Analisi Matematica 1 e 2 - Esercizi svolti

Esercizi con spiegazione - Analisi I e II

1. Studiare il carattere della seguente serie numerica:

È intuito suggerisce di usare il metodo del confronto. Voglio riportare la serie ad una serie armonica che converge, quindi vedo di fare delle maggiorazioni. Seguendo che senx, cosx, senx cosx... sono SEMPRE ≤ 1 posso maggiorare la funzione goniometrica con 1.

• ^{sen n}/_n³+n ≤ ¹/_n³+n

Dato che cerco l’armonica convergente maggiore ancora, togliendo n dal denominatore, “forzare n³”.

• ¹/_n³+n ≈ ¹/_n³

Serie armonica con α < 1 quindi convergente.

La serie data converge.

---

2. Studiare il carattere della seguente serie numerica:

In questo caso la presenza di un fattoriale mi porta a pensare che un metodo per risolvere la serie è quello del rapporto.

• n! = n(n-1)! (n+1)! = (n+1)(n)(n-1)! lim n→∞ ⁿ³/_n! · _(n-1)!/n³ = lim n→∞ ⁵/_n+1 = 0

Per il criterio del rapporto se L < 1, la serie converge.

Molte volte posso usare indistintamente solo il metodo del rapporto sia quello della radice poiché ottengo lo stesso risultato.

Quindi se la serie converge con uno converge anche con l’altro e se non ne posso usare uno, nessuno l’altro posso usare.

Vediamo ora come svolgere la serie ② con il metodo della radice.

lim_n→∞√nⁿ(√n(n+1))ⁿ = lim_n→∞n^5/2(n(n-1))ⁿ = lim_n→∞∜(n(n-1))=0

In questo caso i 2 metodi non sono equiparabili, infatti secondo questo criterio diverge.

NOTA: Ogni qualvolta ho all'interno della radice una potenza ⁿ il limite per n→∞ darà sempre 1√n(N)=1√N=1

Inoltre può essere utile ricordare che: ⁿⁿ/_m > n!(n-1)(n-2)!

①

[Σ_n=1^∞√(n(n+1))ⁿ]

Studiare il carattere della seguente serie numerica

Posso notare subito una parte della funzione elevata ad n, questo mi suggerisce il teorema della radice, che però non mi portò a nulla.

Potremmo provare con il confronto asintotico dato la presenza di √n. Confrontiamo quindi con la serie armonica di a>1.

lim_n→∞√(nⁿ((n+1)/n)ⁿ = lim_n→∞(n+1)/n • lim_n→∞[a√(n/n)]ⁿ • lim_n→∞[[√(n+1)/n]ⁿ = 1

Il limite è ≠ 0 per cui la serie data diverge come la serie armonica

di x>1

9. ∑_n=1^∞(-1)ⁿ(√3 - 1)ⁿ

Siamo in presenza di una serie a segni alterni per cui conviene usare il criterio di Leibniz e vedere se risulta verificato.

La serie è decrescente? |a_n| ≥ |a_n+1| → √3ⁿ > √3ⁿ⁺¹ → 1/n > 1/n+1 → 3ⁿ > 3ⁿ⁺¹ verificato

lim _n→∞ a_n = 0? lim _n→∞ 1/3ⁿ = lim_n→∞ 3^-1 → 0 verificato

Le 2 ipotesi del criterio sono verificate per cui la serie converge.

10. ∑_n=0^∞ 2ⁿ e^-3nx

Trovare per quali valori di x la serie risulta convergente.

Si applica il criterio delle radici e poiché scomponendo la funzione otteniamo

(1/2ⁿ) (e^-3nx)

• A questo punto posso procedere sia con il metodo del confronto infinita (c_n/b_n) e c'è una serie geometrica che converge per ragione < 1, oppure si applica le radici come faremo noi.

lim _n→∞ √ⁿ (e^-3nx/2^nx) = lim _n→∞ (1/2)^1/n e^-3x/8 = e^-3x/8

Per la radice e^-3x/8 deve essere < 1, perché la serie converge.

e^-3x/8 < 1 → e^3x < 8 → ln 8 > 3x → x ln 8/3 > x > 3 ln 8/3

[X ≥ ln 2]

12)

Trovare il limite nell'origine

Proviamo ad usare direttamente l'equazione del fascio che risulta più completa poiché considera tutte le rette passanti per quel punto. y - y₀ = m (x - x₀) dove x₀ = y₀ = 0 e quindi y = mx

\( f(x,mx) = \frac{mx - m^2x^2}{x^2 + m^2x^2} = \frac{mx}{x(1 + m^2)} = \frac{m}{1 + m^2} \)

\( \lim_{x \to 0} f(x,mx) = \lim_{x \to 0} \frac{m}{1 + m^2} \) = 0

Il risultato del limite non dipende da m, per cui, per ogni retta passante per l'origine, il limite in (0,0) è zero. Quindi, forse ci può essere limite. Andiamo a vedere cosa succede al limite se mi ci avvicino con una curva. Dato il differente grado delle x e delle y al denominatore ho il sentore che il limite non torni zero con una curva.

Che curve scelgo? In questo caso x = y² poiché quando vado a sostituire le y² al testo avrò delle semplificazioni.

\( f(y,y) = \frac{y^2 - y^2}{y^4 + y^4} = \frac{y^2}{2y^4} = \frac{1}{2y^2} \)

\( \lim_{y \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)

Vediamo così che essendo \(\frac{1}{2} \neq 0\), il limite nell'origine non esiste

23

Vogliamo trovare le derivate direzionali di lungo il vettore ^(1/√2)_(-1/√2)

Per prima cosa dobbiamo assicurarci che il modulo del vettore sia uno altrimenti dovrà normalizzato.

Dato che il modulo è unitario posso scrivere f(x,y) come ^(x/√2)_(1/x√2)

lim_t→0 ^{f(t/√2_t/√2) - g(0)}/_t

ho trovato che la derivata direzionale è 5/2

24

Trovare derivata direzionale in P(α,α) laigo v = (1-d) di f(x,y)

f(x,y) = e^xcos(y)

Ossia si procede come nell'esercizio 23

lim_t→0 ^{g(t√α_1-√x^2) - g(α,α)} + ... derivata direzionale

Nota

Nel caso dovessi calcolare g(0,0)

Prima di fare il limte devo vedere se esiste considerando le restrizioni o il fascio.

29) Vogliamo calcolare ora l'integrale doppio in A della funzione dell'esercizio 28.

Vengono usate le coordinate polari poniamo A = in questo di corona circolare. Quindi x = ρcosθ

y = ρsenθ

In questo caso 2 ≤ ρ ≤ 3

0 ≤ θ ≤ π/2

∫₀^π/2 ∫_β³ ρcosθsenθ ρ dρ dθ

determinante dello Jacobiano

∫₀^π/2 cosθsenθ dθ ∫_β³ ρ³ dρ =

[cosθ - ½cos³θ]₀^π/2 [ρ³/3]_β³ =

-½ [9/2 - β³/3]

NOTA

a

b

c

tg β

c/b tgγ

b/c

migliore grad sulle calcolatrice

∫ sen θ cosθ dθ = - ½ cos²θ + c

∫ cosθ sen θ dθ = - ½ cos²θ + c

∫ cos²θ sen θ dθ = ⅓ cos³θ + c

∫ cos θ sen²θ dθ = ⅓ sen³θ + c