Analisi matematica 2 - Serie numeriche

Analisi 2 - 23/11/12: serie numeriche

Abbiamo infiniti numeri reali \(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n\), diamo un senso alla somma degli "infiniti termini" \(\sum_{m=0}^{\infty} a_m\).

\(S_m = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_m\).

Si ha una successione che si chiama succ. delle somme parziali o ridotta; studiamo il comportamento di questa successione.

Definizione

Se la successione delle somme parziali converge e ha come limite:

1. \(\lim_{m \to \infty} a_m = S\), diciamo che la serie \(\sum_{m=0}^{\infty} a_m\) converge.
2. \(\lim_{m \to \infty} a_m = \infty\), allora diciamo che la serie diverge.
3. \(\epsilon \lim_{m \to \infty} a_n = \cancel{7}\), se la succ. non ha limite \(\Rightarrow\) Indeterminata.

E ha come somma S.

(Particolarmente se \(\lim_{m \to \infty} a_m = \pm\infty\), negativamente o positivamente;)

Es: serie geometriche

Sia \(x \in \mathbb{R}\) e sia \(a_m = x^m\).

\(a_0 = 1\)

\(a_1 = x\)

\(a_2 = x^2\)

\(S_m = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^m \lim S_m =?\)

\(\frac{a^{m+1} - b^{m+1}}{a - b} = (a-b)(a^t + a^{-1}b^{m-1} + b^{m+1} - b)\)

\(= (a-b)(a^t + a b, a^{-1} b^{m-1} + b + a t + b)\)

\(1-x^{n+1} - (1-x)(1+x(1 + x^t + x^m))\)

Analisi 2 - 23/11/12: serie numeriche

Abbiamo infiniti numeri reali \(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n\), diamo un senso alla somma degli "infiniti termini".

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n\]

\[S_n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_n\]

Si ha una successione che si chiama succ. delle somme parziali o ridotte. Studiamo il comportamento di questa successione.

Definizione

Se la successione delle somme parziali converge e ha come limite:

1. \[\lim_{n \to \infty} a_n = S\], diciamo che la serie \[\sum_{n=0}^{\infty} a_n\] converge.

E ha come somma S.

1. \[\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty\] allora diciamo che la serie diverge.

(Particolarmente se \[\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty\], negativamente il contrario;)

1. Se \[\lim_{n \to \infty} a_n \neq Z\], se la succ. non ha limite.

\[\Rightarrow\] Indeterminata

Es - Serie geometriche

Sia \(x \in \mathbb{R}\) e sia \(a_m = x^m\).

\[a_0 = 1\]

\[a_1 = x\]

\[a_2 = x^2\]

\[S_m = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^m \lim S_m?\]

\[\frac{(a^{n+1} - 1)}{a - 1} = (a - b)(a^m + a^{m-1} b^1 + a^{m-2} b^2 + \cdots + b^m)\]

\[\frac{x^{m+1} - 1}{1 - x} (1-x)(1 + x + x^2 + x^m)\]

\(S_m = 1 + x + x² + ... xⁿ \frac{1 - xⁿ⁺¹}{1 - x}\) \((x \ne 1)\)

Studio il limite: \(\lim_n→∞ S_m = \lim_n→∞ \frac{1 - xⁿ⁺¹}{1 - x}\).

(1) \(|x| < 1\), \(\lim_n→∞ xⁿ⁺¹ = 0\).

La serie geometrica \(∑^∞_n=0 xⁿ\) converge e ha come somma \(S = \frac{1}{1-x}\).

\(\lim_n→∞ S_m = \frac{1}{1-x}\).

(2) \(x > 1\), \(\lim_n→∞ S_m = +∞\) → La serie diverge positivamente.

(3) Se \(x = -1\) la serie è indeterminata.

Def: \(x\) si dice ragione della serie geometrica \(∑^∞_m=0 x^m\).

Operazioni lineari sulle serie

Date le serie \(∑^∞_m=0 a_m\) e \(∑^∞_m=0 b_m\).

Si chiama serie somma la serie \(∑^∞_n=0(a_m + b_m)\).

Per ogni \(K ∈ R\) possiamo calcolare le serie \(∑^∞_k=0 Ka_m\).

Proprietà: le ridotte della serie somma \(S_m\) sono la somma delle corrispondenti ridotte \(S_A\), \(S_B\) delle serie \(∑ a_m\), \(∑ b_m\).

\(\lim_n→∞ S_m = \lim_n→∞ (a_m + b_n) = \lim_n→∞ a_m + \lim_n→∞ b_m\).

Se le serie date convergono e hanno come somma \(S\) e \(σ\), allora anche la serie somma converge e ha come somma \(S+σ\).

Se \(Σa_n\) converge e ha come somma \(S\), allora \(Σ(k·a_n)\) converge e ha come somma \(k·S\).

Teorema

Sia \(Σ_n=0^∞ a_n\) una serie convergente, allora \(\lim a_n = 0_n→∞\).

\((D_n) → a_n = S_n - S_mn\), \(\lim a_n = \lim S_n - \lim S_{n-1n→∞ n→∞}\).

Se \(S_n\) è la somma delle serie, \(\lim S_n = \lim S_n = S \rarr; \lim a_n = 0\).

La condizione \(a_n ≠ 0\) non è suff. per avere convergenza della serie \(Σ_n=0^∞ a_n\).

\(a_n=\log(1+ 1/m)\), \(m= 1,2,3,\ldots\)

\(1+ 1/m = a_n= \log(m+1) - \log m\)

\(a₁= \log 2 - \log 1 =\)

\(a₂= \log 3 - \log 2\)

\(a_n = \log(m+1) - \log m\)

\(S_n = \log(m+1)\), \(\lim S_n = ± ∞ \rarr;\) la serie diverge.

Serie a termini positivi

^∞∑_n=0 \(a_n ≥ 0\).

Queste serie o convergono o divergono positivamente.

La successione \(\{S_n\}\) delle ridotte è monotona crescente, quindi:

• \(\{a_n\}\) succ. limitata ⇒ \(\lim S_n\) esiste ed è finita.
• Succ. non limitata ⇒ \(\lim S_n = +∞\)

Criterio del confronto

(Per succ. e termini positivi)

Siano date le serie ^∞∑_n=0 \(a_n\) e ^∞∑_n=0 \(b_n\).

Se, per ogni \(n\), \(b_n > a_n\) ⇒ \(∑ b_n\) è maggiorante, \(∑ a_n\) minorante.

1. Se ^∞∑_n=0 \(b_n\) converge con somma \(σ\), la serie ^∞∑_n=0 \(a_n\) converge con somma ≤ \(σ\).
2. Se ^∞∑_n=0 \(a_n\) diverge, anche la serie ^∞∑_n=0 \(b_n\) diverge.

Considero ^∞∑_n=1 \(1/n = 1 + 1/2 + 1/3\) (serie armonica).

Questa serie diverge, per confronto con la serie ^∞∑_n=0 \(\log(1 + 1/n)\).

\(\log(1 + 1/n)\)

Serie

∑ \(a_n = a₀ + a₁ + a₂ ... a_m\)

\(S_n = a₀ + ... a_m\)

La serie ∑ \(a_n\) converge se la successione (parziale) della somma parziale \(S_n\) ha limite finito; la serie diverge se \(\lim S_n = ±∞\).

Se la serie converge, il limite \(\lim S_n\) si dice somma della serie.

Criterio del confronto asintotico

Siano date 2 serie: ∑ \(a_n\) e ∑ \(b_n\) e consideriamo la successione \(|a_n / b_n|\).

\(a_n ≈ 0\), \(b_n ≈ 0\), supponiamo che esiste finito il \(\lim _n→∞ a_n / b_n\). Allora:

• Se ∑ \(b_n\) converge ⇒ ∑ \(a_n\) converge.
• Se ∑ \(b_n\) diverge ⇒ ∑ \(a_n\) diverge.

Oss: se il \(\lim _n→∞ a_n / b_n =\) finito ≠ 0, allora, le due serie hanno lo stesso comportamento.

Es: confrontiamo le due serie; con termini generali:

\(a_n = 1/n²\) e \(b_n = 1/n(n-1)\).

La serie \(b_n\) converge ⇒ \(b_n = -1/n + 1/(n-1)\).

\(S₂ = 1 - 1/2\)

\(S₃ = -1/3 + 1/2\)

\(S₄ = -1/4 + 1/3\)

\(S_n = S₂ + S₃ + S₄ = 1 - 1/n\)

\(\lim_n→∞ S_n = 1\)

La serie ∑ \(b_m\), calcoliamo il limite …

Conclusione: la serie \(1/n²\) converge.

Criterio del rapporto

Una serie a termini assolutamente positivi entra finito il limite …

La serie converge.

La serie diverge. Calcoliamo: … la serie converge.

Se il lim ∑ non si può concludere nulla.

La serie armonica diverge.

Considero il caso ∀ε ∃N ⇒ ∃ m>N ⇒  &vert;^a_m+1⁄_am &vert;<ε ⇒ p-ε<^a_m+1⁄_am <p+ε .

Se \(\epsilon/p < \Lambda < 1\) ∃ \(N\), \(m > N\) ⇒ ^a_m+1⁄_am<A ⇒ a_m+1< a_m •∗ (criterio del rapporto) supponiamo che esista finito \(Π <1\) converge.

Criterio di McLaurin

Considero una funzione \(f: ℝ → ℝ\), che ma decrescente e tale che \(f(x)>x₀\) ∀\(x ε [ 1,+∞)\) e considero la serie:

Σ  →  - il teorema in questa ipotesi.

La serie \(Σ_m=1^+∞ f(m)\) converge, se e sol se converge \(∫₁^+∞ f(x) dx\).

In questo caso \(∫₁^+∞ f(x) dx → Σ_m=1^+∞ f(m+1) &leq; ∫₁^+∞ f(x) dx < Σ₁^+∞ f(m)\).

Altra generalizzazione

∑_n=1^∞ \(a_n\) converge se \(a_n\) è un infinitesimo di ordine superiore a \(1/n\), un numero maggiore di 1.

Serie a segni alterni

∑_m=0^∞ \(a_m = (-1)^m b_m\), \(b_m > 0\).

Criterio di Leibniz

1. \(\lim _m→∞ b_m = 0\)
2. La succ. \(b_m\) è decrescente.
3. La serie converge.

Inoltre se \(S\) è la somma della serie, \(|S - S_m| < b_m+1\).