Analisi matematica 1 - le serie numeriche

SERIE A TERMINI COMPLESSI

{z } z ∈C ∀n∈Nn n∈N n∊∞∑ z(1) s = somma parziale n≥1 n

Si danno le stesse definizioni viste per le serie a termini reali. Una serie a termini complessi può essere convergente, infinitamente grande e non regolare.

∞∑ | z |

DEF. (1) si dice assolutamente convergente se è convergente. (|z | è il modulo ∈R).

n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 n≥1 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Anche la (1).→n n n

CRITERIO DI CAUCHY

Perché (1) sia convergente è che: ε+ + + <z z ... z: se n>ν e si ha ∀ε>0 ∃ν∈N ∀p∈N + + +n 1 n 2 n p

Prodotti secondo Cauchy come nel caso reale.

SERIE ESPONENZIALE

+n 1+∞ z∑(1) z∈C-( n 1)!=n 1 -n 1 -n 1+∞ +∞z | z |∑ ∑=

Consideriamo converge perché |z|∈R (1) è assolut. conv.⇒ ⇒-( n 1)! -( n 1)!=n 1 =n 1 è conv.⇒ ∀z∈C.

SERIE GEOMETRICA

+∞ -n 1∑ z(1) z∈C s n=n 1|z|≠1 n-1 z=s n -1 z 1→sn|z| < 1 ⇒ -1 zn n- -| z 1 | | z | 1= ≥| s ||z| > 1 |s |→ +∞ (1) infinitamente grande⇒ ⇒ ⇒nn - -| 1 z | | 1 z |←+∞|z| = 1 n n- +| 1 z | 1 | z | 2= ≤ =| s |n - - -| 1 z | | 1 z | | 1 z |n-1|z|=1 z non tende a 0 la serie non è convergente.⇒ ⇒La serie non è convergente, non è infinitamente grande perché |s | è limitato è

oscillante.

INTEGRAZIONE PER RAZIONALIZZAZIONER ( y ) funzione razionale

4 x 2 x 4 2   e 3e 1 y 3 y 1x  xR ( e ) es. e2 x 2 5e 6 5 y 6xR ( e )x x x    Derivata di eI R ( e ) dx e dx  xe  R ( y ) x x   R ( y ) I R ( e )e dx R ( y ) dy 

ES. 1 1 1 xy y e4 x 2 x 4 x 2 x 4 2      e 3e 1 e 3e 1 y 3 y 6x dx e dx dy  

ES.  2 x 3 x x 3  5e 6 5e 6 e 5 y 6 y  xy e

INTEGRAZIONE DEFINITA PER SOSTITUZIONE  f : ( , ) RIp. continua    : ( , ) ( , ) derivabile con derivata continua a , b ( , )  ( c ) a c , d ( , ) tale che  ( d ) bb d  f ( x ) dx f ( ( t )) ' ( t ) dt Ts. a c fDim. Sia F una primitiva diF ( b ) F ( a )I membro =F ( ( t )) è una primitiva della funzione integranda del II membro.   F ( ( d )) F ( ( c )) f ( b ) F ( a )II membro = Ts.INTEGRALI DI FUNZIONI

GENERALMENTE CONTINUE X R f : X RfDEF. si dice generalmente continua in X se ha un numero finito di punti di discontinuità.N {punti di discontinuità di f}f   f : a , b R generalmente continua N bI) f  F ( ) f ( x ) dx  f  0, b a che ha senso perché in [a,b-] è definita.[ a , b ]  F : 0, b a R f ( x ) dx lim F ( ) lim F ( )fDEF. è integrabile in [a,b] se esiste finito, e in tal caso si pone   0 0[ a , b ]1  N 1ES. [0,1] f21 x 1 dx perché non sappiamo se la funzione è integrabile.21 x[ 0 ,1] 1 F ( ) dxES. Calcolare per esercizio21 x[ 0 ,1 ]   sett tanh(1 )R. non è integrabile, R. fPer non è integrabilità.01  N 1ES. [0,1] f21 x 1 come prima21 x[ 0 ,1] 1 F ( ) dxcalcolare: R. è integrabile21 x[ 0 ,1 ] arcsen(1 )R.

π1π = ∫fε dx = lim F(ε) quando xε → 0 [0,1] 1ES. α>0 α-(βx) { } = N bI) [a,b] fE' integrabile in [a,b] solo se α<1.{ } -bε ε- = - + -F(ε) log(bx) log log(ba)α=1 aε = +∞ lim F(ε) f non è integrabile. →+ε quando x=1{ } -bα α α- -1 1ε ε- = - - = - -F(ε) (bx) (ba)α≠1 aα α- -1 1 1 1 α-1α-1 = -dx (ba)∫ε = lim 0 f0<α<1 è integrabile e α α-1- (bx)+ε quando x=a,bfa>1 non è integrabile.{ } = N aII) fε = F(ε) f(x) dx} {ε ∈ -0, ba ε+[a,b]ε' lim F(ε) fSe ed è finito, si dice integrabile in [a,b], e si pone per definizione:+ε quando ε=f(x) dx lim F(ε)∫ +ε quando x=0, ba 1=f(x)Funzione TEST: in [a,b] con è integrabile perα>0 α∈]0,1[.α- (x-a)=f(x) log xES.

= ∫_c^b f(x) dx + ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^c f(x) dx² + ∫_c^b f(x) dx²

= ∫_c^c f(x) dx² + ∫_c^b f(x) dx² - ∫_c^c f(x) dx + ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

Con la scelta c=c² = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^c f(x) dx² + ∫_c^b f(x) dx² + ∫_c^c f(x) dx + ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

= ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

= ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx + ∫_a^b f(x) dx

Con la scelta c=c₁ = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx + ∫_a^b f(x) dx

Si dice integrabile in [a,b] se lo è in [a,c₁],[c₁,c₁],...,[c₁,b]¹ 1 2 k

E in tal caso si pone: ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c₁ f(x) dx + ∫_c1^c₁ f(x) dx + ... + ∫_c1^b f(x) dx

1. Proprietà additiva:

   • f ∈ c[a, b]
   • generalmente continua in [a,b]
   • f è integrabile in [a,b] se e solo se è integrabile in [a,c] e in [c,b]
   • Si ha: ∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dx

2. Proprietà distributiva:

   • f generalmente continua in [a,b]
   • Se f è integrabile, allora kf è integrabile e si ha: ∫[a,b] kf(x) dx = k ∫[a,b] f(x) dx

3. Proprietà distributiva:

   • Se f e g sono generalmente continue in [a,b], allora f+g è generalmente continua in [a,b]
   • Se f e g sono integrabili, allora f+g è integrabile e si ha: ∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx

4. Teorema della media:

   • Se f: [a,b] → ℝ è generalmente continua, limitata e integrabile in [a,b], allora esiste almeno un X ∈ [a,b] tale che f(X) = ∫[a,b] f(x) dx