Analisi matematica 1 - le serie numeriche

Analisi matematica I: Serie numeriche

Introduzione

{An} AnR nNnN  an(1)

Serie di termine generale

an = A1+A2+A3+…1n

Si pone s = a1 1 n aper n > 1 s = ridotta n-esima della serie

n kk 1 o somma parziale di posto n della serie

Definizione del carattere della serie

Il comportamento al limite della successione {s }.

n lim s s

Res. Serie convergente se n n

In tal caso s si chiama somma della serie  ans = 1n

Serie divergente a + Serie divergente a - Serie infinitamente grande Serie oscillante 1 1

Esempio: Serie di Mengoli

a = (1) n n ( n 1) n ( n 1)n 1n n1 1 1 1 1 1 1 1 1            ( ) 1 ... 1 1s = =n    k ( k 1) k ( k 1) 2 2 3 n n 1 n 1 k 1 k 1  1

Quindi (1) è convergente e 1 = . n ( n 1)n 1

Esempio: Serie geometrica

xR  n 1 xn-1 2a = x (1) 1+x+x +… serie geometrica di ragione xn n 1 n   1 nx=1 s =n k 1

Diverge a +.(1) n1 x2 n-1x1 sn = 1+x+x +…+x = 1 x 1n|x|<1 x 0 s (1) converge    n 1 x1 n 1 xe = .1 x n 1nx>1 x (1) diverge a + + 0

..... n.. parix=-1 s = (1) oscillante n 1..... n ..disparix<-1 s oscillante e infinitamente grande (1) osc.inf.gr. n 1 1 11     1 ...

Esempio: Serie armonica

a = (1) serie armonica n n 2 3n n 1

Tesi: (1) è divergente 1 1 n n 1     (1 ) (1 ) e...... n NDIM. n n 1 11 1  n   1 log e 1) e n  (1+ log(1+ ) < log e n lognN   nn n  n 1 1log nNn n 2 3 n 1   log log ... log s n1 2 n      log 2 log 1 log 3 log 2 ... log( n 1) log n s n log( n 1) sn  

Quindi s (1) diverge Ts.+  n 

Serie somma

An(1) s’ n1n bn(2) s’’n1n an bn(3) s Serie Somma di (1) e (2)n1n s = s’ + s’’n n n  an

In particolare se s’ = 1n  ( an bn )s’ + s’’ = n 1 bns’’= 1n an(1) s’ n1n R an(2) s = s’n n1n    an an

Serie resto

In particolare se s’n = = s’ n1 1n n an(1) Sia kN s n1n     an a a ... t(2) Serie resto di posto k (o resto k-esimo) della (1). k 1 k 2 n n k 1

Teorema: carattere della serie

Una serie e tutti i suoi resti hanno il medesimo carattere. Sia noto il carattere di (1).

            t a a ... a ( a ... a ) ( a ... a ) s s    n k 1 k 2 k n 1 k n 1 k k n k t s sn k n k{s } regolare {s } è regolare {t } regolare n k+n ns sR t s - s  n n kt è regolare n  s t sk n n kt è regolare s è regolare {s } è regolare perché è un’estratta n k+n n ottenuta sopprimendo i primi k termini.

Se t tR s t+ s s t+ s   n k+n k n kt(k) = Somma della serie resto di posto kt(k) = s - sklim t ( k ) 0 k

Riordinamento di una serie

Se una serie è convergente, la successione delle somme delle sue serie resto è infinitesima.

 a(1) j : N N Corrispondenza biunivocan1n b(2) dove b = an j(n)n1n j (1) 5 j ( 2 ) 8      a a a a ... Es.  5 8 1 4j ( 3) 1 j ( 4 ) 4 (2) si chiama riordinamento di (1).

Definizione delle proprietà commutative

Si dice che la serie (1) gode della proprietà commutativa se tutti i suoi riordinamenti hanno lo stesso carattere e in caso di convergenza la stessa somma.  a(1) n1n | a |(2) n1n

DEF. (1) è assolutamente convergente se (2) è convergente.  a(1) n1n b(2) n1n a b

DEF. Se si dice che la serie (1) è maggiorata dalla (2) (o la (1) è minorante o la (2) nN,n n è maggiorante). a b

Teorema: serie maggiorate

Se : si dice che la serie (1) è definitivamente maggiorata dalla N n > n n (2)  lim a 0 a

Teorema: Se la serie è convergente si ha che nn  n1n

Dim. s sn      ( s s ) ( s s ) 0 s s ama quindi  n 1 n n 1 n n 1  a 0 a 0 (perché a è ottenuta sopprimendo il 1° termine).n+1n 1 n

Questa condizione non è sufficiente; es. la serie armonica

Criterio di convergenza di Cauchy per le serie

 a(1) n1n

CNS affinché (1) sia convergente è che:    | a a ... a |: e si abbia (2)  > 0 N n >  p  N   n 1 n 2 n p

 aNec. Ip. s = n1n lim s sSi ha per il criterio di Cauchy sulle successionin  n in corrispondenza di : se n,m > ’ si ha |s -s | < (3)  ’N m n

Prendiamo la (2) con = ’. Scelto n > ’ e p  N applichiamo la (3) con n,n+p > ’; si ha: |s -s | < m n

         | a ... a ( a ... a ) | | a ... a | (2) Ts.   1 n p 1 n n 1 n p

Suff. Ts. : se n,m > ’ si ha |s -s | < > 0 ’N m n

Ip. (2); Applichiamo la (2) con lo stesso e dimostriamo la tesi con = ’ . Siano n.m > . Supponiamo m > n; poniamo p=m-n  | a ... a |Per la (2) si ha che  n 1 n p

Serie telescopiche

{a } a l Rn n            ( a a ) s ( a a a a ... a a ) ( a a ) a ln n 1  n 1 2 2 3 n n 1 1 n 1 1n 1

 ( a a )a l = n n 11 n 1 1a

Esempio: serie di Mengoli n n

Serie a termini non negativi

 a(1) a 0 nNnn1n   s s a s n 1 n n 1 n0 s sup s (1) regolare n nn NC

Criterio del confronto

 a(1) a 0nn1n nN b(2) b 0nn1n

Ts. a b  nNn n (1) divergente (2) divergente (2) convergente (1) convergente n n a b s = t =n nk k k 1 k 1

s t Ts. segue dal criterio del confronto per le successioni.  nN n n sup t

In particolare se (2) la somma t t t = nn n N   s t t s s t n n n n

Criterio del rapporto

 a(1) a >0 nNnn1n

a 1n  h

Ts. I) e : la (1) è convergente. h<1 N n> a na n 1  1

II) : la (1) è divergente. N n> a n a a

Dim. II) Per n>; per Ip. {a } non può convergere a 0  n1n n(1) non è convergente. a   2  h a haI)

   2 v 1a 1 2a ha a h a     3 2     a h a a ... a ha h a ... h a            k 1 2 k 1 1 1ha2 k 2   1     ha (1 h h ... h )

La serie resto converge (1) conv.     1 1 h 1 1 h

Criterio del rapporto in forma asintotica

 a(1) Ip. a >0 nNnn1n  a n 1 sia regolare.  a n a n 1  l 1

Ts. I) la (1) converge a na n 1  l 1

II) oppure a + la (1) diverge a n ]l ,1[

Dim. I) Sia h  a a n 1 n 1 h lim per n> <h Ts.  N: a a n n na n 11 lim a

II) per n> >1 Ts.  N: n n a na n 1

Se non si può dire niente. 1a n  a1 nn 1  1

Es. = la serie diverge an n 1 1n n  a n ( n 1) 1 n 1  1

  = la serie converge    ( n 1)( n 2 )an ( n 1) n 1 n

Criterio della radice

 a(1) a > 0 nNnn1n 1]0,1[

Ts. I) Se h e : per n> si ha h (1) converge  N  n( a )n1

II) Se : per n> si ha 1 (1) diverge  N  n( a )nn

Dim. I) n> a hn

La serie geometrica di ragione h<1 converge per il crit. del confronto la (1) conv. Ts. II) a 1 {a } non può convergere a 0 (1) diverge Ts.  n>   n n

Criterio della radice in forma asintotica

 a(1) a > 0 nNnn1n an regolare na ln

Ts. I) <1 (1) converge  nan l

II) >1 o + (1) diverge  n

Dimostrazione lasciata per esercizio. l

Se =1 non si può dire niente. a n 1 an

Se è regolare è regolare ed ha lo stesso limite; quindi se si può applicare il criterio  na n del rapporto in forma asintotica si può applicare anche quello della radice.

Esempio

In cui si può applicare il criterio della radice e non quello del rapporto  n( 1) n 2 x(1) n 1

Criterio del rapporto: n 1   ( 1 ) n 12 x 1 x.... n.. pari n( 1) n 42 x

a n 1 = a n 4 x......................n ..dispari

Non è regolare. Criterio della radice: n1 ( 1)n n ( a ) 2 x xnx>1 (1) divergex<1 (1) convergex=1 non si può applicare il criterio della radice asintotico però possiamo   1 1n( 1 )   