Analisi matematica 1 - le serie numeriche

(1) convergente.



SERIE LOGARITMICA

n

 x



(1) xR

n

1

n 2

x x

  ...

1 2

I) x=0 converge e ha somma 0

II) x=1 serie armonica che diverge

III) x=-1 serie armonica alternata che converge

IV) x>0 è a termini positivi

Criterio del rapporto:



n 1

a x n n



n 1    

x x

n

 

a n 1 n 1

x

n

x > 1 (1) diverge



0 < x < 1 (1) converge



V) x < 0 n n

 

x | x |

 



i) -1 < x < 0 n n



n 1 1

n

è la serie logaritmica con |x|

0 < |x| < 1 Converge



quindi (1) è assolutamente convergente (1) converge.



ii) x < -1 non è assolutamente convergente

E’ alternante; Applichiamo il Teorema 3:



n n 1

| x | | x |



a a 





n n 1 

n n 1

 

n 1 n 1

 

1 | x |

|x| > 1 :

 N

n n

Applichiamo il Teorema 3 al resto di posto ;

segue che esso è oscillante.

Allora è oscillante la (1).

PROPRIETA’ ASSOCIATIVA DELLE SERIE



 a

(1) n

1

n

{n } n n <n

N nN

k nN k k k+1

Introduciamo:



 b

(2) n

1

n    

b a a ... a

1 1 2 n 1

   

b a a ... a

 

2 n 1 1 n 1 2 n 2

...   

b a ... a

 

k nk 1 1 nk

Teorema (1) è convergente (2) è convergente ed ha la stessa somma.



Dim. {s } è convergente per Ip.

n        

t b b ... b a ... a s {t } è estratta da {s } Ts.

 

k n

k 1 2 k 1 nk nk

Il viceversa non è vero in generale;

 

n 1

 

( 1

)

ES. 1-1+1-1+…



n 1 

s 1





2 n 1 (1) è oscillante.







s 0 

2 n

PRODOTTO SECONDO CAUCHY DI 2 SERIE



 a

(1) n

1

n



 b

(2) n

1

n 

 p

DEF. (3) si definisce prodotto secondo Cauchy delle serie (1) e (2)

n

1

n 

p a b

1 1 1

 

p a b a b

2 1 2 2 1

  

p a b a b a b

3 1 3 2 2 3 1

con ... n





p a b 

n k n k



k 1

Teorema 1 Se (1), (2) e (3) sono convergenti, allora dette rispettivamente s, t, p le loro somme si

ha: p = s t



Teorema 2 Se (1) e (2) sono assolutamente convergenti (3) è assolutamente convergente



(Quindi p = s t).



SERIE A TERMINI COMPLESSI

{z } z C nN

n nN n



 z

(1) s = somma parziale

n

n

1

n

Si danno le stesse definizioni viste per le serie a termini reali.

Una serie a termini complessi può essere convergente, infinitamente grande e non regolare.



 | z |

DEF. (1) si dice assolutamente convergente se è convergente. (|z | è il modulo R).

n

n

1

n

 

z a ib

n n n



 a

(2) 

n

n

1

n



 b

(3) 

n

n

1

n  

s a ib

Teorema (1) è convergente ed ha per somma il numero complesso 

(2) è convergente ed ha somma a e (3) è convergente ed ha somma b.

 

 

s i

E’ evidente che n n n

Teorema (1) è assolutamente convergente (2) e (3) sono assolutamente convergenti





| a | | z |



n n se (1) è assolutamente convergente lo sono anche (2) e (3) per confronto.







| b | | z | 

n n

N.B. |a | e |b | = valore assoluto

n n

|z | = modulo

n

 

| z | | a | | b | Se (2) e (3) sono assolut. conv. lo è anche la (1).



n n n

CRITERIO DI CAUCHY

CNS perché (1) sia convergente è che: 

   

z z ... z

: se n> e si ha

>0 N pN   

n 1 n 2 n p

Prodotti secondo Cauchy come nel caso reale.

SERIE ESPONENZIALE



n 1

 z



(1) zC



( n 1

)!



n 1 

n 1 

n 1

 

z | z |

 



Consideriamo converge perché |z|R (1) è assolut. conv.

 



( n 1

)! 

( n 1

)!



n 1 

n 1

è conv.

 zC.

SERIE GEOMETRICA

 

n 1

 z

(1) zC s n



n 1

|z|1 n



1 z



s n 

1 z 1



sn

|z| < 1  

1 z

n n

 

| z 1 | | z | 1

 

| s |

|z| > 1 |s | + (1) infinitamente grande

  

n

n  

| 1 z | | 1 z |



+

|z| = 1 n n

 

| 1 z | 1 | z | 2

  

| s |

n   

| 1 z | | 1 z | | 1 z |

n-1

|z|=1 z non tende a 0 la serie non è convergente.

 

La serie non è convergente, non è infinitamente grande perché |s | è limitato è oscillante.



n

INTEGRAZIONE PER RAZIONALIZZAZIONE

R ( y ) funzione razionale

4 x 2 x 4 2

   

e 3

e 1 y 3 y 1

x  x

R ( e ) es. e

2 x 2

 

5

e 6 5 y 6

x

R ( e )

x x x

    Derivata di e

I R ( e ) dx e dx

  x

e  

R ( y ) x x

   

R ( y ) I R ( e )

e dx R ( y ) dy

 

ES. 1 1 1 x

y 

y e

4 x 2 x 4 x 2 x 4 2

 

     

e 3

e 1 e 3

e 1 y 3 y 6

x

 

dx e dx dy

  

ES.  

2 x 3 x x 3

  

5

e 6 5

e 6 e 5 y 6 y

  x



y e

INTEGRAZIONE DEFINITA PER SOSTITUZIONE

  

f : ( , ) R

Ip. continua

    



: ( , ) ( , ) derivabile con derivata continua

 



a , b ( , )  

( c ) a

 



c , d ( , ) tale che  

( d ) b

b d  



f ( x ) dx f ( ( t )) ' ( t ) dt

 

Ts. a c f

Dim. Sia F una primitiva di



F ( b ) F ( a )

I membro =



F ( ( t )) è una primitiva della funzione integranda del II membro.

 

  

F ( ( d )) F ( ( c )) f ( b ) F ( a )

II membro = Ts.



INTEGRALI DI FUNZIONI GENERALMENTE CONTINUE

 

X R f : X R

f

DEF. si dice generalmente continua in X se ha un numero finito di punti di discontinuità.



N {punti di discontinuità di f}

f   

f : a , b R generalmente continua

 



N b

I) f  

F ( ) f ( x ) dx



  f



  

0

, b a che ha senso perché in [a,b-] è definita.





[ a , b ]

 

 

F : 0

, b a R 

f ( x ) dx



 

lim F ( ) lim F ( )

f

DEF. è integrabile in [a,b] se esiste finito, e in tal caso si pone

 

 

 

0 0

[ a , b ]

1  



N 1

ES. [0,1] f

2



1 x 1 dx

 perché non sappiamo se la funzione è integrabile.

2



1 x

[ 0 ,

1

] 1

 

F ( ) dx



ES. Calcolare per esercizio

2



1 x





[ 0 ,

1 ] 

  

sett tanh(

1 )

R. non è integrabile, R. f

Per non è integrabilità.

0

1  



N 1

ES. [0,1] f

2



1 x 1

 come prima

2



1 x

[ 0 ,

1

] 1

 

F ( ) dx



calcolare: R. è integrabile

2



1 x





[ 0 ,

1 ] 



arcsen(

1 )

R. 

1

 

dx



f

 

lim F ( ) è integrabile e

 2

2

 2 

1 x

  0 [ 0 ,

1

]

1

ES. >0





( b x )  



N b

I) [a,b] f

E’ integrabile in [a,b] solo se <1.

  



b

 

     

F ( ) log(

b x ) log log(

b a )

=1 a

  

lim F ( ) f non è integrabile.





  0 1 1

   





b

  

  

1 1 1

 

     

F ( ) ( b x ) ( b a )

1 a

 

 

1 1 1 1 



1





1  

dx ( b a )



 

lim 0 f

0<<1 è integrabile e

  



1



( b x )



  0 [ a , b ]

f

a>1 non è integrabile.

 



N a

II) f  

F ( ) f ( x ) dx



 



  

0

, b a 



[ a , b ]



 lim F ( ) f

Se ed è finito, si dice integrabile in [a,b], e si pone per definizione:



  0 



f ( x ) dx lim F ( )

 

  0

[ a , b ]

1



f ( x )

Funzione TEST: in [a,b] con è integrabile per

>0 ]0,1[.





( x a )



f ( x ) log x

ES. [0,1]

 



N 0

f  

1

   

      

F ( ) log xdx x log x x 1 log

 





[ 0 ,

1

]  

log xdx 1



  

lim F ( ) 1 f è integrabile e





  0 [ 0 ,

1

]

   



N c 

c a , b

III) f

f

DEF. si dice Integrabile in [a,b] se lo è in [a,c] e in [c,b]; in tal caso si pone:

 

f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

  

[ a , b ] [ a , c ] [ c , b ]

 



N a , b

IV) f   f



c a , b

DEF. Scelto , si dice che è integrabile in [a,b] se lo è in [a,c] e in [c,b] e in tal caso

si pone:  

f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

  

[ a , b ] [ a , c ] [ c , b ]

  f



c , c a , b

Siano ; supp. c <c ; Supp. integrabile con la scelta c=c

1 2 1

1 2 f

Ts. Dimostriamo che è integrabile con c=c e che gli integrali sono uguali.

2

 

f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

  

 

f a , c

Dim. in 2  

 

[ a , c ] [ a , c ] [ c , c ]

2 1 1 2

 

lim f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

  

  0 



[ a , c ] [ a , c ] [ c , c ]

2 1 1 2 c

 

 

b b

1

    

f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

   

f c , b

in =

2 



[ c , b ] c c c

2 2 2 1

 

f ( x ) dx f ( x ) dx

 

= 



[ c , c ] [ c , b ]

1 2 1

  

lim f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

  

  0 



[ c , b ] [ c , c ] [ c ,

b ]

2 1 2 1

Con la scelta c=c

2

     

f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

       =

[ a , b ] [ a , c ] [ c ,

b ] [ a , c ] [ c ,

c ] [ c ,

c ] [ c ,

b ]

2 2 1 1 2 1 2 2

 

f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

  

= con la scelta c=c

1

[ a , c ] [ c ,

b ] [ a ,

b ]

1 2

 



N c ,..., c , a , b

V) f 1 k eventualmente

con c ,c ,…,c c <c <…<c

]a,b[

1 2 k 1 2 k

f

DEF. si dice integrabile in [a,b] se lo è in [a,c ],[c ,c ],…,[c ,b]

1 1 2 k

E in tal caso si pone:   

f ( x ) dx f ( x ) dx ... f ( x ) dx

  

[ a , b ] [ a ,

c ] [ c ,

b ]

1 k

1) Proprietà additiva  

f 

c a , b

generalmente continua in [a,b]

f è integrabile in [a,b] lo è in [a,c] e in [c,b] e si ha:



 

f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

  

[ a , b ] [ a , c ] [ c , b ]

2) I Proprietà distributiva

f generalmente continua in [a,b] 

kf ( x ) dx k f ( x ) dx

 

f f

integrabile k è integrabile e

 [ a , b ] [ a , b ]

3) II Proprietà distributiva 

f ( x ) dx g ( x ) dx f ( x ) g ( x ) dx

  

, hanno significato numerico , che ha



[ a , b ] [ a , b ] [ a , b ]

  

f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx

  

significato numerico e [ a , b ] [ a , b ] [ a , b ]

4) Teorema della media  



f : [ a , b ] R   

X x [ a , b ] | f ( x )

generalmente continua, limitata in e integrabile in [a,b].

(Ipotesi superflua, come vedremo dopo).

   

m ( b a ) f ( x ) dx M ( b a )





M sup f



m inf f

Posto si ha:

[ a , b ] [ a , b ] [ a , b ] 

f ( x ) dx 0



 



f f ( x ) 0   

X x [ a , b ] | f ( x )

5) integrabile in [a,b], in  [ a , b ]



f ( x ) dx 0



  

c [ a , b ] : f ( c ) 0 f

Se , continua in c  [ a , b ]

CRITERIO DI INTEGRABILITA’



f , g : [ a , b ] R

Siano

f (x) continua oppure generalmente continua e integrabile

g (x ) generalmente continua.  

 

0 g ( x ) f ( x )    

x x [ a , b ] | f ( x ), g ( x )

g

Allora è integrabile.

f

DEF. gen. continua in [a,b] si dice Assolutamente integrabile se ha | f ( x ) | dx



significato numerico [ a , b ]

Corollario 1 (del criterio di integrabilità)

f f

assolutamente integrabile integrabile





| f ( x ) | f ( x )

 

f ( x ) parte positiva

2



| f ( x ) | f ( x )

 

f ( x ) parte negativa

2

 

 

f ( x ) f ( x ) f ( x )  

 

0 f ( x ) | f ( x ) | f f

+ -

ed sono integrabili per il criterio.





 

0 f ( x ) | f ( x ) |



f

Allora è integrabile perché differenza di funzioni integrabili per la propr. distributiva.

Ne segue: 

f ( x ) dx | f ( x ) | dx

 

[ a , b ] [ a , b ]  

f f

  

X x [ a , b ] | f ( x )

Corollario 2 limitata in è integrabile.



CRITERIO DI CONFRONTO CON LA FUNZIONE TEST



N {c

}

f gen. continua in [a,b] c[a,b]

f A

  

| f ( x ) |  

x [ a , b ] \ {

c

}



  0

,

1

1) Se e A>0 : 





| x c |

f f

è assolutamente integrabile è integrabile.

 

A



| f ( x ) |  

x [ a , b ] \ {

c

}



  1

2) Se e A>0 : 





| x c |

A

f non è integrabile (Altrimenti sarebbe integrabile per il criterio di integrabilità).





| x c |  

f   

X x [ a , b ] | f ( x )

:[a,b] R gen. continua

 

f ( x ) 0  

x X

Supp.  

2

    

R ( x , y ) R | x X ,

0 x f ( x ) rettangoloide.

f f

Teorema gen. continua in [a,b] il rettangoloide è sempre misurabile secondo Peano-Jordan



e la misura del rettangoloide è:

 f ( x ) dx

..... f ... int egrabile







m ( R ) 

[ a , b ]

f   

..........

..... f ...

non ... int egrabile

INTEGRALI IMPROPRI

[ 

f : [ c , R continua



F ( p ) f ( x ) dx



p>c [ c , p ]

[ 

F :]

c

, R 

f ( x ) dx lim F ( p )



 lim F ( p ) f

DEF. Se finito si dice Integrabile in [c,+[ e si pone  

p

 

p 

[ c , [

1

ES. [0,+[

2



1 x dx

   

F ( p ) arctg p arctg 0 arctg p

 2



1 x

[ 0 , p ] 



lim arctg p 2

 

p 

dx 



f è integrabile e .

2 2



1 x



[ 0 , [

1

ES. [0,+[

2



1 x  

lim sett senh p



F ( p ) sett senh p  

p

1 non è integrabile in [0,+[.

2



1 x

ES. [c,+[ c>0

1



f ( x )   0



x   

lim (log p log c )

 

F ( p ) log p log c

  1  

p

f non è integrabile

1 1  

  

  

1 p 1 1

   

F ( p ) [ x ] p c

  1 c

 

 

1 1

 

lim F ( p ) f

  1

Se non è integrabile.

 

p 



1

dx c





1 

lim p 0 



f

  1

Se è integrabile e    1

 

p x



[ c , [

  

f :] , c ] R continua



F ( p ) f ( x ) dx



[ p , c ] 

f ( x ) dx lim F ( p )



 lim F ( p ) f

DEF. Se finito, si dice Integrabile in ]-,c] e si pone .

 

p

 

p  

] , c ]

1   1

ES. integrabile solo per



| x |   f

   

f : , R

DEF. continua; si dice integrabile in ]-,+[ se lo è in [-,0] e in [0,+[ e

 

f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

  

in tal caso si pone .

     

] , [ ] , 0 ] [ 0 , [

      

( a , b ) [ c , [ ] , c ] ] , [

oppure oppure 

kf ( x ) dx k f ( x ) dx

 

f f

integrabile k integrabile e

 ( a , b ) ( a , b )

  

( f ( x ) g ( x )) dx f ( x ) dx g ( x ) dx

  



f , g f g

integrabili è integrabile e

 ( a , b ) ( a , b ) ( a , b )

Queste ultime sono valide per la proprietà distributiva.

CRITERIO DI CONFRONTO CON LA FUNZIONE TEST



f : ( a , b ) R continua A



| f ( x ) |  

x ( a , b ) f



  1

1) Se , A>0 : è assolutamente integrabile





| x | f f

( | | è integrabile integrabile)



A



| f ( x ) |



   

]

0

,

1

] x ( a , b ) f

2) Se , A>0 : non è integrabile.





| x |  

2

      

f : ( a , b ) [ 0

, [ R ( x , y ) R : x ( a , b ), 0 y f ( x )

continua ; rettangoloide.

f

R

f

Teorema è continua è sempre misurabile secondo Peano-Jordan e

 f  f ( x ) dx

.... se

... f .. int egrabile







mis ( R )  ( a , b )

f   

..........

... se

... f ..

non .. int egrabile

1



f ( x )

ES. ]0,+[ x

Calcolare le misure di: 1

 

2

    

( x , y ) R : 0 x 1

,... 0 y

 

x

 

1

 

2

   

( x , y ) R : x 1

,... 0 y

 

x

 

FUNZIONI ELEMENTARI NEL CAMPO COMPLESSO



f : R C

ix xR

 

e cos x i sen x

  

i 2   

e cos i sen i

2 2



i  

   

e cos i sen 1



i  

e 1 0



f : C C  

z x iy



z C 

z x iy x

   

e e e (cos y i sen y ) (Per definizione)

Se z=x=x+i0



x i 0 x x

  

e e (cos 0 i sen 0 ) e



z z z z

 

e e e

1 2 1 2

DIM. z z x x

     

e e e (cos y i sen y ) e (cos y i sen y )

1 2 1 2

1 1 2 2

 

x x z z

    

e (cos( y y ) i sen( y y )) e

1 2 1 2

1 2 1 2

z zC



e 0

z 

e 1

x   

e (cos y i sen y ) 1

(cos 0 i sen 0 )

x

   

e 1 .......... .... x 0 

  

  

z 0 i 2 k

 

 

 

   

y 0 2 k ..... y 2 k 

 z 



z 2 k i



e 1

ix  

e cos x i sen x

 ix  

e cos x i sen x

Sommiamo membro a membro:



ix ix 



e e



cos x 



2 FORMULE DI EULERO





ix ix



e e 



sen x 



2 i

zC 

iz iz



e e



DEF. sen z 2 i 

iz iz



e e



cos z 2



sen z 0



iz iz

  

e e .......... .......... ...... z x iy

2 iz    

e 1 .......... .......... .........

2 iz 2 y 2 ix

 2 y   

e (cos 2 x i sen 2 x ) 1

(cos 0 i sen 0 )

 2 y

 

 

e 1 ..........

......... y 0

 

 

z k

 

 

  

2 x 0 2 k ..........

. x k

 