Analisi 1 - Insiemi, Funzioni, Principio di Induzione, Logica & Numeri Complessi

ANALISI

-INSIEMI p.2

-INIETTIVITA', SURIETTIVITA', BIIETTIVITA' p.3

-STRUTTURE ALGEBRICHE p.8

-INSIEMI E PRINCIPIO DI INDUZIONE p.14

-FUNZIONI p.20

-LOGICA p.32

-NUMERI COMPLESSI p.34

INSIEMI

Insieme = collezione di elementi con una certa proprietà ↓ indicati graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn Lettera maiuscola → gli elementi in minuscolo a ∈ A → appartenenza a ∉ A → non appartenenza

Concetti di insieme e di elementi appartenenti ad esso → primitivi

Determinazione: estensione → si scrivono tutti gli elementi comprensione → se ne descrive una proprietà

Operazioni tra insiemi

Unione ∪

A ∪ B = insieme degli elementi che appartengono o ad A o a B

• (diagramma) A ∪ B: {a : ∈ A ∨ ∈ B}

Intersezione ∩

A ∩ B = insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B

• (diagramma) A ∩ B: {a : ∈ A ∧ ∈ B}

Insiemi disgiunti → l'intersezione è l'insieme vuoto → A ∩ B = Ø

Differenza - fra insiemi non disgiunti

A/B → insieme degli elementi che appartengono ad A e non a B

• (diagramma) A/B: {a : ∈ A ∧ ∉ B}

Sottoinsiemi

A ⊂ B → A è sottoinsieme di B se tutti gli elementi di A sono contenuti in B

• (diagramma) A se ∈ A ⟹ ∈ B

A = B ⟺ A ⊂ B ∧ B ⊂ A (Ogni elemento di A è contenuto in B, ogni elemento di B è contenuto in A)

A ⊊ B ⟺ se a ∈ A ⇒ a ∈ B ∧ ∃ b ∈ B A sottoinsieme proprio → A ⊂ B contenuto ma non ≠ uguale a B (A contenuto strettamente in B)

Insieme delle parti P(I) = insieme dei sottoinsiemi

f e g suriettive implicano f◦g suriettiva?

f: ℝ → ℝ² g: ℝ² → ℝ² x → y₂

f◦g: ℝ → ℝ² non suriettiva

f e g suriettive implica f e g suriettive? g: ℝ ² → ℝ² f: ℝ → ℝ² x → | x | ◦ x

f◦g: ℝ → ℝ^{+ → identità è suriettiva. g però non lo è}

1. x = | x |

Simmetria assiale

Cambio la risposta solo del terzo questo f◦g è suriettiva

∀ y ∈ D, ∃ c ∈ C - f(c) = y, dato che B = C ∀ y ∈ B, e dato che g è suriettiva ∃ x ∈ A g(x) = c

• Quindi ∀ y ∈ D, ∃ x ∈ A - f◦g = y

Simmetria assiale

Simmetria di un punto rispetto ad una retta

• σ_r : ℝ² → ℝ²

Simmetria piano

• σ_r(p) = p’: ∀ p ∈ ℝ²

se p ∈ riser → p = p’ σ r o σ r = I (identità) → si ritorna p

• Valida per tutti i punti del piano
• Funzione biunivoca → sia iniettiva che suriettiva

Simmetria radiale

Simmetria rispetto a un punto σ O: ℝ² → ℝ²

V

σ O(p) = p’ σ O (O) = O

• Corrispondenza biunivoca → sia iniettiva che suriettiva

Coordinate e grafici di funzioni

Sistema di ascisse su retta orientata r = corrispondenza biunivoca fra numeri reali ℝ e una retta orientata r

y ordinata

• P (xy)______________________________

x-ascisse

sistema di coordinate cartesiane

NB

sen x → 7x

sen x > 8x

cos x → - 1cos x < x² + 1

x₀ > 0 y log x ε ℝ

sen x → 4xsen x > cos x - 2(cos x - 2 ≠ 0) x ε ℝ

Sottoinsiemi di ℝ

• Insieme superiormente limitato
  • A ⊂ℝ

    insieme dei maggioranti di A

R superiormente limitato (M_A ≠ Φ)

Esiste un valore (maggiorante) per cui ∀ a ⊂ A sta a sinistra

a₀ ⊂ ℝ : ∀ a ⊂ A, a ≤ M(∃, non va invece bene definire così: ∀ a ⊂ A e M ⊂ ℝ , a ε M ≠ NO

M( A ) : ( M ⊂ℝ ) ↔ ( ∀ a ⊂ A , a ≤M) ∃ m= M

∀ M’ > M, M’ ≠ maggiorante

• Insieme inferiormente limitato
  • ∀ m ⊂ℝ , ∀ a ⊂ A : m ≤ a∀ m’ < m m’ ≠ minorante

∃ B, A ⊂ A ⟺ M ⊆Λ

< M ⊂ A >

Massimo di un insieme

A ⊂ ℝ/ A superiormente limitato

M_A mass di A max A se

1. ∀ a ⊂ A, a ≤ M
2. M ⊂ A

Se un insieme ammette un massimo, esso è unico

! se M₁ ≠ M₂, e se M fosse più di un massimo, M ≠ M’ ∈ M, in entrambi i casi, non potrebbe verificare A

Minimo di un insieme

A ⊂ ℝ, A inferiormente limitato

m, min ⊂ A m

1. ∀ a ⊂ A, a ≥ m
2. m ⊂ A

Se un insieme ammette minimo, esso è unico

Estremo superiore di un insieme

A ⊂ℝ / A superiormente limitato

L_{sup A} (estremo superiore) se

1. L ≤ maggiorante →∀ L’ ⊃ℝ, L ’- ε ⊆ A / a ≤ L
2. è il minimo dei maggioranti∀ L’ ⊃ℝ, L’ ≥ L, (major => ) L ≤ L’
   • ε⊃ℝ, a ⊂ A ⟺L - ε

Estremo inferiore di un insieme

A ⊂ℝ, A inferiormente limitato

1. L_inf (estremo inferiore) se

1. ∃ gran di → ∀ a ⊂ A, a >ε
2. è il maggior de i minorant∀ a ⊂ℝ, a ≥ε, a⊂ L / a⟺ a ≤ ε

NB

0 > λ ∈ ℕ

P(n) = a²ⁿ > α²ⁿ

P(1) a² > α² → VERA perché a>α

P(n+1) α²ⁿ⁺² ↳ a^{2n > α2n an < an+1_a2n+2■ α2n+2}

Poiché a > α, P(n+1) £ vera

0 ≤ α < 1, α λ ∈ ℕ

P(n): a²ⁿ≤ α²ⁿ

P(1): a² ≤ α²→VERA perché 0 ≤ α < 1

P(n): α²ⁿ < a²ⁿ⁺² αⁿ ≤ aⁿ⁺¹

Poiché 0 ≤ α < 1, P(n+1) £ vera

P(n): 1 +₁ 1 +₁ 1 +...

P(1): 1 +₂ 1 ↳ VERA po +₂ 1

P(n+1): 1 +₂ 1 +₃ 1 ... +_{n + 1}

(n+1)

=n/(n+1) 1/ (n+1)(n+2)

n/(2+1) + n + 1)

verificata→n/n +1 =₄...

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n - 1)_2^n·1

ipotest,

P (1): 1· 4

P (n+1) 1 +32 =_V

=vero

(2ζ_n+2) + (2

= (n

(Z

=......_{U> L} VERA