Analisi matematica 1 - numeri complessi

Numeri Complessi

Definizione: Si definisce complesso un numero la cui forma algebrica è la seguente:

z = a + i b

dove a e b ∈ ℝ e i è detta unità immaginaria definita come:

i = √−1 = 0² = -1

N.B.: "a" prende il nome di parte reale mentre "b" è la parte (o coefficiente) immaginaria e nel caso particolare in cui b=0 si ottiene il numero reale z=a. Del resto, l'insieme ℝ è contenuto nell'insieme C dei complessi, se si annulla a=0 lo si ha immaginario puro.

Definizione: Detti i numeri complessi z₁ = a₁ + i b₁, z₂ = a₂ + i b₂, si dice che z₁ e z₂ sono uguali, quando a₁ = a₂ e b₁ = b₂. In questi casi si definisce a₁ un uguale il coefficiente reale dell'altro e il coefficiente immaginario dell'uno è uguale a quello dell'altro.

Rappresentazione geometrica e operazioni elementari sui numeri complessi

Definizione: È sempre possibile scrivere un numero complesso come la coppia ordinata (a, b), con a e b punti del piano; in questo caso, è sempre possibile associare a un punto del piano il numero complesso (a, b) dotati numeri complessi, e punti sono detti in corrispondenza biunivoca.

Definizione: Il piano in cui sono rappresentati i numeri complessi è detto piano complesso o piano di Gauss e, tramite le line x, si detta asse reale e l'asse y, asse immaginario. Conjugate il punto (c, e) con il origine letterale e confrontate. Per il carattere condotto come immagine generazione del numero complesso z = a + ib.

Numeri Complessi

Definizione: Si definisce complesso un numero la cui forma algebrica è la seguente: z = a + ib

dove a e b ∈ ℝ e i è detta unità immaginaria definita come: i = √-1 = (0, 1)

N.B.: "a" prende il nome di parte reale mentre "b" è la parte (o coefficiente) immaginaria e nel caso particolare in cui b = 0, 2 = a risulta il numero reale z = (...)

L'insieme ℝ è contenuto nell'insieme C dei complessi: se in un a = 0 o b = 0 è immaginario puro.

Definizione: Dati i numeri complessi z₁ = a₁ + ib₁ e z₂ = a₂ + ib₂, si dice che z₁ = z₂ quando e solo quando è a₁ = a₂ e b₁ = b₂, in questo pure il coefficiente reale di uno è uguale al coefficiente reale dell'altro ed il coefficiente immaginario dell'uno è uguale a quello dell'altro.

Rappresentazione Geometrica e Operazioni Elementari sui Numeri Complessi

Definizione: È sempre possibile scrivere un numero complesso come la coppia ordinata (a, b) con a e b punti del piano, in quanto è sempre possibile associare a un punto del piano il numero complesso (...)

Definizione: Il piano in cui sono rappresentati i numeri complessi è detto piano complesso o piano di Gauss e implica un'asse x detto asse reale e l'asse y asse immaginario.

L'origine delle coordinate p (a, b) con origine di coordinate O coincide con l'immagine geometrica del numero complesso z = a + ib.

Definizione

Si definisce quale MODULO del NUMERO COMPLESSO, il numero reale positivo, calcolato come prodotto del triangolo rettangolo OPH:

|z| = √(a₁²+b₁²)

Somma

Detti z₁ = a₁ + ib₁ e z₂ = a₂ + ib₂, la loro somma z₁+z₂ è così definita:

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i(b₁ + b₂)

Differenza

Detti z₁ = a₁ + ib₁ e z₂ = a₂ + ib₂, la loro differenza z₁-z₂ è così definita:

z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + i (b₁ - b₂)

Prodotto

Detti z₁ = a₁ + ib₁ e z₂ = a₂ + ib₂ il loro prodotto z₁z₂ è così definito:

z₁ z₂ = (a₁c-b₁d) + i (a₁d + b₁c)

segue (a+ib)(c+id) con ac+ib

a c-ib-c

Quoziente

Detti z₁ = a+ib e z₂ = c+id la loro quoziente z₁z₂ è così definito:

z₁ / z₂ = a+ib / c+id = a+ib / (c-id) = (a+ib)(c-id) / (c-id)(c-id)

Definizione

Detti z = a+ib si dice CONIUGATO di z il numero complesso con il coefficiente immaginario cambiato di segno:

z̅ = a-ib

valgono le seguenti proprietà per il CONIUGATO:

1. z ⋅ z̅ = |z|²
2. (a+ib)(a-ib) = a² + b² = |z|²
3. z₁ ⋅ z₂ = z̅₁ ⋅ z̅₂
4. z₁ / z̅₂ = z̅₁ / z̅₂

Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi

Definizione: Si ha la forma trigonometrica quando un numero complesso è rappresentato tramite le coordinate polari:

• Modulo: r = |z| = √(a²+b²)
• Argomento: arg z = α
• z = a + ib = r (cos α + i sin α)

Con α detto argomento

Moltiplicazione

Detti z₁ = k₁[cos(φ₁) + i sin(φ₁)] e z₂ = k₂[cos(φ₂) + i sin(φ₂)], si ha che:

• z₁ · z₂ = k₁k₂[cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)]

Divisione

In modo analogo si dimostra che il quoziente z₁ e z₂ è dato da:

• │z₁│ / │z₂│ = [cos(φ₁ - φ₂) + i sin(φ₁ - φ₂)]

Scrittura in Forma Algebrica e Trigonometrica

Esempio 1. Dato z = (-4,-3), scriverlo in forma algebrica:

• z = (-4+3i) (2π)
• z = [13 / 25] + [23/25]i

Esempio 2. Dato z = √3 - &sqrt;3, scriverlo in forma trigonometrica:

• z = [2 (cos(-π/2)+i sin(-π/2))]

POTENZE INTERE E RADICI N-ESIME

Definizione: Data un numero complesso a un potenza avente esponente n puó calcolarsi la formaesponenziale con la FORMULA DI DE MOIVRE:

Z^m = r^m(cos mθ + i sin mθ)

Calcolare la potenza DECIMA di Z = (1/4 - i/2)

v = √(1/4)² + (-1/2)² = √1/4 1/4 + 1/4 = √1/2 = 1/2α = tan^-1 (-1/4) / (1/4) = tan^-1 (-2) = ... (omitted for brevity)

Z = 1/2 ( cos 3π/4 + i sin 3π/4) ¹⁰ = 1/32 ( cos 15π/4 + i sin 15π/4)= 1/32 (0, -1) = -i/32

Definizione: Si definisce RADICE N-ESIMA di un numero complesso quel numero complesso W la cui potenzan-esima è uguale al numero dato e il numero delle radici n-è pari a kla unità.

vⁿ = v ed ... (omitted for brevity) il numero complesso...

W_k = n√_v ( cos α/n + 2kπ/n + i sin α/n + 2kπ/n )

... (additional steps and formulas omitted for brevity)

E.g. Calcolare la radice quinta di -8 (√₅ -8)

v = 8 α = π + tan^-1 ( ... omitted for brevity...)

... k=0 to k=4 evaluations omitted for brevity...

E₃

i⁴

• k=1
• 10/3

W₀ = cos 0 + i*sin 0 = 1

W₁ = cos 2π/3 + i*sin 2π/3 = -1/2 + √3/2 i

W₂ = cos 4π/3 + i*sin 4π/3 = -1/2 - √3/2 i

W₃ = cos 2π + i*sin 2π = 1

N.B. ABC è un triangolo equilatero

E₄

J^1/3i

• k=-1

W₀ = cos π/3 + i*sin π/3 = 1/2 + √3/2 i

W₁ = cos 3π/3 + i*sin 3π/3 = -1

W₂ = cos 5π/3 + i*sin 5π/3 = 1/2 - √3/2 i

Potenze intere di i:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1
• i⁵ = i

Esaminando i 4 valori che si ripetono in modo ciclico sono: i, -1, -i, 1

La regola generale consiste nel dividere la potenza data di i per 4, poi scegliere uno dei 4 casi.

Calcoli:

i³⁷³ = i¹ = i

i^-101 = -i

i^-9 = i

i⁵ = i

i⁴¹⁵² = 1

Esercizio:

Det z=1, ω=2 + 2i; Calc (z-ω)⁵; (-4i)⁶

LUOGO DI PUNTI NEL PIANO COMPLESSO

Definizione: Un luogo geometrico di punti è l'insieme dei punti aventi una determinata proprietà. Pertanto in un'equazione in campo complesso è possibile determinare uno

E₁: |z-2| = 1_|z+1|

Nel piano numeri complessi z, detto da z abbo e la razoi z=x+yi, la lei:

     |x-y+2| = 2 |x+2| => x² = x+4 y+4 = 2 |x+2| y = 4i x=4i 16 = 4y = 6y

    => 3x² + 3y² + 20x + 12 = 0 => (x²) = 3y² + 20x + 4 = 0 => (x+¹⁰/₃) ² + (y²) +¹/2₃-4 = 0 =>

    ( (x+ ¹⁰/₃) ² + +¹/₃-4 ) ² = ³₉

 - Il luogo termidico è una CIRCONFERENZA di CENTRO C( -¹⁰₃) e raggio r = ⁸₃

NUMERI COMPLESSI CON PARAMETRI

E₃: z = 2+ (a+1), per quali α r è real? E per quali α è un immaginario PURO?

Proles - (-1+1) - 2i ; -> 2i (-1+i) ² r    medi

  => 2 ( α+1 ) z ( α+1 ) ; z( α+1 )

 y; check, deturu

  ( α+1 ) ² + x = α ^! reazione x = -1

-> se (Σ) (α) -8   IMMAGINARIO PURO

          ² a+1

Immaginario Puro

E₅ : Det [ z = ( Λ + i d ) ]

prove cha NON e IMM. PURO. V_xER e come

   ( α+1 ) z ( α+1 ) ; z( α+1 ))

   ( α⁺¹ ) ² y

-> se α²zⁱ = 0;

 ( α2+ 3). ¹⁰ x re nonABCDEFGHIJ

  = REALE

E₅

Provare che sia il numero complesso che è che non possa non è la BISSETRICE una IMMAGINARI PURI,