Analisi matematica 1 - Note ed esercizi svolti su Successioni e serie numeriche

Capitolo 2

Successioni e serie

numeriche

2.1 Successioni numeriche

2.1.1 Limiti Notevoli

Diamo un elenco dei principali limiti notevoli di successioni.

√ a = 1, a ∈ R, a > 0. (2.1)

lim n

n→+∞  0 0 < |a| < 1















 1 a =1



n

lim a = (2.2)



n→+∞  +∞ a> 1













 @ a ≤ −1

√

n α

lim n = 1, α ∈ R. (2.3)

n→+∞  +∞ 0 <a ≤ 1











n @ −1 ≤ a < 0

=

lim (2.4)



n

a

n→+∞ 





 0 |a| > 1

 0 −1 ≤ a ≤ 1











n

a +∞ a> 1

=

lim (2.5)



α

n

n→+∞ 





 @ a < −1

n

a = 0, a ∈ R.

lim (2.6)

n!

n→+∞ 25

√

n

lim n! = +∞. (2.7)

n→+∞ n!

lim (2.8)

= 0.

n

n

n→+∞

β

(log n) = 0, α, β ∈ R.

lim (2.9)

α

n

n→+∞

α β

n (log n)

lim (2.10)

= 0, a > 1, α, β ∈ R.

n

a

n→+∞

2.1.2 Tabella operativa dei limiti

Indichiamo con a > 0, b > 0 due numeri reali positivi. Nel calcolo dei limiti, si

presentano spesso operazioni da svolgere utilizzando valori finiti e valori infiniti.

Sebbene non sia effettivamente possibile definire i concetti di somma e prodotto

(e altre operazioni elementari) tra tali grandezze, è comunque possibile darne

una definizione “ad hoc”in relazione ai teoremi sui limiti. Valgono allora le

seguenti regole (I indica che ci troviamo di fronte ad una forma indeterminata):

Addizione + a −a 0 +∞ −∞

b a + b −a + b b +∞ −∞

−b a − b −a − b −b +∞ −∞ (2.11)

0 a −a 0 +∞ −∞

+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ I

−∞ −∞ −∞ −∞ I −∞

Moltiplicazione + −

· a −a 0 0 +∞ −∞

+ −

b ab −ab 0 0 +∞ −∞

− +

−b −ab ab 0 0 −∞ +∞ (2.12)

+ + − + −

0 0 0 0 0 I I

− − + − +

0 0 0 0 0 I I

+∞ +∞ −∞ I I +∞ −∞

−∞ −∞ +∞ I I −∞ +∞

26

Quoziente

Sulla prima riga i numeratori, sulla prima colonna i denominatori.

+ −

÷ a −a 0 0 +∞ −∞

+ −

b a/b −a/b 0 0 +∞ −∞

− +

−b −a/b a/b 0 0 −∞ +∞ (2.13)

+

0 +∞ −∞ I I +∞ −∞

−

0 −∞ +∞ I I −∞ +∞

+ − + −

+∞ 0 0 0 0 I I

− + − +

−∞ 0 0 0 0 I I

Potenze

Sulla prima riga le basi, sulla prima colonna gli esponenti.

+

a> 1 0 <a< 1 1 0 +∞

b b +

b a a 1 0 +∞

b b +

−b 1/a 1/a 1 +∞ 0 (2.14)

0 1 1 1 I I

+ +

+∞ +∞ 0 I 0 +∞

+ +

−∞ 0 +∞ I +∞ 0

2.1.3 Esercizi

Esercizio 5 Si dimostri, usando la definizione, che

1

lim = 0.

n!

n→+∞

Soluzione. Vogliamo dimostrare che 1

∀ ² > 0 ∃ n ∈ N : ∀ n > n =⇒ < ².

0 0 n!

Osserviamo che n

n! = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1 ≥ = n ,

n · n · . . . · n · n · n

| {z }

n−volte

per cui 1

1 ≤ < ².

n

n n!

Se 0 < ² < 1, prendendo i logaritmi ad ambo i memebri ed osservando che

a = log ² < 0, si ha

1 < log ² = a =⇒ −n · log n < a =⇒ n log n > −a > 0.

log n

n log da cui

Ma si ha pure n > n √

2 2

n > n · log n > −a =⇒ n > −a =⇒ n > −a.

27 √

Prendendo allora come n il numero naturale immediatamente maggiore di −a

0

si ottiene la tesi. 2

Esercizio 6 Determinare i limiti delle seguenti successioni:

µ ¶ √

2n n n 2

1 2 − 3 n − n + n

(1) 1 + , (2) ,

, (3)

n 2 3/2

3n 1+3 2n − n + 1

µ ¶

hn

1 + log n k

n

n

√

(4) , (6) 1+ , ∀ k, h ∈ R,

, (5) (−1) 2

n +1 n

n − log n µ ¶ µ ¶ 2

n n

√ n +3 n − 1

n n n

(7) 2 + 3 , (8) , (9) ,

n +1 n 7

log(n + 1) n + sin n n − 1

(10) , (11) , (12) ,

6

log n log n + cos n n + 1

n n 2 2

4 − 2 n sin n + 3n n 2

(13) , (14) , (15) [1 + (−1) ]n ,

n n 3

4 + 2 1 + n

s √ √ 3

(3 − n)( n + 2) n(n + 2) n

3

(16) , (17) − ,

2

8n − 2 n +1 n +1

2

3n − 5n

n 2 3 n 2

(18) n · 2 + cos(n ), (19) , (20) n + (−1) n ,

2

5n + 2n − 6

µ ¶ p

4

2n − 3 2

n + n − n.

(21) , (22)

3n + 7

Soluzione. ¶ ¶

µ µ 3

2n ·2n

1 1 3

(1) lim = lim =

1+ 1+

3n 3n

n→+∞ n→+∞

#

"µ ¶ 2/3

3n √

1 2/3 3 2

= lim 1+ = e = e .

3n

n→+∞ µ ¶ µ ¶

n

n

2 2

n

3 − 1 − 1

n n n

2 − 3 3 3

µ ¶

= lim = −1.

(2) lim = lim 1

n 1

1 + 3 n→+∞

n→+∞ n→+∞

n + 1

3 +1 n

3

n

3

√ 2 2

n − n + n 1

n = .

(3) lim = lim 2

2 3/2 2n 2

2n − n + 1

n→+∞ n→+∞

µ ¶

1

log n +1

1 + log n log n

µ ¶

√ √

= lim =

(4) lim n − log n n

n→+∞

n→+∞ log n − 1

log n

28

µ ¶

1 +1 1

log n

µ ¶

= lim = = 0,

1 ∞

n→+∞ − 1

−1/2

n log n

Abbiamo usato la regola ½ ∞ a> 0

b

a

lim n log n = ∀ b ∈ R.

0 a < 0,

n→+∞ n

n n (−1)

n n

(5) lim (−1) = lim (−1) = lim = 0.

2 2

n + 1 n n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

(6) Abbiamo µ ¶ ¶

µ

hn hn

k 1

lim 1+ = lim =

1+ −1

n k n

n→+∞ n→+∞ #

"µ

¶ ¶

µ kh

−1 −1

k n·kh k n

1

1 kh

= e .

= lim

= lim 1+

1+ −1 −1

k n k n

n→+∞

n→+∞ n

(7) Raccogliendo 2 si ha sµ ¶ n

√ √

√ 2

n n

n n

n n n

lim + 1 = 3 lim

2 + 3 = lim 3 · 1 = 3.

3

n→+∞ n→+∞

n→+∞

(8) Abbiamo da (6)

µ ¶ ¶ ¶

µ µ

n n n

n +3 n +1+2 2

lim = lim = lim =

1+

n + 1 n +1 n +1

n→+∞ n→+∞ n→+∞

#

"µ ¶ n

n+1 n+1

2 2 1 2

= lim = (e ) = e .

1+ n +1

n→+∞

(9) Sempre mediante (6) troviamo

¶ µ ¶

µ 2 2

n n

1

n − 1 = lim 1 − =

lim n n

n→+∞

n→+∞

·µ ¶ ¸ 2

n

n

−1 n −1 +∞ −∞

= lim 1+ = (e ) = e = 0.

n

n→+∞ 29

(10) Si osservi che, per n tendente all’infinito, l’andamento delle due succes-

sioni è lo stesso. Ne segue log(n + 1)

lim = 1.

log n

n→+∞

(11) Le successioni sin n, cos n sono entrambe limitate e non ammettono

limite per n tendente all’infinito. Tuttavia n

n + sin n = lim = +∞,

lim log n + cos n log n

n→+∞

n→+∞

in quanto n cresce più velocemente del logaritmo.

(12) Abbiamo 7 7

n − 1 n

lim = lim = lim n = +∞

6 6

n + 1 n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

(13) Abbiamo

n n 2n n 2n n

4 − 2 2 − 2 2 (1 − 1/2 )

lim = lim = lim = 1.

n n 2n n 2n n

4 + 2 2 + 2 2 (1 + 1/2 )

x→+∞ x→+∞ x→+∞

2 2

n sin n+3n

(14) Osserviamo che, posto a =

n 3

1+n

2 2 2 2 2

|n sin n + 3n | = n · | sin n + 3| = n (| sin n| + 3) ≤ 4n ,

e quindi 2 2 2 2

4n n sin n + 3n 4n

− ≤ .

3 3

≤ 1+ n 1 + n

Dal momento che 2

4n 4n 4

lim = lim = lim = 0,

3 3

1 + n n n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

segue, dal teorema del confronto, che

2 2

n sin n + 3n

lim = 0.

3

1 + n

n→+∞ n 2

(15) Indichiamo con a = [1 + (−1) ]n : allora

n 2h 2 2 2

n = 2h =⇒ a = [1 + (−1) ](2h) = [1 + 1] · 4h = 8h ≥ 0,

2h 2h+1 2 2

n = 2h + 1 =⇒ a = [1 + (−1) ](2h + 1) = [1 − 1](2h + 1) = 0.

2h+1

Ma allora lim a = +∞, lim a = 0,

2h 2h+1

h→+∞ h→+∞

30

e quindi il limite non esiste.

(16) Abbiamo s s

√ √ √

(3 − n)( n + 2) 6+ n − n

3 3

lim = lim =

8n − 2 8n − 2

n→+∞ n→+∞

r

r −n −1 1

3

3

= lim = = − .

8n 8 2

n→+∞

(17) Abbiamo

µ ¶

3 2 3

n(n + 2) n n

n

lim − = lim − lim = ∞ − ∞,

2

n +1 n +1 n n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

che è una forma indeterminata. Si osservi tuttavia che

¶

µ 3 2 2 3

n

n(n + 2) (n + 2n)(n + 1) − n (n + 1)

lim − = lim =

2 2

n +1 n +1 (n + 1)(n + 1)

n→+∞ n→+∞

4 3 2 4 3 3

n + 2n + n + 2n − n − n n

= lim = lim = 1.

2 3

(n + 1)(n + 1) n

n→+∞ n→+∞

n 2

(18) Poniamo a = n · 2 + cos(n ). Allora, essendo cos(α) ≥ −1,

n n 2 n

a = n · 2 + cos(n ) ≥ n · 2 − 1 → +∞,

n

per n → +∞. Segue che lim a = +∞,

n

n→+∞

per confronto.

(19) Abbiamo 2

2 3n 3

3n − 5n = lim = .

lim 2 2

5n + 2n − 6 5n 5

n→+∞

n→+∞

(20) Abbiamo µ ¶

n

(−1)

3 n 2 3 3

lim (n + (−1) n ) = lim n 1 + = lim n = +∞.

n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

(21) Abbiamo µ ¶ µ ¶

4 4

2n − 3 2n 16

lim = lim = .

3n + 7 3n 81

n→+∞ n→+∞

31

(22) Abbiamo √

³p ´ ³p ´ 2

n + n + n

2 2 √

lim n + n − n = lim n + n − n · 2

n + n + n

n→+∞

n→+∞ 2 2 2 2

n + n − n n + n − n n 1

p

√

= lim = lim = lim = .

2n 2

2

n + n + n n 1 + 1/n + n

n→+∞ n→+∞ n→+∞

2.2 Serie numeriche

2.2.1 Esercizi

Esercizio 7 Determinare se convergono ed, in caso affermativo, calcolare la

somma delle seguenti serie:

∞ ∞ ∞

X X X

n 1 2n + 1

(1) , (2) , (3) ,

2 2

(n + 1)! n(n + 3) n (n + 1)

n=1 n=1 n=1

µ ¶

∞ ∞ ∞

X X X

1 1 1 1

√ √

(4) , (5) − , (6) .

2

4n − 1 n(n + 1)(n + 2)

n n +1

n=1 n=1 n=1

Soluzione. (1) Sia a = n/(n + 1)! il termine generale della serie. Allora

n

n n 1

lim = lim = lim = 0.

(n + 1)! (n + 1)n(n − 1)! (n + 1)(n − 1)!

n→+∞ n→+∞ n→+∞

Inoltre a (n + 1)!

n + 1

n+1

lim = lim · =

a (n + 2)! n

n→+∞ n→+∞

n n +1

(n + 1)(n + 1)! = lim = 0,

= lim (n + 2)(n + 1)! · n n(n + 2)

n→+∞

n→+∞

per cui la serie converge per il criterio del rapporto. Possiamo scrivere

n n +1 − 1 n +1 1 1 1

= = − = − ,

(n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! n! (n + 1)!

per cui la serie è telescopica. Ne segue che ¶

µ

N N

X X 1

n 1

S = = −

N (n + 1)! n! (n + 1)!

n=1 n=1

µ ¶ µ ¶ µ ¶

1 1 1 1 1

= 1 − + − + − + ...

2! 2! 3! 3! 4!

µ ¶ µ ¶

1 1 1 1

... + − + −

(N − 1)! N ! N ! (N + 1)!

1

=1 − (N + 1)!

e quindi ∞

X n

lim S = 1 =⇒ = 1.

N (n + 1)!

N →+∞ n=1

32

(2) Sia a = 1/[n(n + 3)] il termine generale della serie. Allora

n 1 = 0.

lim n(n + 3)

n→+∞

Inoltre 1 1

∼ ,