Analisi matematica 1 - integrali

INTEGRALI

1) PROBLEMA DELLE AREE

• proprietà additiva: aree di figure separate possono essere sommate
• metodo di Archimede per area del cerchio: poligoni inscritti e circoscritti → il limite comune è l'area del cerchio
• area del settore parabolico (Archimede)

2) LUNGHEZZA DI UNA CURVA

• si assume il segmento e l'arco di curva coincidano → si genera una spezzata che si avvicina alla lunghezza reale (di alcune non si può sapere → frattali)
• Fermat (1636) → aree di sotto di curve tipo xⁿ (con n > -1) riconducendosi alla somma delle aree di rettangoli
• => metodo perfezionato

3) INTEGRALE COME LIMITE DI UNA SOMMA

• area sottesa da un parabola suddividiamo [0; 1] in n parti, con ampiezza d_n
  • j-esimo rettangolo di Area: 1/n [(j - 1/2)/n ((j - 1/2)/n)] →
  • => la somma di tutti i rettangoli che posso costruire

S= ∑_j=0^n-1 1/n [(j - 1/2)/n ((j-1/2)/n)] → ∑_j=0^n-1 [(j - 1/2)²] / n³

=> A = lim_{n→ +∞} ∑_j=0^n-1 < (j-1/2)² < / n³ → 1/3

• sia f: [a, b] → ℝ (**limitata**) - dividiamo [a, b] in n parti (uguali) = b-a = h
  • X_j = a + j · h

=> per ogni intervallo [X_j, X_j+1] scegliamo un punto è_j ∈ [X_j, X_j+1] costruendo i rettangoli di base X_j+1 - X_j alta f(è_j)^[h&h;] altre base f(è_j) · h

=> un'approssimazione dell'area ∑ [f(è_j)] [b-a / n] = ∑ δ_n detto Cauchy Riemann

Integrali

1. Problema delle aree

   Proprietà additiva: aree di figure separate possono essere sommate.

   • metodo di Archimede per area del cerchio → poligoni inscritti e circoscritti:
   • I limiti comune è l'area del cerchio
   • area del settore parabolico (Archimede)

2. Lunghezza di una curva

   • Si assume il segmento e l'arco di curva coincidente

     • si genera una spezzata che si avvicina alla lunghezza reale (di alcune non si può sapere → frattali)
   • Fermat (1636) → area di sotto di curve tipo xⁿ (con n > -1)
   • riconducendosi alla somma dell'area dei rettangoli
   • metodo perfezionato

• Integrale come limite di una somma

  1. Area sottesa di un parabola

     • suddividiamo [0;1] in n parti, con ampiezza Δx = 1/n
     • j-esimo rettangolo di area: 1/n (1/n) (j/n) (j/n) →
     • La somma di tutti i rettangoli che posso costruire
     • s = ⁿ∑_j=0 1/n (j/n)² → ^n-1∑_j=0 1/n³ n(n+1) (2n+1) / 6
     • ⇒ l = lim s_n² + o(3)ⁿ = 1/3

  2. Sia f: [a,b]→ℝ (f limitata)

     • dividiamo [a,b] in n parti (uguali) = b-a = h
     • x_j = a + j * h

     • per ogni intervallo (x_j; x_j+1) scegliamo un punto ζ_j es

     • il rettangolo di base (x_j-x_j) altezza f(ζ_j) ha area l = f(ζ_j) Δn
     • un'approssimazione dell'area è ^n-1∑_j=0 f(ζ_j) Δn detta Cauchy Riemann

• def. 6.1

f: [a,b] → ℝ ѐ integrabi