Analisi matematica 1 - integrali

INTEGRALI

1) PROBLEMA DELLE AREE

• proprietà additiva: aree di figure separate possono essere sommate
• metodo di Archimede per area del cerchio → poligoni, iscritti e circoscritti = il limite comune è l'area del cerchio
• area del settore parabolico (Archimede)

2) LUNGHEZZA DI UNA CURVA

• si assume il segmento e l'arco di curva coincidenti => si genera una spezzata che si avvicina alla lunghezza reale (di alcune non si può sapere → frattali)
• Fermat (1636) → area al di sotto di curve tipo xⁿ (con n→ -1) riconducendosi alla somma delle aree di rettangoli
• => metodo perfezionato

• INTEGRALE COME LIMITE DI UNA SOMMA

G5 area sottesa da un parabola suddividiamola [0;1] in n parti, con ampiezza ΔL = 1/n

j-esimo rettangolo di Area: 1/n · [j/(n)]² →

=> la somma di tutti i rettangoli che posso costruire

n-1 j

Σ 1/(n)³ [j²] => n-1 j=0

= 1/n³ [Σ j² = n(n-1)(n-1) / 6]

=>

lim Σ

(n+1)³/i=0

1/3

sia f: [a,b,]→R (ƒ limitata)

• dividiamo [a,b] in n parti (uguali) => b-a = h
• x_j = a + j·h

=>

per ogni intervallo (x_j, x_j+1) scegliamo un punto ξ_j ε (x_j, x_j+1)

• somma di base f(ξ_j)·[x_j+1- x_j ≈ h
• ≈ un'approssimazione dell'area Σj=1 f(ξ_j) (b-a)=

detto Cauchy Riemann

def. 6.1

f: [a, b] → R e integrabile in [a, b] se detta S_N una qualsiasi sua somma di Riemann,

∃ finito lim S_N ∈ R e tale limite non dipende dalla scelta dei ξ_j

in tal caso, si pone lim_{N → ∞} S_N = ∫_a^b f(x) dx → integrale definito(il risultato è un numero)

a, b = estremi di integrazionef = funzione integrandax = variabile muta (il risultato è un numero, quindi posso dare il nome che voglio)

Interpretazione geometrica

∫_a^b f(x) dx = somma algebrica di aree = F₁ - F₂

= numero è negativo se il grafico è sotto l'asse x

oppure F₁ = ∫_a^c f(x) dx = F₂ = ∫_c^b f(x) dx

=> |A_tot| = ∫_a^b |f(x)| ≠ ∫_a^b f(x) dx

→ integrale ≥ 0 solo se la funzione è positiva

Funzioni integrabili:

Th. 6.4: se f [a, b] in R è continua => limitata => integrabile in [a, b]

Th. 6.5: se f [a, b] in R monotona e limitata => integrabile in [a, b]

Th. 6.6: se f [a, b] → R e f₂ [b, c] in R e se sono entrambe integrabili, allora anche

f(x) = f₁(x) per x ∈ [a, b) e in b f definita = f(x) integrabile

{f₂(x)} per x ∈ (b, c] come si vuole

1. Proprietà degli integrali:

siano f e g integrabili in [a, b]

2. linearità: se α, β costanti anche α f(x) + β g(x) integrabile e vale che ∫_a^b [α f(x) + β g(x)] dx = α ∫_a^b f(x) dx + β ∫_a^b g(x) dx
3. additività integrale rispetto all'intervallo di integrazione

se a < c < b => f integrabile in [a, c] e [c, b] e ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

convenzione: ∫_a^b f(x) dx = - ∫_b^a f(x) dx

a_n = αⁿ, n^ω sinh(¹/_n)

con α, ω ∈ ℝ

∑ a_n = ?

• se ω < 0 ⇒ segno alterno
• ω = 0 ⇒ ∑ a_n = 0
• ω > 0 ⇒ segno positivo

⇒ |b_n| = |α|ⁿ, n^ω sinh(¹/_n)

en (|α|1) = (|α|1) * n^ω sinh(¹/_n) = q_n * n^-ω sin ¹/_n

con q = |α|1

x = ¹/_n ⇒ 0 ⇒ sin ¹/_n ⟷ ¹/_n

|b_n| ∼ q_n, n^-ω, e¹/_n = n q_n = b_n per n → +∞

criterio del rapporto per b_n

|b_n+1| ∼ |b_n+1| ∙ (n + 1)_q, q_n+1

|b_n| b_n n q_n

⇒ p₁ … q q → ∞

⇒ se q > 1, cioè se |α|1 > e => a_n non è infinitesima => non converge

se q < 1, cioè se |α|1 < e => per il criterio del rapporto per le serie, la serie |b_n| converge => ∑ a_n converge

se α_n = 1 => |b_n| = n^ω sinh(¹/_n) ∙ n → +∞

⇒ |b_n| non infinitesima

ω ∉ ℝ

|a_n| → +∞ ∑ a_n → +∞

α < -e a_n = -y ∙ |a_n| = serie irregolare

-e < α < e => converge assolutamente e quindi semplicemente per il criterio del rapporto

1 _x(x-3)

x-1

∫ 1 _x-3 dx - ∫ 1 _x-1 dx = ln|x-3| - ln|x-1| = ln|

x-3

x-1 |+c

• denominatore di II grado

es ∫ x³dx -∫ x

x³ +1 dx = 1

x³ es

es ∫ x-1 _(x³+4)(x+1) dx - ∫ x

(x²+4)(x+1)+1 dx = ∫

x _(x+9)(x³+4) dx =

-∫ 1 _(x+3²)-μ dx

Δ_x<0

-1 _(x+3) dx+1⁄2 - 4 _(x³+2⁴)

x³ dx = 1

x³ ln(x³+4)(x+5)-4 arg tg(x+2)+c

es ∫ x _9x³+4 dx = 1⁄4 ∫ x _9t²+4 dx

t=3.x

u∫ it ₉ dt

t+²

∮

1 ₃ ∫ t dt = 1 ln(1+t²) 4

2 9 9 18 ln(1+9 ^x3 ) 1 1 ln(4+9 ^x3 ) ln(3 ^x4 )

18 4 18 4 18

es

∫ 3+3.x+x² dx = ∫(A x (A²+1)+B X dx =

x

(x⁴+1) A(X³+1)+B X dx =

x(x³+1)

A³+B x⁴+C x³+C

(x⁴+1)

⇒ {A+4B.C=1 ⇒ ∫ 1 dx

C.3 0 x

{a.2 y

• differenziabile di una funzione

Sia f: D → R derivabile in x₀ con f'(x₀) =→ y = f(x⁰) + f'(x₀) (x-x₀)

Δf = f.(x₀+dx) - f(x₀) sulla funzione

df d → f(x₀)(x₀+dx-x₀) ≅ f'_(x0)b(x) sulla retta tagente

metodo veloce per stimare Δx in prossimità di x₀

1) sostituisco la variaiione di y con una funzione Iineare

∫(x) dx = _

∫ ∑ f( ) (x_j - x^Ej-1) ^E ⇒ n dx c e la base detta rettangolino

se poniamo xe = g(b) ⇒ ∫ f(a(t)).dg(t) = ∫ f(g(t)) .g'(t) dt

• INTEGRAZIONE PER PARTI

denota della regola di derivazione del prodotto

Siano f e g derivabili = [F.g.] = F'g+g'.f

⇒∫'e(g) dx = ∫ f.g' dx-∫f'.g dx ⇒ f.g-∫ f'g dx + ∫f'g' dx =

∫f.g dx = F_a -∫f'oF.g.dx