Analisi matematica 2 - Serie numeriche

ANALISI 2 - 23/11/12

SERIE NUMERICHE

Abbiamo infiniti numeri reali a₀, a₁, a₂, ..., aₙ, diciamo un senso alla somma degli "infiniti termini"

∑ aₙ ₙ₌₀

Sₙ = a₀ + a₁ + a₂ + ... + aₙ

Sₙ ha una successione che si chiama succ. delle SOMME PARZIALI o RIDOTTE, studiamo il comportamento di questa successione

DEF Se la successione della SOMA parziale converge e ha come limite

1. lim aₙ = S, diciamo che la SERIE ∑ aₙ CONVERGE ₙ→∞

e ha come somma S:

1. lim aₙ = ±∞ , allora diciamo che la serie diverge ₙ→∞

(praticamente se lim aₙ = ±∞, maggiormente è la divergenza;)

1. se lim aₙ ≠ ∄, e la succ. non ha limite ₙ→∞

=> INDETERMINATA

ES → SERIE GEOMETRICHE

Sia x a ∈ℝ e sia aₙ = x^ₙ

a₀ = 1 a₁ = x a₂ = x^₂

Sₘ = 1 + x + x^₂ + x^₃ + ... + x^ₙ lim Sₘ = ?

• (a^ₘ⁺¹ - b)^{{n +1}}) = (a - b)^{aₙ+1-1} / (1 - x)
• 1 - x^ₙ⁺¹ = (1 - x) (1 + x + x^ₙ + x^ₘ)

S_m = 1 + x + x² ... + x^m

(x ≠1)

Studio il limite:

1. x≠1

lim S_m = lim (x^m+1-1) / (x-1) = 1/(1-x)

• La serie Σ xⁿ converge e ha come somma S = 1 / (1 - x)

2. x ≠1 lim (x^m+1 / xⁿ⁺¹)

x ≠1

Lim S_m = 1 / (1 - x)

3. x=1 la serie è indeterminata

DEF x &ne d_om r_a di_one della serie geometrica

Operazioni lineari sulle serie

D^a l^e s^eri^e

Σ _m=0 ^∞ ai = Σ _n=0 ^∞ bj

Si ch_ia_ma se_rie so^mma la s_eri^e Σ _i=0

(a_m+b_n)

P_er o^gni K∈R pe_rm^an^o cavic_lare la s_eri^e

Proprieta

Le ^r_iscie de_lla serie somma Σ_u soⁿ l_a s_omm^a

delle Σ_a

1. Lim S_u = Lim (a_m + b_n = Lim a_m + b_n

la SERIE _m=2∑_∞ b_m = ¹/_(m-1) CONVERGE

calcoliamo lim_m->∞ ^c_m+1/_bm = lim_m->∞ ^1/m2/_1/(m-1) = (m-1)/m = 1

CONCLUSIONE: la serie _m=2∑_∞ CONVERGE

CRITERIO del RAPPORTO

* sia _m=0∑_∞ a_m una serie a termini strettamente positivi (a_m >0), si proniamo:

entra finiti la lim_m->∞ ^a_m+1/_am

• < 1 la SERIE CONVERGE
• > 1 la SERIE DIVERGE
• = 1

Esempio 3:

∑_n=1^a_m a_m = ^m/_e^m

CALCOLIAMO: ^a_m+1/_am = ^{(m+1) e-(m+1)}/_{m e^-m} -> lim_m->∞ ^(m+1)/ _{m e} ^{= e -<1} la serie CONVERGE

Osservazione 3:

Se il lim_m->∞ ^a_m+1/_am =1 no ⁿ piuo` conicurre nulla

_n=1∑_∞ 1/n -> lim_m->∞ ^a_m+1/_am ^{= m}/_m+1 -> 1

SERIE ARMONICA diverge (dimostrato prima)

_n=1∑_∞ ¹/_n² -> lim_m->∞ ^a_m+1/_am = _(m+1)²/m ⁼¹