) lim F ( )
f
DEF. è integrabile in [a,b] se esiste finito, e in tal caso si pone
0 0
[ a , b ]
1
N 1
ES. [0,1] f
2
1 x 1 dx
perché non sappiamo se la funzione è integrabile.
2
1 x
[ 0 ,
1
] 1
F ( ) dx
ES. Calcolare per esercizio
2
1 x
[ 0 ,
1 ]
sett tanh(
1 )
R. non è integrabile, R. f
Per non è integrabilità.
0
1
N 1
ES. [0,1] f
2
1 x 1
come prima
2
1 x
[ 0 ,
1
] 1
F ( ) dx
calcolare: R. è integrabile
2
1 x
[ 0 ,
1 ]
arcsen(
1 )
R.
1
dx
f
lim F ( ) è integrabile e
2
2
2
1 x
0 [ 0 ,
1
]
1
ES. >0
( b x )
N b
I) [a,b] f
E’ integrabile in [a,b] solo se <1.
b
F ( ) log(
b x ) log log(
b a )
=1 a
lim F ( ) f non è integrabile.
0 1 1
b
1 1 1
F ( ) ( b x ) ( b a )
1 a
1 1 1 1
1
1
dx ( b a )
lim 0 f
0<<1 è integrabile e
1
( b x )
0 [ a , b ]
f
a>1 non è integrabile.
N a
II) f
F ( ) f ( x ) dx
0
, b a
[ a , b ]
lim F ( ) f
Se ed è finito, si dice integrabile in [a,b], e si pone per definizione:
0
f ( x ) dx lim F ( )
0
[ a , b ]
1
f ( x )
Funzione TEST: in [a,b] con è integrabile per
>0 ]0,1[.
( x a )
f ( x ) log x
ES. [0,1]
N 0
f
1
F ( ) log xdx x log x x 1 log
[ 0 ,
1
]
log xdx 1
lim F ( ) 1 f è integrabile e
0 [ 0 ,
1
]
N c
c a , b
III) f
f
DEF. si dice Integrabile in [a,b] se lo è in [a,c] e in [c,b]; in tal caso si pone:
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
[ a , b ] [ a , c ] [ c , b ]
N a , b
IV) f f
c a , b
DEF. Scelto , si dice che è integrabile in [a,b] se lo è in [a,c] e in [c,b] e in tal caso
si pone:
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
[ a , b ] [ a , c ] [ c , b ]
f
c , c a , b
Siano ; supp. c <c ; Supp. integrabile con la scelta c=c
1 2 1
1 2 f
Ts. Dimostriamo che è integrabile con c=c e che gli integrali sono uguali.
2
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
f a , c
Dim. in 2
[ a , c ] [ a , c ] [ c , c ]
2 1 1 2
lim f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
0
[ a , c ] [ a , c ] [ c , c ]
2 1 1 2 c
b b
1
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
f c , b
in =
2
[ c , b ] c c c
2 2 2 1
f ( x ) dx f ( x ) dx
=
[ c , c ] [ c , b ]
1 2 1
lim f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
0
[ c , b ] [ c , c ] [ c ,
b ]
2 1 2 1
Con la scelta c=c
2
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
=
[ a , b ] [ a , c ] [ c ,
b ] [ a , c ] [ c ,
c ] [ c ,
c ] [ c ,
b ]
2 2 1 1 2 1 2 2
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
= con la scelta c=c
1
[ a , c ] [ c ,
b ] [ a ,
b ]
1 2
N c ,..., c , a , b
V) f 1 k eventualmente
con c ,c ,…,c c <c <…<c
]a,b[
1 2 k 1 2 k
f
DEF. si dice integrabile in [a,b] se lo è in [a,c ],[c ,c ],…,[c ,b]
1 1 2 k
E in tal caso si pone:
f ( x ) dx f ( x ) dx ... f ( x ) dx
[ a , b ] [ a ,
c ] [ c ,
b ]
1 k
1) Proprietà additiva
f
c a , b
generalmente continua in [a,b]
f è integrabile in [a,b] lo è in [a,c] e in [c,b] e si ha:
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
[ a , b ] [ a , c ] [ c , b ]
2) I Proprietà distributiva
f generalmente continua in [a,b]
kf ( x ) dx k f ( x ) dx
f f
integrabile k è integrabile e
[ a , b ] [ a , b ]
3) II Proprietà distributiva
f ( x ) dx g ( x ) dx f ( x ) g ( x ) dx
, hanno significato numerico , che ha
[ a , b ] [ a , b ] [ a , b ]
f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx
significato numerico e [ a , b ] [ a , b ] [ a , b ]
4) Teorema della media
f : [ a , b ] R
X x [ a , b ] | f ( x )
generalmente continua, limitata in e integrabile in [a,b].
(Ipotesi superflua, come vedremo dopo).
m ( b a ) f ( x ) dx M ( b a )
M sup f
m inf f
Posto si ha:
[ a , b ] [ a , b ] [ a , b ]
f ( x ) dx 0
f f ( x ) 0
X x [ a , b ] | f ( x )
5) integrabile in [a,b], in [ a , b ]
f ( x ) dx 0
c [ a , b ] : f ( c ) 0 f
Se , continua in c [ a , b ]
CRITERIO DI INTEGRABILITA’
f , g : [ a , b ] R
Siano
f (x) continua oppure generalmente continua e integrabile
g (x ) generalmente continua.
0 g ( x ) f ( x )
x x [ a , b ] | f ( x ), g ( x )
g
Allora è integrabile.
f
DEF. gen. continua in [a,b] si dice Assolutamente integrabile se ha | f ( x ) | dx
significato numerico [ a , b ]
Corollario 1 (del criterio di integrabilità)
f f
assolutamente integrabile integrabile
| f ( x ) | f ( x )
f ( x ) parte positiva
2
| f ( x ) | f ( x )
f ( x ) parte negativa
2
f ( x ) f ( x ) f ( x )
0 f ( x ) | f ( x ) | f f
+ -
ed sono integrabili per il criterio.
0 f ( x ) | f ( x ) |
f
Allora è integrabile perché differenza di funzioni integrabili per la propr. distributiva.
Ne segue:
f ( x ) dx | f ( x ) | dx
[ a , b ] [ a , b ]
f f
X x [ a , b ] | f ( x )
Corollario 2 limitata in è integrabile.
CRITERIO DI CONFRONTO CON LA FUNZIONE TEST
N {c
}
f gen. continua in [a,b] c[a,b]
f A
| f ( x ) |
x [ a , b ] \ {
c
}
0
,
1
1) Se e A>0 :
| x c |
f f
è assolutamente integrabile è integrabile.
A
| f ( x ) |
x [ a , b ] \ {
c
}
1
2) Se e A>0 :
| x c |
A
f non è integrabile (Altrimenti sarebbe integrabile per il criterio di integrabilità).
| x c |
f
X x [ a , b ] | f ( x )
:[a,b] R gen. continua
f ( x ) 0
x X
Supp.
2
R ( x , y ) R | x X ,
0 x f ( x ) rettangoloide.
f f
Teorema gen. continua in [a,b] il rettangoloide è sempre misurabile secondo Peano-Jordan
e la misura del rettangoloide è:
f ( x ) dx
..... f ... int egrabile
m ( R )
[ a , b ]
f
..........
..... f ...
non ... int egrabile
INTEGRALI IMPROPRI
[
f : [ c , R continua
F ( p ) f ( x ) dx
p>c [ c , p ]
[
F :]
c
, R
f ( x ) dx lim F ( p )
lim F ( p ) f
DEF. Se finito si dice Integrabile in [c,+[ e si pone
p
p
[ c , [
1
ES. [0,+[
2
1 x dx
F ( p ) arctg p arctg 0 arctg p
2
1 x
[ 0 , p ]
lim arctg p 2
p
dx
f è integrabile e .
2 2
1 x
[ 0 , [
1
ES. [0,+[
2
1 x
lim sett senh p
F ( p ) sett senh p
p
1 non è integrabile in [0,+[.
2
1 x
ES. [c,+[ c>0
1
f ( x ) 0
x
lim (log p log c )
F ( p ) log p log c
1
p
f non è integrabile
1 1
1 p 1 1
F ( p ) [ x ] p c
1 c
1 1
lim F ( p ) f
1
Se non è integrabile.
p
1
dx c
1
lim p 0
f
1
Se è integrabile e 1
p x
[ c , [
f :] , c ] R continua
F ( p ) f ( x ) dx
[ p , c ]
f ( x ) dx lim F ( p )
lim F ( p ) f
DEF. Se finito, si dice Integrabile in ]-,c] e si pone .
p
p
] , c ]
1 1
ES. integrabile solo per
| x | f
f : , R
DEF. continua; si dice integrabile in ]-,+[ se lo è in [-,0] e in [0,+[ e
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
in tal caso si pone .
] , [ ] , 0 ] [ 0 , [
( a , b ) [ c , [ ] , c ] ] , [
oppure oppure
kf ( x ) dx k f ( x ) dx
f f
integrabile k integrabile e
( a , b ) ( a , b )
( f ( x ) g ( x )) dx f ( x ) dx g ( x ) dx
f , g f g
integrabili è integrabile e
( a , b ) ( a , b ) ( a , b )
Queste ultime sono valide per la proprietà distributiva.
CRITERIO DI CONFRONTO CON LA FUNZIONE TEST
f : ( a , b ) R continua A
| f ( x ) |
x ( a , b ) f
1
1) Se , A>0 : è assolutamente integrabile
| x | f f
( | | è integrabile integrabile)
A
| f ( x ) |
]
0
,
1
] x ( a , b ) f
2) Se , A>0 : non è integrabile.
| x |
2
f : ( a , b ) [ 0
, [ R ( x , y ) R : x ( a , b ), 0 y f ( x )
continua ; rettangoloide.
f
R
f
Teorema è continua è sempre misurabile secondo Peano-Jordan e
f f ( x ) dx
.... se
... f .. int egrabile
mis ( R ) ( a , b )
f
..........
... se
... f ..
non .. int egrabile
1
f ( x )
ES. ]0,+[ x
Calcolare le misure di: 1
2
( x , y ) R : 0 x 1
,... 0 y
x
1
2
( x , y ) R : x 1
,... 0 y
x
FUNZIONI ELEMENTARI NEL CAMPO COMPLESSO
f : R C
ix xR
e cos x i sen x
i 2
e cos i sen i
2 2
i
e cos i sen 1
i
e 1 0
f : C C
z x iy
z C
z x iy x
e e e (cos y i sen y ) (Per definizione)
Se z=x=x+i0
x i 0 x x
e e (cos 0 i sen 0 ) e
z z z z
e e e
1 2 1 2
DIM. z z x x
e e e (cos y i sen y ) e (cos y i sen y )
1 2 1 2
1 1 2 2
x x z z
e (cos( y y ) i sen( y y )) e
1 2 1 2
1 2 1 2
z zC
e 0
z
e 1
x
e (cos y i sen y ) 1
(cos 0 i sen 0 )
x
e 1 .......... .... x 0
z 0 i 2 k
y 0 2 k ..... y 2 k
z
z 2 k i
e 1
ix
e cos x i sen x
ix
e cos x i sen x
Sommiamo membro a membro:
ix ix
e e
cos x
2 FORMULE DI EULERO
ix ix
e e
sen x
2 i
zC
iz iz
e e
DEF. sen z 2 i
iz iz
e e
cos z 2
sen z 0
iz iz
e e .......... .......... ...... z x iy
2 iz
e 1 .......... .......... .........
2 iz 2 y 2 ix
2 y
e (cos 2 x i sen 2 x ) 1
(cos 0 i sen 0 )
2 y
e 1 ..........
......... y 0
z k
2 x 0 2 k ..........
. x k
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Moses di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Scienze matematiche Prof.
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