Analisi 1

La nozione di funzione biiettiva (o, come si dice, di che biunivoca) è l'elemento chiave che permette di affrontare la questione della "numerosità" degli insiemi, anche infiniti elementi. Si tratta in vero di un'operazione assai complessa e profonda della quale verranno accennati solo gli elementi di base, utili ai fini del corso.

Definizione

Due insiemi (di qualsiasi natura) A e B si dicono equipotenti, o equivalentemente, sono detti avere la stessa cardinalità se esiste una funzione Φ: A→B biiettiva.

Esempio

L'insieme dei naturali e l'insieme dei naturali pari sono equipotenti. Per vederlo, è sufficiente considerare la funzione Φ: ℕ→ℙ, definita da

Φ(n) = 2n.

Essa è iniettiva, perché

Φ(n₁) = Φ(n₂) implica 2n₁ = 2n₂ allora n₁ = n₂.

Essa è anche suriettiva, perché

∀ p ∈ ℙ, ∃ n ∈ ℕ: p = Φ(n).

Basta porre n = p/2.

Si nota che ℙ ⊂ ℕ, ma ℙ ≠ ℕ (cioè è un sottoinsieme proprio di ℕ).

II.8

ESEMPIO

Gli insiemi Z ed N sono equipotenti. Infatti la funzione Φ: N → Z, definita da

• Φ(n) = n/2, se n ∈ P
• Φ(n) = (n+1)/2, se n ∈ ℕ \ P

risulta biiettiva. Infatti, se Φ(n₁) = Φ(n₂), allora deve essere

1. n₁/2 = n₂/2 e quindi n₁ = n₂
2. (n₁+1)/2 = (n₂+1)/2 e quindi n₁ = n₂

sicché Φ è iniettiva. Inoltre, data un'arbitraria z ∈ Z, se z ≥ 0, ponendo n = 2z, si ha

• n ∈ P e Φ(n) = Φ(2z) = z

se z < 0, ponendo n = -2z - 1, si ha

• n ∈ ℕ \ P e Φ(n) = -(2z - 1) + 1/2

sicché Φ è anche suriettiva. Si noti che N è sottoinsieme proprio di Z.

DEFINIZIONE

Ogni insieme equipotente ad N è detto NUMERABILE (o anche ha la cardinalità del numerabile). La cardinalità del numerabile si denota con il simbolo ℚ₀ (si legge alef zero).

Si vuole ora mostrare che ciò non è vero, costruendo un elemento x ∈ [0,1] attraverso la sua rappresentazione decimale, che non può trovare posto nella tabella di cui sopra. Si pone

x = 0, b₁ b₂ b_i,

dove b_i ∈ {4, 5} con la regola

b_i = {

• 5 se a_ii ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
• 4 se a_ii ∈ {5, 6, 7, 8, 9}

È immediato osservare che

b_i ≠ a_ii, ∀ i ∈ ℕ

Di conseguenza

x ≠ r_i, ∀ i ∈ ℕ

La contraddizione a cui si perviene deriva dall’aver supposto [0,1] numerabile e quindi dimostra la non numerabilità di tale insieme.

In realtà, un qualsiasi insieme del tipo

(α, β) = {x ∈ ℝ: α < x < β}

dove α, β ∈ ℝ, con α < β, risulta equipotente ad ℝ.

e

(f_og)(x)= 2 log₂ y^−y, ∀ y ϵ (0, +∞),

si ha che f è invertibile e f⁻¹ = g.

Osservazione

Ripensando alla definizione stessa del concetto di funzione e alla proprietà di biettività, si deduce che una funzione f: A → B è invertibile se essa è biunivoca!