Analisi 1 - Insiemi, Funzioni, Principio di Induzione, Logica & Numeri Complessi

ANALISI

• -INSIEMI p.2
• -INIETTIVITA', SURIETTIVITA', BIETTIVITA' p.3
• -STRUTTURE ALGEBRICHE p.8
• -INSIEMI E PRINCIPIO DI INDUZIONE p.14
• -FUNZIONI p.20
• -LOGICA p.32
• -NUMERI COMPLESSI p.34

ANALISI

• INSIEMI p.2
• INIETTIVITA', SURIETTIVITA', BIETTIVITA' p.3
• STRUTTURE ALGEBRICHE p.8
• INSIEMI E PRINCIPIO DI INDUZIONE p.14
• FUNZIONI p.20
• LOGICA p.32
• NUMERI COMPLESSI p.34

INSIEMI

Insieme = collezione di elementi con una certa proprietà

(♁) indicati graficamente con i diagrammi di Venn

lettera maiuscola; gli elementi in minuscolo

a ∈ A ⇾ appartenenza

a ∉ A ⇾ non appartenenza

Concetti di insieme e di elementi appartenenti ad esso ⇾ primitivi

Determinazione:

• estensione → si scrivono tutti gli elementi.
• comprensione → se ne descrive una proprietà

Operazioni tra insiemi

• Unione ⇾ ∪

A ∪ B → insieme degli elementi che appartengono ad A o a B

A ∪ B: {a: a ∈ A ∨ a ∈ B} → proprietà dell'insieme

• Intersezione ⇾ ∩

A ∩ B → insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B

A ∩ B: {a: a ∈ A ∧ a ∈ B}

Insiemi disgiunti → l'intersezione è l'insieme vuoto ⇾ A ∩ B = ∅

• Differenza → fra insiemi non disgiunti

A/B → insieme degli elementi che appartengono ad A e non a B

A/B: {a: a ∈ A ∧ a ∉ B}

Sottoinsiemi

A ⊂ B → A è sottoinsieme di B se tutti gli elementi di A sono contenuti in B

se a ∈ A ⟹ a ∈ B

A = B ⟶ A ⊂ B ∧ B ⊂ A (Ogni elemento di A è contenuto in B, ogni elemento di B è contenuto in A)

A ⊂ B, se a ∈ A ⟹ a ∈ B ∧ ∃ b: b ∈ A ∧ b ∉ B

A sottoinsieme proprio → A è contenuto ma non è uguale a B

(A contenuto strettamente in B)

Insieme delle parti P(I) = insieme dei sottoinsiemi

Proprietà degli insiemi

• Unione, intersezione sono commutabili
• A ∪ B = B ∪ A
• A ∩ B = B ∩ A
• Associatività
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• A ∪ ∅ = A
• A ∩ ∅ = ∅
• A ∪ A = A
• A ∩ A = A
• (A ∪ B)C = A ∩ (C ∪ B)
• (A ∩ B)C = A ∪ (C ∩ B)
• (A ⊆ C) (B ⊆ D) ⟹ A ∪ B ⊆ C ∪ D
• (A ⊆ C) (B ⊆ D) ⟹ A ∩ B ⊆ C ∩ D
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• A′ = X/A = {x ∈ X : x ∉ A}
• (A′)′ = A
• (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
• (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

[...] leggi di De Morgan

Prodotto cartesiano

A × B = {(a,b) | a ∈ A e b ∈ B}

Se B = A ⟹ A × A = A²

Funzioni

f : A → B

Ad ogni elemento di A viene associato al più (o nessuno, o solo 1) un elemento di B.

Se ci sono più associazioni di codominio, l'associazione viene detta relazione.

f(a) ∈ B, ∀ a ∈ A ∃! b ∈ B; f(a) = b

f(x) = ^2x/_{x - 3} ⟹ non definita su tutti i reali

D = ℝ/{3}

Iniettività suriettività biettività

• Funzione iniettiva

  da x diverse nel dominio ci sono y diversi del codominio per ogni elemento del codominio esiste al piú un elemento del dominio

  se x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

  x₁ = x₂ ⇒ f(x₁) = f(x₂)

  se è una funzione, ma non è iniettiva

  La proprietà deve essere valida per tutti gli elementi di un insieme

• Funzione suriettiva

  Ogni punto dell’insieme di arrivo è ottenuto dal dominio

  ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A : f(x) = y

• Funzione biiettiva (biunivoca)

  La funzione è sia suriettiva che iniettiva f corrispondenza biunivoca fra A e B

Immagine e controimmagine

• f : A → B

• Immagine

  insieme delle immagini di A = f(A)

  Immagine = codominio

  f(A) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A : f(a) = b}

• Controimmagine

  C ⊂ B

  f^-1(C) = sottoinsieme di A formato dagli elementi di A la cui immagine tramite f, cade in C ⊂ B controimmagine e dominio

  insieme delle controimmagini di C = f^-1(C)

  f^-1(C) = {a ∈ A : f(a) ∈ C}