Analisi matematica 1 - Note ed esercizi svolti su Insiemi, numeri reali e Principio di Induzione

|X|

Teorema 3 Sia X un insieme. Allora |P(X)| = 2 .

Sia A un sottoinsieme nell’universo X. L’insieme

c

A = X \ A c

si dice complementare di A in X. In particolare se A ∈ P(X) allora A ∈ P(X).

Si osservi poi che, per la stessa definizione,

c c

∅ = X, X = ∅.

Il seguente teorema è di fondamentale importanza in teoria degli insiemi.

Sia X un insieme. Allora

Teorema 4 (Leggi di De Morgan)

c c c

(A ∪ B) =A ∩ B (1.3)

c c c

(A ∩ B) =A ∪ B , (1.4)

per ogni A, B ∈ P(X).

Siano A e B due insiemi nell’universo X. Si chiama prodotto cartesiano

l’insieme A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

2

Se B = A si suole scrivere A al posto di A × A. Vale il seguente teorema, che

non dimostriamo.

Teorema 5 Siano A , B , A, B, C degli insiemi. Allora

1 1

A × B ⊆ A × B ⇐⇒ A ⊆ A e B ⊆ B,

1 1 1 1

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C),

A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C),

(A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C),

(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).

5

1.1.2 Alcune nozioni di logica elementare

Un linguaggio è una terna (P, A, L) di tre strutture dette proposizioni, assiomi,

leggi rispettivamente. Le proposizioni P costituiscono le frasi del linguaggio, gli

assiomi A sono particolari frasi non deducibili da altre all’interno del linguaggio

dato e le leggi L sono le regole che permettono di combinare tra loro assiomi e

proposizioni al fine di generare nuove frasi.

Nelle varie branche della matematica, ognuna delle quali costituisce un lin-

guaggio, vi sono proposizioni, assiomi e leggi diverse: ad esempio in Geometria

Euclidea è noto che gli assiomi più comuni sono quelli di concetto di punto e

retta, che una tipica proposizione sia il Teorema di Pitagora e che le regole siano

ad esempio le leggi di congruenza o le leggi delle rette parallele.

In genere, in matematica le proposizioni si dividono in due classi distinte: le

Definizioni, le quali servono appunto a definire gli oggetti argomento di studio

e gli Asserti, i quali si dividono a loro volta in Lemmi, Proposizioni, Teoremi,

Corollari. Questi ultimi sono costituiti da due frasi: l’ipotesi I, che raccoglie

una serie di oggetti e proprietà definite in partenza, e la tesi T , una frase che

determina una ulteriore proprietà di tali oggetti e che si può dedurre logica-

mente dall’ipotesi attraverso la dimostrazione. La struttura formale di un as-

serto risulta quindi la seguente

I =⇒ T, I ⇐⇒ T. (1.5)

Nel primo caso, il simbolo =⇒ di implicazione logica sta ad indicare che dall’i-

potesi I si può pervenire, adoperando le leggi del linguaggio per costruire una

dimostrazione, alla tesi T . Nel secondo caso, il simbolo ⇐⇒ di doppia impli-

cazione, indica che le due frasi I e T sono tra loro logicamente equivalenti: ciò

vuol dire che non solo da I si può pervenire a T , ma i ruoli di tali frasi può

3

essere scambiato cosicché T divenga l’ipotesi da cui si può dimostrare la tesi I .

Ma come si può ricavare, con passaggi logici, la tesi partendo da una ipotesi? I

metodi di dimostrazione sono i più svariati e cambiano da argomento ad argo-

mento. In generale, tuttavia, le dimostrazioni si suddividono in due grandi classi:

(i) dimostrazioni dirette: sono quelle nelle quali, utilizzando varie proprietà

degli oggetti in esame e partendo dalle proprietà enunciate nelle ipotesi, at-

traverso una catena di ragionamenti logici, si perviene direttamente alla tesi;

(ii) dimostrazione per assurdo: si suppone che la tesi possa essere falsa e,

attraverso una serie di procedimenti logici, si perviene ad un assurdo, ovvero a

determinare che l’ipotesi non possa essere correta. Dal momento che l’ipotesi

è una assunzione che facciamo liberamente, e che quindi non è soggetta a di-

mostrazioni e risulta sempre vera, ciò ci porta ad affermare che l’aver supposto

falsa la tesi è il motivo di tale assurdo e, quindi, la tesi deve essere vera.

Diamo una spiegazione logica della dimostrazione per assurdo. Supponiamo

di voler dimostrare l’asserto I =⇒ T per assurdo. Quindi assumiamo che T

T , che indichiamo con ¬T , risulta vera.

sia falsa: se ciò accade, la negazione di

A questo punto, si applica una legge fondamentale dei linguaggi, detta della

controimplicazione (I =⇒ T ) ⇐⇒ (¬T =⇒ ¬I). (1.6)

3 Le due frasi in (1.5) vanno lette: se I allora T ; I se e solo se T .

6

Tale legge afferma che se la frase I implica la T , allora è anche vero che la frase

¬T implica la ¬I. Un esempio banale di questo fatto è il seguente asserto vero:

Se Q è un quadrato allora i suoi lati sono uguali

la cui negazione

Se i lati non sono uguali allora Q non è un quadrato

è ancora un’asserto vero.

Utilizzando la (1.6), possiamo allora dedurre che il fatto che ¬T sia vera deve

implicare necessariamente che anche ¬I sia vera, ma allora I è falsa, ma ciò non

può essere in quanto I essendo la nostra ipotesi, deve essere necessariamente

vera. L’assurdo, come si può facilmente vedere nasce dall’aver supposto T falsa

e quindi si può concludere che T deve essere vera.

Chiudiamo questa parte, elencando quali siano le negazioni di alcune propo-

sizioni comuni: ¬[p(x) e q(x)] =¬p(x) o ¬q(x);

¬[p(x) o q(x)] =¬p(x) e ¬q(x);

¬[¬p(x)] =p(x);

¬[∀ x vale p(x)] =∃ x : vale ¬p(x);

¬[∃ x : vale p(x)] =∀ x : vale ¬p(x);

¬[∀ x (p(x) =⇒ q(x))] =∃ x : (p(x) e ¬q(x)).

1.2 Campi ordinati

Una questione fondamentale quando si opera con gli insiemi numerici è quella

4

di definire le operazioni binarie tra i suoi elementi.

Supponiamo note l’esistenza delle seguenti due operazioni binarie in un in-

sieme A:

• l’addizione + : A × A → A, (a, b) 7→ a + b;

la moltiplicazione · : A × A → A, (a, b) 7→ a · b.

•

Diremo che (A, +) è un gruppo additivo abeliano se soddisfa la seguente

proprietà, detta proprietà R :

1

1. ∀ a, b ∈ A a + b = b + a (commutativa);

2. ∀ a, b, c ∈ A (a + b) + c = a + (b + c) (associativa);

3. ∃ 0 ∈ A : ∀ a ∈ A a + 0 = a (elemento neutro);

4. ∀ a ∈ A ∃ − a ∈ A : a + (−a) = 0 (opposto).

4 Se A è un insieme, una operazione binaria su esso è una legge

∗ : A × A −→ A, (a, b) 7→ a ∗ b

che ad ogni coppia di elementi (a, b) associa un nuovo elemento c = a ∗ b di A.

7

Diremo che (A, ·) è un gruppo moltiplicativo abeliano se soddisfa la seguente

proprietà, detta proprietà R :

2

1. ∀ a, b ∈ A a · b = b · a (commutativa);

2. ∀ a, b, c ∈ A (a · b) · c = a · (b · c) (associativa);

3. ∃ 1 ∈ A : ∀ a ∈ A a · 1 = a (elemento neutro);

−1 −1

4. ∀ a ∈ A ∃ a ∈ A : a · a = 1 (reciproco).

Se l’insieme A è dotato di entrambe le operazioni binarie, e se alla proprietà

R aggiungiamo la seguente condizione

2 5. ∀ a, b, c ∈ A (a + b) · c = a · c + b · c distributiva,

diremo che (A, +, ·) è un campo. Osserviamo allora che gli insiemi Q e R dei

numeri razionali e reali sono entrambi campi. Questo fa intuire che la differenza

tra questi due insiemi risiede in una qualche proprietà di R che Q non possiede.

I numeri razionali (come anche i reali) possono essere disposti su di una retta:

per fare ciò basta fissare un punto della retta come 0 dei razionali, un punto

distinto (alla sua destra) come 1 e procedere a segnare la posizione dei numeri

interi spostandosi di tanti segmenti della lunghezza del segmento 01 quanto è

la quantità intera da indicare, a destra di zero per i positivi, a sinsitra per i

negativi. Per segnare, invece, i numeri razionali, si può osservare che ognuno di

essi si ottiene come somma tra una frazione compresa tra 0 e 1 ed un numero

intero: per determinare allora la posizione di 5/2 = 2 + 1/2 basterà fissare il

punto 1/2 a metà tra 0 e 1 e poi spostarsi verso destra, a partire da esso, di due

segmenti pari al segmento 01.

Tale procedimento permette di ordinare tutti i numeri razionali sulla retta in

una successione dal più piccolo al più grande. Tale ordinamento viene effettuato

dalla relazione di “≤”la quale è una relazione d’ordine, cioè soddisfa le seguenti

proprietà:

• riflessiva: ∀ a, a ≤ a;

• antisimmetrica: ∀ a, b, a ≤ b e b ≤ a =⇒ a = b;

• transitiva: ∀ a, b, c, a ≤ b, b ≤ c =⇒ a ≤ c.

Osserviamo poi che, presi comunque due numeri a, b è sempre possibile con-

frontarli per mezzo della relazione “≤”: infatti, per qualsiasi coppia di numeri

distinti possono presentarsi solo i due casi a ≤ b oppure b ≤ a e mai entrambi

(si avrebbe uguaglianza, altrimenti) e tale confronto si può fare per qualsiasi

coppia. Questo fatto si esprime dicendo che la relazione di minore o uguale una

relazione d’ordine totale.

Diciamo allora che un campo (A, +, ·) gode della proprietà R se su esso è

3

definita la relazione d’ordine totale ≤ compatibile con le operazioni, e cioè:

∀ a, b, c se a ≤ b allora a + c ≤ b + c;

•

• ∀ a, b, c, c > 0, se a ≤ b allora a · c ≤ b · c.

Un insieme si dice campo ordinato se soddisfa alle proprietà R , R , R . Se

1 2 3

ne deduce che sia Q che R sono ampi ordinati e che, quindi, la proprietà R non

3

è ancora sufficiente a differenziare questi due insiemi.

8

1.2.1 I numeri reali

Ritorniamo alla costruzione fatta (per via geometrica) dell’insieme Q e facciamo

la seguente considerazione: sul segmento 01 costruiamo il quadrato di latto 1 e

sia d la misura della sua diagonale. Possiamo riportare il segmento di lunghezza

d sulla retta su cui abbiamo segnato tutti i numeri razionali e fare una scoperta

sorprendente: il numero corrispondente al valore esatto di d non appartiene ai

√

razionali! Dalla geometria Euclidea sappiamo che d = 2. Quello che vogliamo

dimostrare è il seguente fatto.

√

Proposizione 1 2 ∈

/ Q. √

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che 2 ∈ Q, cioè che esistano a, b

√ √

primi tra loro (M.C.D(a, b) = 1) tali che 2 = a/b. Ne segue che a = 2b.

Abbiamo allora, supponendo anche a, b entrambi positivi

√ 2 2

a = 2b ⇔ a = 2b .

2

Ora, l’ultima uguaglianza afferma che a è un numero pari. Ma ciò vuol dire

che anche a è pari, poic