Analisi matematica 1 - Note ed esercizi svolti su Successioni e serie numeriche

N N

X X 1

n 1

S = = −

N (n + 1)! n! (n + 1)!

n=1 n=1

µ ¶ µ ¶ µ ¶

1 1 1 1 1

= 1 − + − + − + ...

2! 2! 3! 3! 4!

µ ¶ µ ¶

1 1 1 1

... + − + −

(N − 1)! N ! N ! (N + 1)!

1

=1 − (N + 1)!

e quindi ∞

X n

lim S = 1 =⇒ = 1.

N (n + 1)!

N →+∞ n=1

32

(2) Sia a = 1/[n(n + 3)] il termine generale della serie. Allora

n 1 = 0.

lim n(n + 3)

n→+∞

Inoltre 1 1

∼ ,

2

n(n + 3) n

per cui la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Possiamo scrivere

A B An + Bn + 3A

1 = + =

n(n + 3) n n +3 n(n + 3)

da cui 1 1

A + B = 0, 3A = 1 =⇒ A = , B = − ,

3 3

e quindi µ ¶

1 1 1 1

= − .

n(n + 3) 3 n n +3

Ne segue che µ ¶

N

N X

X 1 1 1

1

S = = −

N n(n + 3) 3 n n + 3

n=1

n=1

½µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

= 1 − + − + − + − + − + ...

3 4 2 5 3 6 4 7 5 8

µ ¶ µ ¶ µ ¶

1 1 1 1 1 1

... + − + − + −

N − 4 N − 1 N − 3 N N − 2 N +1

µ ¶ µ ¶¾

1 1 1 1

+ − + −

N − 1 N +2 N N +3

½ ¾

1 1 1 1 1 1

= 1+ + − − −

3 2 3 N +1 N +2 N +3

e quindi µ ¶ ∞

X

1 1 1 11 11

1

lim S = 1+ + = =⇒ = .

N 3 2 3 18 n(n + 3) 18

N →+∞ n=1

(3) Poiché 2n + 1 2n

lim = lim = 0,

2 2 2 2

n (n + 1) n · n

n→+∞ n→+∞

e che 2n + 1 2n 2

∼ = ,

2 2 2 2 3

n (n + 1) n · n n

la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Osserviamo che

2 2 2 2

(n + 1) = n + 2n + 1 =⇒ 2n + 1 = (n + 1) − n ,

33

per cui 2 2 2 2

2n + 1 (n + 1) − n (n + 1) n 1 1

= = − = − .

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n (n + 1) n (n + 1) n (n + 1) n (n + 1) n (n + 1)

Ne segue che, essendo la serie telescopica, ¶

µ

N N

X X

2n + 1 1

1

S = = −

N 2 2 2 2

n (n + 1) n (n + 1)

n=1 n=1

µ ¶ µ ¶ µ ¶

1 1 1

1 1

= 1 − + − + − + ...

4 4 9 9 16

µ ¶ µ ¶

1 1 1 1

... + − + −

2 2 2 2

(N − 1) N N (N + 1)

1

=1 − 2

(N + 1)

da cui ∞

X 2n + 1

lim S = 1 =⇒ = 1.

N 2 2

n (n + 1)

N →+∞ n=1

(4) Osserviamo che 1 1

∼ ,

2 2

4n − 1 4n

e quindi la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Inoltre

1 A B 2n(A + B) + A − B

= + = ,

2 2

4n − 1 2n − 1 2n + 1 4n − 1

da cui 1 1

A + B = 0, A − B = 1 =⇒ A = , B = − ,

2 2

e quindi µ ¶

1 1 1 1

= − .

2

4n − 1 2 2n − 1 2n + 1

Ne segue che, essendo la serie telescopica ¶

µ

N N

X X

1 1 1

1

=

S = −

N 2

4n − 1 2 2n − 1 2n + 1

n=1 n=1

½µ ¶ µ ¶ µ ¶

1 1 1 1 1

1 1 − + − + − + ...

= 2 3 3 5 5 7

µ ¶ µ ¶¾

1 1 1 1

... + − + −

2N − 3 2N − 1 2N − 1 2N + 1

µ ¶

1 1

= 1 −

2 2N + 1

da cui ∞

X 1 1

1 =⇒ = .

lim S =

N 2

2 4n − 1 2

N →+∞ n=1

34

(5) Osserviamo che

√ √

√ √

1 1 n +1 − n n +1+ n n +1 − n

√ √ √ √ √ √

− = · = =

√ √ √ √

n n +1 n n +1 n +1+ n n n + 1( n + 1 + n)

n +1 − n 1 1

√ √ √ √ √

= ∼ = ,

√

√ 3/2

n n · 2 n 2n

n n + 1( n + 1 + n)

per cui la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Ora la serie si

presenta già in forma telescopica, per cui

¶

µ

N

X 1

1

√ √

S = −

N n n +1

n=1

µ ¶ µ ¶ µ ¶

1 1 1 1 1

√ √ √ √ √

= 1 − + − + − + ...

2 2 3 3 4

¶ µ ¶

µ 1 1 1 1

√ √ √ √

... + − + −

N − 1 N +1

N N

1

√

=1 − N +1

e quindi µ ¶

∞

X 1 1

√ √

lim S = 1 =⇒ − = 1.

N n n +1

N →+∞ n=1

(6) Indichiamo con a = 1/[n(n + 1)(n + 2)] il termine generale. Poiché

n 1 1

a ∼ = ,

n 3

n · n · n n

la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Abbiamo poi

A B C A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1)

a = + + = ,

n n n +1 n +2 n(n + 1)(n + 2)

da cui 2

(A + B + C)n + (3A + 2B + C)n + 2A

a = ,

n n(n + 1)(n + 2)

e quindi 1

1 , B = −1, C = .

A + B + C = 0, 3A + 2B + C = 0, 2A = 1 =⇒ A = 2 2

Ne segue che µ ¶

1 1 2 1

a = − + .

n 2 n n +1 n +2

35

1

Si ha allora µ ¶

N N

X X

1 1 1 2 1

S = = − +

N n(n + 1)(n + 2) 2 n n + 1 n + 2

n=1 n=1

½µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶

1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1

= 1 − + + − + + − + + − + + ...

2 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6

¶ µ ¶

µ 2 1 2 1

1

1 − + + − +

... + N − 3 N − 2 N − 1 N − 2 N − 1 N

µ ¶ µ ¶¾

2 1 2 1

1 1

+ − + + − +

N − 1 N N +1 N N +1 N +2

µ ¶

2 1

1 1

= − +

2 2 N +1 N +2

e quindi ∞

X 1

1 1

lim S = =⇒ = .

N 4 n(n + 1)(n + 2) 4

N →+∞ n=1 2

Esercizio 8 Determinare il carattere delle seguenti serie µ ¶

∞ ∞ ∞

X X X

1 log n n +1

(1) , (2) , (3) log ,

4 2

log(1 + n) n n

n=2 n=1 n=1

√

√

∞ ∞ ∞

X X X

n +2 − n − 2 1 1

√ √ ,

(4) , (5) log , (6) log

n n 3

n

n=2 n=1 n=1

∞ ∞

∞

X X

X

1 1 2n

(7) , (9) 3 · cos(nπ),

, (8)

log n log(n!)

2 2

n=1 n=1

n=1

∞ ∞ ∞

X X X

2

n 43

3 n 1

µ ¶

(10) , (11) , (12) ,

n n

(n!) 6 4n

n=1 n=1 n=1 3n

µ ¶

∞ ∞ ∞

X X X n

2 1 1

µ ¶ √

(13) , (14) , (15) ,

n +2

log n

3n + 2 n

n=1 n=2 n=1

3n

1 Possiamo calcolare la somma con le proprietà delle sommatorie. Infatti si ha

( )

µ ¶ N N

N N X X

X X 1 1

1 1 2 1 1

1

S = − + − 2 +

=

N 2 n n +1 n +2 2 n n + 1 n + 2

n=1 n=1

n=1 n=1

( )

N +1 N +2

N X X

X 1 1

1 1

= − 2 +

2 n n n

n=2 n=3

n=1

( )

N N

N X X

X 1 1

1 1 1 1 1 1

1 +1+ − 2 − 2 · − 2 + + +

= 2 n 2 n 2 N + 1 n N +1 N +2

n=3 n=3

n=3

½ ¾ µ ¶

1 1 1 1 1 1 1

1 1

= − 1 − 2 + + − +

1+ = .

2 2 N +1 N +1 N +2 2 2 N +1 N +2

36

µ ¶ µ ¶

2 2

∞ ∞ ∞

X X X

n n n

1 n

n +2 n − 2

n

(16) , (17) 3 , (18) ,

n

5 n n (2n)!

n=1 n=1 n=1

r

∞ ∞

X X 1

n+

4 n n

µ ¶

n 1 + .

(19) , (20) n

3

n 1

n +

n=1 n=1 n

−1

Soluzione. (1) Sia a = [log(n + 1)] > 0. Allora la serie converge o di-

n

verge positivamente. Essendo lim a = 0 non possiamo concludere niente sul

n

n→+∞

carattere. Tuttavia 1

n ≥ 2 =⇒ n + 1 ≥ 3 =⇒ log(n + 1) < n + 1 =⇒ a > .

n n +1

Ne segue che ∞ ∞ ∞ ∞

X X X X

1 1 1 1 1

> = = − 1 − ,

log(1 + n) 1 + n n n 2

n=2 n=2 n=3 n=1

che diverge, essendo l’ultima la serie armonica. Quindi la serie diverge per

confronto. 4

(2) Sia a = (log n)/n ≥ 0. Allora la serie converge o diverge positivamente.

n

Essendo lim a = 0 non possiamo concludere niente sul carattere. Tuttavia,

n

n→+∞

avendosi log n < n per ogni n ≥ 1, si ha pure

log n n 1

< = ,

4 4 3

n n n

per cui ∞ ∞

X X

log n 1

< ,

4 3

n n

n=1 n=1

ed essendo l’ultima serie convergente (serie armonica generalizzata con espo-

nente α = 3), la serie data converge per il criterio del confronto.

¡ ¢

n+1

(3) Sia a = log . Poiché, se n ≥ 2,

n 2

n 1 1 1 1 3

n +1 = + ≤ + = < 1,

2 2

n n n 2 4 4

allora µ ¶

n +1

log < 0, ∀ n ≥ 2,

2

n

per cui la serie converge o diverge negativamente. Essendo

n 1

lim a = lim log = lim log = lim (− log n) = −∞,

n 2

n n

n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞

la serie diverge negativamente. 37

√ √

n+2− n−2

(4) Sia a = . Possiamo scrivere

n n

√ √ √ √

n +2 − n − 2 n +2+ n − 2

√ √

a = · =

n n n +2+ n − 2

n +2 − n +2 4

¡√ ¢ ¡√ ¢

√ √

= > 0,

= n n +2+ n − 2 n n +2+ n − 2

e quindi la serie converge o diverge positivamente. Essendo lim a = 0 non

n

n→+∞

possiamo concludere niente sul carattere. Tuttavia, per quanto abbiamo scritto

sopra si ha 4 2

√

a ∼ = ,

n 3/2

n · 2 n n

e quindi la serie converge per il criterio del confronto asintotico essendo asintot-

ica alla serie armonica generalizzata di esponente α = 3/2.

(5) Abbiamo 1 1

−1/2

√

a = log = log n = − · log n ≤ 0, ∀ n ≥ 1,

n 2

n

per cui la serie converge o diverge negativamente. Essendo lim a = −∞, la

n

n→+∞

serie diverge negativamente.

(6) Abbiamo 1