Analisi matematica 2 - Serie numeriche

Analisi 2 - 23/11/12

Serie Numeriche

Abbiamo infiniti numeri reali \( a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, \) diciamo un senso alla somma degli "infiniti termini"

\(\sum_{m=0}^{\infty} a_m\)

\(S_m = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_m\)

Si ha una successione che si chiama succ. delle somma parziali o ridotta; studiamo il comportamento di questa successione

Def: Se la successione della somma parziali converge e ha come limite

1. \(\lim_{m \to \infty} a_m = S\), diciamo che la serie \(\sum_{m=0}^{\infty} a_m\) converge

e ha come somma S:

2. \(\lim_{m \to \infty} a_m = \infty\) allora diciamo che la serie diverge

(particolarmente se \(\lim_{m \to \infty} a_m = \pm\infty\), negativamente o positivamente;)

3. \(\epsilon \lim_{m \to \infty} a_n = \cancel{7} \) se la succ. non ha limite⇒ Indeterminata

Es: Serie Geometriche

Sia \(x \in \mathbb{R}\) e sia \(a_m = x^m\)

\(a_0 = 1\)

\(a_1 = x\)

\(a_2 = x^2\)

\(S_m = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^m \lim S_m =?\)

\(\frac{a^{m+1} - b^{m+1}}{a - b} = (a-b)(a^t + a^{-1}b^{m-1} + b^{m+1} - b)\)

\(= (a-b)(a^t + a b, a^{-1} b^{m-1} + b + a t + b)\)

\(1-x^{n+1} - (1-x)(1+x(1 + x^t + x^m))\)

Analisi 2 - 23/11/12

Serie Numeriche

Abbiamo infiniti numeri reali \(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n\), diamo un senso alla somma degli "infiniti termini"

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n\]

\[S_n = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_n\]

Si ha una successione che si chiama succ. delle somme parziali o ridotte. Studiamo il comportamento di questa successione.

Def Se la successione delle somme parziali converge e ha come limite

1. \[\lim_{n \to \infty} a_n = S\], diciamo che la serie \[\sum_{n=0}^{\infty} a_n\] converge

e ha come somma S.

1. \[\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty\] allora diciamo che la serie diverge

(partivvamente se \[\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty\], negativamente il contrario;)

1. se \[\lim_{n \to \infty} a_n \neq Z\], se la succ. non ha limite

\[\Rightarrow\] Indeterminata

Es - Serie Geometriche

Sia \(x \in \mathbb{R}\) e sia \(a_m = x^m\)

\[a_0 = 1\]

\[a_1 = x\]

\[a_2 = x^2\]

\[S_m = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^m \lim S_m?\]

\[\frac{(a^{n+1} - 1)}{a - 1} = (a - b)(a^m + a^{m-1} b^1 + a^{m-2} b^2 + \cdots + b^m)\]

\[\frac{x^{m+1} - 1}{1 - x} (1-x)(1 + x + x^2 + x^m)\]

S_m = 1 + x + x² + ... xⁿ 1 - xⁿ⁺¹/1 - x (x ≠ 1)

Studio il limite:

lim_n→∞ S_m = lim_n→∞ 1 - xⁿ⁺¹/1 - x

(1)

|x| < 1 lim_n→∞ xⁿ⁺¹ = 0

La serie ∑^∞_n=0 xⁿ converge e ha come

somma S = 1/1-x

lim_n→∞ S_m = 1/1-x

(2)

x > 1 lim_n→∞ S_m = +∞ → La serie diverge positivamente

(3)

se x = -1 la serie è indeterminata

DEF

X si dice ragione della serie geometrica ∑^∞_m=0 x^m

Operazioni lineari sulle serie

Diani date le serie ∑^∞_m=0 a_m ∑^∞_m=0 b_m

Si chiama serie somma la serie ∑^∞_n=0(a_m + b_m)

Per ogni K ∈ R possiamo calcolare le serie ∑^∞_k=0 Ka_m

Proprietà: le ridotte della serie somma S_m sono la somma delle

corrispondenti ridotte S_A, S_B delle serie ∑ a_m, ∑ b_m

lim_n→∞ S_m = lim_n→∞ (a_m + b_n) = lim_n→∞ a_m + lim_n→∞ b_m

Se le serie date convergono e hanno come somma S e σ allora anche la serie somma converge e ha come somma S+σ.

Se Σa_n converge e ha come somma S allora Σ(k·a_n) converge e ha come somma k·S.

Teorema

Sia Σ_n=0^∞ a_n una serie convergente, allora lim a_n = 0_n→∞

(D_n) → a_n = S_n - S_mn,

lim a_n = lim S_n - lim S_{n-1n→∞ n→∞}

Se S_n è la somma delle serie lim S_n= lim S_n = S → lim a_n = 0

La condizione a_n≠ 0 non è suff. per avere convergenza della serie

Σ_n=0^∞ a_n;

a_n=log(1+ 1/m) m= 1,2,3,...

1+ 1/m = a_n= log(m+1) - log m

a₁= log 2 - log 1 =

a₂= log 3 - log 2

a_n = log(m+1) - log m

S_n = log(m+1), lim S_n = ± ∞ → la serie diverge

SERIE A TERMINI POSITIVI

^∞∑_n=0 a_n ≥ 0

Queste serie o convergono o divergono positivamente

La successione {S_n} delle ridotte è monotona crescente, quindi:

1. {a_n} succ. limitata ⇒ lim S_n esiste ed è finita
2. succ. non limitata ⇒ lim S_n = +∞

CRITERIO DEL CONFRONTO (per succ. e termini positivi)

Siano date le serie ^∞∑_n=0 a_n e ^∞∑_n=0 b_n

Se, per ogni n, b_n > a_n ⇒ ∑ b_n è maggiorante, ∑ a_n minorante

1. Se ^∞∑_n=0 b_n converge con somma σ, la serie ^∞∑_n=0 a_n converge con somma ≤ σ
2. Se ^∞∑_n=0 a_n diverge, anche la serie ^∞∑_n=0 b_n diverge

CONSIDERO ^∞∑_n=1 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 (serie armonica)

Questa serie diverge, per confronto con la serie ^∞∑_n=0 log(1 + 1/n)

log(1 + 1/n) < 1/n → la serie armonica è maggiorante per la serie convergente log(1 + 1/n)

SERIE

∑ a_n = a₀ + a₁ + a₂ ... a_m

S_n = a₀ + ... a_m

La serie ∑ a_n converge se la successione (parziale) della somma parziale S_n ha limite finito;la serie diverge se lim S_n = ±∞

Se la serie converge, il limite lim S_n si dice somma della serie

CRITERIO del CONFRONTO ASINTOTICO

Siano date 2 serie: ∑ a_n e ∑ b_n e consideriamo la successione |a_n / b_n|.

a_n ≈ 0, b_n ≈ 0, supponiamo che esiste finito il lim _n→∞ a_n / b_n. Allora:

• se ∑ b_n converge ⇒ ∑ a_n converge
• se ∑ b_n diverge ⇒ ∑ a_n diverge

OSS Se il lim _n→∞ a_n / b_n = finito ≠ 0, allora, le due serie hanno lo stesso comportamento

Es Confrontiamo le due serie; con termini generali:

a_n = 1/n² e b_n = 1/n(n-1)

la serie b_n converge ⇒ b_n = -1/n + 1/(n-1)

• S₂ = 1 - 1/2
• S₃ = -1/3 + 1/2
• S₄ = -1/4 + 1/3

S_n = S₂ + S₃ + S₄ = 1 - 1/n

lim_n→∞ S_n = 1

la SERIE ∑ b_m

calcoliamo il lim …

CONCLUSIONE: la SERIE 1/n² CONVERGE

CRITERIO DEL RAPPORTO

una SERIE a termini Assolutamente positivi

entra finito il lim …

• la SERIE CONVERGE
• la SERIE DIVERGE

CALCOLIAMO: … la SERIE CONVERGE

Se il lim ∑ non si può concludere nulla

SERIE ARMONICA diverge

Considero il caso

∀ε ∃N ⇒ ∃ m>N ⇒  |^a_m+1⁄_am |<ε ⇒ p-ε<^a_m+1⁄_am <p+ε

Se ε/p < Λ < 1

∃ N, m > N ⇒ ^a_m+1⁄_am<A ⇒ a_m+1< a_m •

∗ (criterio del rapporto) supponiamo che esista finito

Π <1 CONVERGE

CRITERIO DI McLAURIN

Considero una funzione f: ℝ → ℝ, che ma decrescente e tale che f(x)>x₀∀x ε [ 1,+∞) e considero la serie:

Σ  →  - il teorema in questa ipotesi.

la serie Σ_m=1^+∞ f(m) CONVERGE, SE e SOLSE CONVERGE ∫₁^+∞ f(x) dx

In questo caso ∫₁^+∞ f(x) dx → Σ_m=1^+∞ f(m+1) ≤ ∫₁^+∞ f(x) dx < Σ₁^+∞ f(m)

Altra generalizzazione

∑_n=1^∞ a_n converge se a_n è un infinitesimo di ordine superiore a 1/n un numero maggiore di 1

Serie a segni alterni

∑_m=0^∞ a_m = (-1)^m b_m, b_m > 0

Criterio di Leibniz

Se 1. lim _m→∞ b_m = 0

2. la succ. b_m è decrescente

3. la serie converge

Inoltre se S è la somma della serie |S - S_m| < b_m+1