Analisi matematica I - parte 1

Limiti di polinomi

Per calcolare il limite di un polinomio per x → ±∞ basta calcolare il limite del termine di grado massimo.

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n a₀≠0 grado n

P(x) = a₀xⁿ ( 1 + ^a₁/_a0 ¹/_x + ^a₂/_a0 ¹/_x² + ... + ^a_n/_a0 ¹/_xⁿ )

lim_x→±∞ P(x) = lim_x→±∞ a₀xⁿ ( 1 + ^a₁/_a0 ¹/_x + ... + ^a_n/_a0 ¹/_xⁿ ) = lim_x→±∞ a₀xⁿ

0⁰

ex.lim_x→-∞ (-7x³ + 3x² x - 16) = lim_x→-∞ -7x³ = ±∞

Limiti di funzioni razionali (rapporto polinomi)

P = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + ... + a_n grado n

Q = b₀ x^k + b₁ x^k-1 + ... + b_k grado k

lim_x→±∞ P(x)/Q(x) = lim_x→±∞ a₀xⁿ/b₀x^k0 se n<k±∞ se n>k

ex.lim_x→±∞ 2x-x²/3x+x² = lim_x→±∞ -x²/x² = lim_x→±∞ -1 = 0lim_x→±∞ (2x² + 5x + 1)/x = lim_x→±∞ 6x²/x³ = lim_x→±∞ 6/x² = ±∞

Limiti di funzioni trigonometriche

lim_x→0 sin x/x = 1

lim_x→0 : inf. funzione cos x - cos (x) è una funzione pariè sufficiente calcolaresin x/x

L'area del triangolo ŌÂâ è minore di quella del settore circolare ŌÂâ che è a sua volta minore di quella del triangolo ŌTÂ1 · sin x ≤ l · x ≤ 1 · tan x (costante uoo)quindi sin x ≤ x ≤ tan x₁/^{cos x}

Limiti di polinomi

Per calcolare il limite di un polinomio per x → ±∞ basta calcolare il limite del termine di grado massimo.

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n, a₀ ≠ 0 grado n

P(x) = a₀xⁿ(1 + ^a₁/_a0¹/_x + ^a₂/_a0¹/_x² + ... + ^a_n/_a0¹/_xⁿ)

lim_{x → ±∞} P(x) = lim_{x → ±∞} a₀xⁿ(1 + ^a₁/_a0¹/_x + ... + ^a_n/_a0¹/_xⁿ) = lim_{x → ±∞} a₀xⁿ

Esempio:

lim_{x → -∞}(-7x³ + 3x² -16) = lim_x→-∞ -7x³ = ±∞

Limiti di funzioni razionali (rapporto polinomi)

P_n = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n, grado n

Q_k = b₀x^k + b₁x^k-1 + ... + b_k, grado k

lim_{x → ±∞} P_n(x) / Q_k(x) = lim_{x → ±∞} a₀xⁿ / b₀x^k = ^a₀/_b0 se n = k, 0 se n < k, ±∞ se n > k

Esempio:

lim_{x → ±∞} (2x - x²) / (3x² + 2) = lim_{x → ±∞} -x² / 3x² = lim_{x → ±∞} -¹/₃ = 0

lim_{x → ±∞} (2x³ + 5x² + 4x)/ x² = lim_{x → ±∞} 6x² = lim_{x → ±∞} 6x² / 1x² = ±∞

Limiti di funzioni trigonometriche

lim_{x → 0} ^{sin x}/_x = 1

lim_{x → 0} ^sin(x)/x = 1 è una funzione pari.

È sufficiente calcolare lim_x→0 ^sin(x)/x

L'area del triangolo ÔAÂ è minore di quella del settore circolare ÔÂâ che è a sua volta minore di quella del triangolo OTâ:

1. 1 ⋅ sin x ≤ 1 ⋅ x ≤ 1 ⋅ tan x

1 < ¹/_{cos x}

poiché lim_x→0 cosx = 1 e lim_x→0 1 = 1

Per il teorema del confronto: lim_x→0 xsinx = 1