Analisi matematica 1 e geometria (cfu 10)

Numeri: oggetti elementari, sulla base dei quali nasce la soluzione

Numeri naturali

IN = { 0, 1, 2, ... } contare. Somma e prodotto sono operazioni "interne", ossia il cui risultato danno numeri naturali: => IN è un insieme chiuso rispetto alla somma e al prodotto ∀a,b ∈ IN => a+b ∈ IN chiusura algebrica e b ∈ IN.

Il "-" e ":" non sono operazioni interne.

Interi

ℤ = { 0, 1, 2, 3, -3, ... } => nati dal bisogno di completare l'insieme numerico => approccio pratico. ℤ è chiuso rispetto a somma, prodotto e differenza.

Razionali

ℚ = da quoziente = { ^p/_q con p, q ∈ ℤ con q ≠ 0 }. ℚ è chiuso rispetto a tutte le operazioni.

Il campo e la struttura algebrica di ℚ: ha due operazioni (le + e le x) dotate delle seguenti proprietà: ∀a,b,c ∈ ℚ

• Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
• Proprietà commutativa: a+b = b+a / a·b = b·a

Numeri: oggetti elementari, sulla base dei quali nasce la matematica

Numeri naturali

N = { 0, 1, 2, ... } cardinali. Somma e prodotto sono operazioni "interne", ossia il cui risultato danno numeri naturali. => N è un insieme chiuso rispetto alla somma e al prodotto ∀a, b ∈ N => a+b ∈ N | chiusura algebrica e b ∈ N.

Il "-" e "÷" non sono operazioni interne.

Interi

Z = { 0, 1, 2, 3, -3, ... }. Z è chiuso rispetto a somma, prodotto e differenza.

Razionali

Q = frazioni. Q è chiuso rispetto a tutte le operazioni. Il campo e la struttura algebrica di Q: ha due operazioni (la + e la x) dotate delle seguenti proprietà: ∀a, b, c ∈ Q

• Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
• Proprietà commutativa: a+b = b+a / a·b = b·a

Elementi neutri e inversi

Esiste almeno un elemento unitario (neutro) sia per le somme "0" perché e + 0 = e sia per il prodotto "1" perché e · 1 = e. Esiste almeno un elemento inverso sia per le somme -e perché e - e = 0 sia per il prodotto a^-1 perché e · e^-1 = 1 (tali elementi danno vita all'elemento unitario).

Irrazionali

IRRAZIONALI = Non come complemento di R, infatti oggi è questo insieme numeri con rappresentazione infinita non periodica ∈ ℚ (R è un elemento di ℚ).

1/2 = 0,5 (numero finito di cifre dopo la virgola) 1/3 = 0,3 (numero con cifre dopo la virgola che si ripetono)

Dimostrazione: irrazionalità √2 (per assurdo)√2 = => 2 = ^p²⁄_q² => p² = 2q² con p e q primi tra loro ossia non hanno fattori comuni (frazione già semplificata) p = q pari => NO, perché avrebbero 2 come fattore comune. p o q dispari => 2q² pari e q² dispari NO. q dispari => q || p pari => p² dispari e q² pari NO. p pari e q dispari. p² = pari e scomponendolo sarà 2x...q² è dispari ed è moltiplicato per 2 NO p² ≠ 2q² ∀p, q ∈ ℝ.

Q sono insiemi ordinati

∀a, b ∈ ℝ e a ≠ b ⇒ a < b. Così posso elencare numeri in una retta orientata e Q rette continue Q salti da punto e punto.

Osservazioni

Dire "ordinato" sottintende che c'è compatibilità con le strutture algebriche che ho implantato.

Dire "compatibili" rispetto alle somme significa: ∀ a, b ∈ ℝ a ≤ b ⇒ ∀ c ∈ ℝ a + c ≤ b + c.

Dire "compatibili" rispetto al prodotto significa: ∀ a, b ∈ ℝ: a ≤ b ⇔ ∀ c > 0 ⇒ a ⋅ c ≤ b ⋅ c.

Ampliamo l'insieme numerico

Al fine di dare una soluzione e tutte le equazioni che non hanno soluzione in ℝ x² + 1 = 0 ⇒ non ha soluzione in ℝ perché non c’è nessun numero tale che elevato al quadrato dia un numero negativo.

Equazione

Espressione matematica con una incognita. Sia p_ℝ, e, poiché p_ℝ è una retta, mi muovo nel piano E (a ; b) ⇒ abbiamo una coppia di ordinate a, b.

Definizione di somma tra coppie

⊕z₁ ⊕ z₂ con z₁ (a₁, b₁) z₂ (a₂, b₂) z₁ ⊕ z₂ = (a₁ + a₂, b₁ + b₂).

N.B. ciascuno degli elementi nelle coppie è Reale. Queste coppie: associative, commutative, esiste un elemento neutro (0;0), esiste l'inverso => (e;