Analisi matematica 1 - Note ed esercizi svolti su derivate e derivabilità

Capitolo 5: Derivate e derivabilità

5.1 Derivate

5.1.1 Significato geometrico. Retta tangente

Consideriamo una funzione f: (a, b) → R derivabile in ogni punto di tale intervallo. Siano x, x + h ∈ (a, b) e si considerino i punti del grafico di f P(x, f(x)), Q(x + h, f(x + h)).

Consideriamo il grafico seguente:

Y 6 ¡¡r ¡¡f(x + h) r r¡ ´ Q¡ ´´¡´´¡´¡´´¡´¡f(x) r ´r¡P H¡¡¡r r r r r -O a x x + h b X

Il punto H ha coordinate H(x + h, f(x)). La retta PQ, secante la curva, ha coefficiente angolare dato da

m(f, x, h) = QH / PH = (f(x + h) - f(x)) / (x + h - x) = Δf / Δx,

il rapporto incrementale di f in x. La retta tangente in P alla curva si ottiene come limite dell’avvicinamento del punto Q al punto P. Il suo coefficiente angolare, allora, è il limite per h che tende a zero di m(f, x, h). Ma allora si ha

m = lim_h→0 (f(x + h) - f(x)) / h = f'(x) (5.1)

ed è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto P(x, f(x)). Nel generico punto x = x₀ si ha la seguente equazione per la retta tangente nel punto P(x₀, f(x₀))

y - f(x₀) = f'(x₀) · (x - x₀). (5.2)

5.1.2 Derivabilità delle funzioni elementari

Riportiamo di seguito le proprietà di derivabilità delle funzioni elementari.

• Funzioni polinomiali: Esse risultano derivabili su tutto l’asse reale.
• Funzione valore assoluto: La funzione f(x) = |x| non è derivabile in x = 0 dove presenta un punto angoloso.
• Funzioni razionali fratte: Sia f(x) = P(x)/Q(x): essa risulta non derivabile in ogni punto a ∈ R tale che Q(a) = 0.
• Funzioni irrazionali: Le funzioni irrazionali di indice dispari f(x) = x²ⁿ⁺¹ risultano non derivabili in x = 0 dove presentano un flesso a tangente verticale. Stesso dicasi per le funzioni irrazionali di indice pari f(x) = x²ⁿ le quali, tuttavia, nel punto x = 0 presentano una cuspide (solo a destra).
• Funzioni esponenziali e logaritmiche: Le funzioni esponenziali sono derivabili in ogni punto dell’asse reale. Le funzioni logaritmiche sono derivabili sull’intervallo (0, +∞).
• Funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse: Le funzioni seno e coseno sono derivabili in ogni punto dell’asse reale. Le funzioni arcoseno e arcocoseno sono derivabili in ogni punto di (−1, 1) e risultano derivabili a destra in x = −1 e a sinistra in x = 1. La funzione tangente non è derivabile nei punti della forma π/2 + kπ, k ∈ Z. La funzione arcotangente risulta derivabile in ogni punto dell’asse reale.
• Funzioni iperboliche e iperboliche inverse: Le funzioni seno, coseno e tangente iperbolica sono derivabili in ogni punto dell’asse reale. La funzione settore seno iperbolico risulta derivabile in ogni punto dell’asse reale. La funzione settore coseno iperbolico risulta derivabile su (1, +∞) e non derivabile in x = 1 dove presenta una cuspide. La funzione settore tangente iperbolica risulta derivabile in (−1, 1).

5.1.3 Comportamento delle funzioni non derivabili

Nella sezione precedente abbiamo visto che, sebbene sia la funzione valore assoluto che la funzione radice cubica non siano derivabili, esse presentano un comportamento diverso nel loro punto di non derivabilità. Ciò accade in maniera del tutto generale e i punti di non derivabilità (a seconda del valore della derivata in essi) prendono il nome di punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale.

Punto angoloso

Sia f: (a, b) → R una funzione non derivabile in x ∈ (a, b). Se accade che

f^'₊(x₀) ≠ ±∞, f^'_-(x₀) ≠ ±∞,

e si ha f^'₊(x₀) ≠ f^'_-(x₀),

il punto x₀ si dice punto angoloso. Poiché la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto assegnato, ciò vuol dire che in tali punti la curva presenta due tangenti (nessuna delle due parallela all’asse delle y) orientate in modo differente. L’angolo α tra esse formato si determina con la formula

α = arctan² (f^'₊(x₀) - f^'_-(x₀)) / (1 + f^'₊(x₀) · f^'_-(x₀)). (5.3)

Cuspide

Sia f: (a, b) → R una funzione non derivabile in x ∈ (a, b). Se accade che

f^'₊(x₀) = ±∞, e f^'_-(x₀) = −∞,

cioè le derivate destra e sinistra valgono entrambe infinito ma hanno segno discorde, il punto x₀ si dice cuspide. Si osservi che in un punto di cuspide le rette tangenti risultano parallele all’asse y, in quanto il coefficiente angolare vale infinito.

Flesso a tangente verticale

Sia f: (a, b) → R una funzione non derivabile in x ∈ (a, b). Se accade che

f^'₊(x₀) = f^'_-(x₀) = ±∞,

cioè le derivate destra e sinistra valgono entrambe infinito con segno concorde, il punto x₀ si dice flesso a tangente verticale. Anche in tale punto le tangenti la curva sono parallele all’asse delle ordinate.

5.1.4 Derivate delle funzioni elementari

Dimostriamo in questa sezione i metodi di calcolo per le derivate delle funzioni elementari.

Funzione costante f(x) = c

Utilizzando la definizione abbiamo

lim_h→0 (f(x + h) - f(x)) / h = lim_h→0 (c - c) / h = 0,

da cui D[c] = 0. (5.4)

Funzione potenza f(x) = x^α

• Per α = 1 dalla definizione si ha

lim_h→0 ((x + h) - x) / h = lim_h→0 h / h = 1,

e quindi D[x] = 1. (5.5)

• Sia α = n ∈ N. Poiché f(x) = xⁿ = x · x · ... · x (n-volte), segue, applicando la formula di derivazione del prodotto,

f'(x) = 1 · x · ... · x + x · 1 · x · ... · x + ... + x · x · ... · 1,

e quindi D[xⁿ] = nx^n-1. (5.6)

√ n Se α = 1/n, essendo y = xⁿ la funzione inversa di x = y, segue

D[√_n x] = 1 / (n · y^1-n) = 1 / (n · (x^1/n)^1-n) = 1 / (n · x^(n-1)/n),

da cui D[√_n x] = 1 / (n · x^(n-1)/n). (5.7)

• Se α = n/m ∈ Q abbiamo, usando la regola di derivazione delle funzioni composte,

D[x^n/m] = (n/m) · (x^(n/m)-1) = (n/m) · x^(n-m)/m,

da cui D[x^n/m] = (n/m) · x^(n-m)/m. (5.8)

• Se infine α = −n, dalla regola di derivazione dei quozienti otteniamo

D[x⁻ⁿ] = −n · x^−n-1,

da cui D[x⁻ⁿ] = −n · x^−n-1. (5.9)

In definitiva abbiamo la formula valida per ogni α ∈ R

D[x^α] = α x^α-1. (5.10)

Infatti, si ha

lim_h→0 ((x + h)^α - x^α) / h = x^α lim_h→0((1 + h/x)^α - 1) = αx^α-1. (5.11)

Funzione esponenziale f(x) = a^x

Dalla definizione si ha

lim_h→0 (a^x+h - a^x) / h = a^x lim_h→0 (a^h - 1) / h = a^x log a,

e quindi D[a^x] = a^x log a. (5.12)

In particolare per a = e abbiamo

D[e^x] = e^x. (5.13)

Funzione logaritmica f(x) = log_a x

Poiché y = log_a x è la funzione inversa di x = a^y, segue

D[log_a x] = 1 / (x · log a). (5.14)

In particolare per a = e abbiamo

D[log x] = 1/x. (5.15)

Funzione seno f(x) = sin x

Usando la definizione si ha

lim_h→0 (sin(x + h) - sin x) / h = cos x. (5.16)

Funzione coseno f(x) = cos x

Usando la definizione si ha

lim_h→0 (cos(x + h) - cos x) / h = −sin x. (5.17)

Funzione tangente f(x) = tan x

Usando il teorema della derivata di un quoziente si ha

D[tan x] = 1 / cos² x = 1 + tan² x. (5.18)

Funzione arcoseno f(x) = arcsin x

Poiché y = arcsin x è la funzione inversa di x = sin y abbiamo

D[arcsin x] = 1 / √(1 − x²). (5.19)

Funzione arcocoseno f(x) = arccos x

Poiché y = arccos x è la funzione inversa di x = cos y abbiamo

D[arccos x] = −1 / √(1 − x²). (5.20)

Funzione arcotangente f(x) = arctan x

Poiché y = arctan x è la funzione inversa di x = tan y abbiamo

D[arctan x] = 1 / (1 + x²). (5.21)