Analisi matematica 1 e geometria (cfu 10)

-NUMERI — oggetti elementari, sulla base dei quali nasce il fenomeno

# Naturali IN= {0; 1; 2; ...} contare

Somma e prodotto sono operazioni "interne", ossia: il risultato

somma numeri naturali => IN è un insieme chiuso rispetto alle somme

e il prodotto.

∀ a, b ∈ IN ⇒ a + b ∈ IN (chiusura algebraica)

e b ∈ IN

Il "÷ e -" non sono operazioni interne

# INTERI: ℤ= {0; -1; 2; -3; ...} => NASCE del bisogno di

ampiere a livello numerico => approccio pratico

ℤè chiuso rispetto a somma, prodotto e differenza.

# RAZIONALI: ℚ => da quoziente = {^p/_q con p, q ∈ ℤ con q ≠ 0}

ℚè chiuso rispetto a tutte le operazioni.

Il campo è la struttura algebrica di ℚ: ha due operazioni (le + e il x)

dotate delle seguenti proprietà: ∀ a, b, c ∈ ℚ

• proprietà associativa: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
• proprietà commutativa: a + b = b + a / e b . a = b . a

esiste almeno un elemento unitario (neutro)

• sia per la somma
  • "0"
    • perché e + 0 = e
• sia per il prodotto
  • "1"
    • perché e ⋅ 1 = e

esiste almeno un elemento inverso

• sia per la somma
  • -
    • perché e - e = 0
• sia per il prodotto
  • a^-1
    • perché e ⋅ e^-1 = 1

tali elementi danno vita all'elemento unitario.

• IRRAZIONALI - Nasce come complementare di Q, infatti, Q∪... e questo insieme numeri con rappresentazione infinita non periodica
• A ∈ Q ∈ 1/2 = 0,5 (numero finito di cifre dopo le virgole)
• 1/3 = 0,3 (numero con cifre dopo le virgole da ripetere)

unità di misura

unità di misura

Secondo le definizione di prodotto i² = -1

In a ⚬ i b

• a = parte reale
• b = (coefficiente delle i) = parte immaginaria, che è un numero reale.

2. Z₁ ⚬ Z₂ = (a₁ + i b₁) ⚬ (a₂ + i b₂) =

• = a₁ a₂ + a₁ i b₂ - i b₁ a₂ + i² b₁ b₂ =
• = a₁ a₂ - i₁ b₂ + i b₂ a₁ - b₁ b₂

infatti i² = -1

Calcolo Delle Radici Ennesime Di Un Numero Complesso

RS:

- Step 1: riscrivo in forma trigonometrica

^t (cos2 + i sen2) = 1 (cos + i )

Alfruati si avvemi il grafico.

² = 1 -> = 1 scatt in

• 2 = + 2k

Con k ∈ (INTERO)

• = ₂ + k

e' equazione che ha infinite soluzioni, ma solo 2 che sono viste e numeri complessi distinti.

_{0i 1} = i = -> l'equazione ² + 1 = 0 ha 2 soluzioni.

Esempio: ^m - = 0 con ₀ noto e in forma trigonometrica

^m = ₀

= (cos + i sen)

- Step 1: riscrivo in formula trigonometrica

^m (cos m + i sen m) = (cos + i sen)

• m = ₀ + 2k

z = a² + ib

con a parte reale che si indica con Re(z)

e b con parte immaginaria che viene indicata con Im(z)

• posso nel grafico, muovermi con i numeri e^πi è il piano di

  _{Gauss in cui gli assi x e y sono definiti essi reali (x) e asse immaginari (b). Nello stesso stile x ∈ R, nell'asse immaginario, ci sono solo numeri immaginari puri del tipo ib}

• z = a + ib

  _{z̅ = a - ib}

X ha z + z̅ = 2z_a = 2Re(z)

X ha z - z̅ = 2ib = 2iIm(z)

• in forma trigonometrica z = p_e(cos Θ + i sen Θ)

p = √(a² + b²)

cos Θ = a/√(a²+b²)

sin Θ = b/√(a²+b²)

• equazione di II^a grado di tipo:

ax² + bx + c = 0

ha soluzione

z = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

, ma il z e riflesso il numero

complesso due radici della radice

di per se, e soluzione, una opposta

all’altra

Metodo Eliminazione Gauss

Eserve per risolvere problemi lineari

• Ogni equazione è del tipo ax+by+c=d

Il più generale sistema lineare di "m" equazioni in "n" incognite è

In generale q_ij è il coefficiente che moltiplica l'incognita

• i = riga
• j = colonna

Combinazione lineare di variabili

ax + by (moltiplica le variabili per un coefficiente e poi sommarle)

Es: 2 sin x + e^x = combinazione lineare di funzioni

Scala = equazione

Il metodo di Gauss consiste nello scrivere il sistema sostituendo ad ogni riga una combinazione lineare delle righe stesse, con delle righe da lui precedenti, al fine di riscrivere il sistema in "forma a scala" (eliminare progressivamente le incognite fino a rimanere con una sola incognita)

Piano in forma parametrica

x₁ = -2t + 1

x₂ = 0

x₃ = t

x + y - 2 = 2

x + y - 2 = 1

• 1 1 -d 2
• 1 1 -2 1

Discutere la relazione in base a d e al suo codice

• 1 1 -2 d 2
• 0 0 d-2 1

se d = 2 sistema impossibile

se d ≠ 0

• z = ¹/_d-2
• x = 2 + y + d(z)
• y = t

x = 2 - t + ¹/_d-z

y = t

z = (-1)(d-2)

def un vettore x è "generato" (spanned) da S se

vettori (V₁,V₂,...,V_m) se esiste S=(c₁,c₂,...,c_m) coefficienti

ob x = c₁V₁ + c₂V₂ + ... + c_mV_m.

generate ottenere dei comb. lineari

V₁ = [ 1 2 3 ]

V₂ = [ 1 1 3 ]

V₃ = [ 0 3 2 ]

{ α + β = 0

2α - β + 3γ = 0

3α + β + 2γ = 0

[ 1 1 0 2 -1 3 3 1 2 ] ->

[ 1 1 0 0 -3 3 0 2 2 ] -> γ = 1

{ α = -1 β = 1 γ = 1

-V₁ + V₂ + V₃ = 0v

V₁ = V₂ + V₃