Analisi matematica 1 - numeri complessi

Numeri Complessi

Definizione: Si definisce COMPLESSO un numero la cui FORMA ALGEBRICA è la seguente:

z = a + i · b

dove a e b ∈ ℝ e i è detta UNITÀ IMMAGINARIA definita come:

i = √-1 → i²= -1

N.B.: "a" prende il nome di PARTE REALE mentre "i·b" è la PARTE (o COEFFICIENTE) IMMAGINARIA. Nei caso particolare in cui b = 0 z assume valore del numero reale z=a. Della l'insieme ℝ è contenuto nell'insieme ℂ dei complessi; in essenza z # 0 ho un IMMAGINARIO PURO.

Definizione: Dati i numeri complessi z₁ = a₁ + i·b₁ e z₂ = a₂ + i·b₂ si ha che z₁ = z₂ se e solo se due numeri complessi sono uguali se e solo se a₁ = a₂ b₁ = b₂ vale a dire il coefficiente della parte reale e uguale al coefficiente reale dell'altra il coefficiente immaginario dell'uno è uguale a quello dell'altro z₁ = z₂.

Rappresentazione Geometrica e Operazioni Elementari sui Numeri Complessi

Definizione: È sempre possibile scrivere un numero complesso come la coppia ordinata (a, b) con (a, b) ∈ ℝ² In questo del piano è ricavare è sempre possibile esistere e in punto del piano il numero complesso (a, b) Pertanto i numeri complessi e due punti sono detti in CORRISPONDENZA BIUNIVOCA.

Definizione: IR pian nel in cui un rappresentati y numeri complessi è detto PIANO COMPLESSO o PIANO DI GAUSS si punteggio l'asse x detta ASSE REALE è 2^° asse y ASSE IMMAGINARIO (congiungente il punto (a, b) all'origine di ottenere il rettangolo) la circonferenza come rimmagine geometrica del numero complesso z = a + i b

a → ℂ ^i·b

Definizione:

Si definisce quindi MODULO del NUMERO COMPLESSO il numero reale positivo ottenuto come prodotto del triangolo rettangolo OPI:

|Z| = √(a² + b²)

Somma

Detti Z₁ = a₁ + i b₁ e Z₂ = a₂ + i b₂, la loro somma Z₁ + Z₂ è così definita:

Z₁ + Z₂ = (a₁ + a₂) + i (b₁ + b₂)

Differenza

Detti Z₁ = a₁ + i b₁ e Z₂ = a₂ + i b₂, la loro differenza Z₁ - Z₂ è così definita:

Z₁ - Z₂ = (a₁ - a₂) + i (b₁ - b₂)

Prodotto

Detti Z₁ = a₁ + i b₁ e Z₂ = a₂ + i b₂, il loro prodotto Z₁ * Z₂ è così definito:

Z₁ * Z₂ = (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) + i (a₁ * b₂ + b₁ * a₂)

Quoziente

Detti Z₁ = a₁ + i b₁ e Z₂ = c + i d, il loro quoziente Z₁ / Z₂ è così definito:

Z₁ / Z₂ = (a₁ + i b₁) / (c + i d) = ((a₁ + i b₁) (c - i d)) / ((c + i d) (c - i d)) = ((a₁ * c + b₁ * d) + i (b₁ * c - a₁ * d)) / (c² + d²)

avendo posto (c + id)(c - id) = c² + d²

(diagram with note on imaginary part)

Definizione:

Detto Z = a + i b, si dice CONIUGATO di Z il numero complesso con il coefficiente immaginario cambiato di segno:

Z̄ = a - i b

N.B.

Vale per il PIANO di GAUSS Z e il simmetrico del Z̄ rispetto all'asse delle ascisse.

Valgono le seguenti proprietà per il coniugato:

1. Z * Z̄ = |Z|²
2. ZZ̄ = a² - (i b) (i - b) = a² + b² = |Z|²
3. Z / Z̄ wⁿ = Z̄₁ * Z̄₂ / Z̄₁
4. Zⁿ = Z̄ⁿ

LUOGO DI PUNTI NEL PIANO COMPLESSO

Definizione: Un luogo geometrico di punti è l’insieme dei punti aventi una determinata proprietà tradotta in equazione in campo complesso e permette determinare univ.

E₁: |z-2| = 2 |z-2| = 2

Poniamo il generico numero complesso z = x + iy = a + ib: mag di z-x + iy come si ha: |x-2 + iy| = | x-2 + y | = √((x-2)² + y²)^2 = 2 → (x-2) ² + y² = 2² = 4

3x² + 3y² + 20x + 12 = 0 → 3x² + 3y² + 20x + 12 = 0

( x + (10)/(3))² + y² = (64)/(9)

IR loro tento è una CIRCONFERENZA di CENTRO C((-10)/(3); 0) e raggio r = (8)/(3)

NUMERI COMPLESSI CON PARAMETRI

E₂: z = (z+1 + i) / (z-1 - i)

Poniamo (-1 + i) → - 2i → (-1-i)² : 4 → (-1-i) : 8 : (-1-i)

2z- (x+1) : (x+1) + ( z-1 : z+ ) - 1)

 8(z+1 ^{8i 0i}) / 8(z-1)(z+1 /2 ⁱ)

=  (16i ⁸ⁱ) / 16i ^(z-i) (zⁱⁱ⁾⁾⁾

5e_{(x+1)(n - 1n) : 5^d}

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= 5e(k-m) : 10 : fix(0,1n-1)

(a x+ - ≤ (z+2x

2(mn) (1)(z - x) return 0.1

— z≤d – IMMAGUARIO PURO

- REALE

c₃: Dà z = z + (i + _d + i)

rompe che NON è IM. PURO VAC c_E je ktopu qs piu’ò è REALE.

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