Analisi matematica 1 - Derivazione ed Integrazione

TEOREMA DI CANTOR

[ ]

Sia continua allora è uniformemente continua nello stesso intervallo

PROPOSIZIONE CONSEGUENTE

[ ]

Sia continua allora esistono due punti tali che

Per il teorema precedente sappiamo che la funzione è uniformemente continua nell’intervallo

quindi possiamo prendere un in modo che esista un tale che:

| | | |

Dividiamo l’intero intervallo in parti tali che , è chiaro che sommando gli intervallini

| |

e quindi | |

| | | |

basta prendere e e la tesi è dimostrata.

FUNZIONE CARATTERISTICA

{

E’ una funzione definita nell’insieme A e sarà indispensabile per dare una definizione di

funzione costante a tratti

FUNZIONE COSTANTE A TRATTI

[ ]

Una funzione si dice COSTANTE A TRATTI o SEMPLICE se esiste una partizione

dell’intervallo in intervallini e numeri tali che

∑

Definiamone ora l’integrale | |

∫ ∑

| |

dove per si intende la lunghezza del tratto.

TEOREMA FUNZIONE COSTANTE A TRATTI

[ ]

Sia continua, allora la funzione è integrabile e quindi esistono due

funzioni costanti a tratti: [ ] , tali che :

∫ ∫

Dato che la funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato, per il teorema prima

dimostrato, è anche uniformemente continua e quindi valgono le seguenti proprietà:

| | } | |

[ ]

[ ]

Ora suddividendo l’intervallo in intervallini tali che la loro lunghezza

| | sia minore di quindi

abbiamo verificata l’ipotesi dell’uniforme continuità e possiamo scrivere

ora definisco le due funzioni a tratti: | |

∑[ ] ∫ ∑[ ] | |

∑[ ] ∫ ∑[ ]

quindi si ha che: | | | |

∫ ∫ ∑[ ] ∑[ ]

| | |

∑[ ( )] ∑|

essendo che è un numero arbitrario lo possiamo scegliere come vogliamo e nel caso

specifico assumiamo:

e si ottiene la disuguaglianza iniziale.

∫ ∫

Essendo un numero arbitrariamente piccolo possiamo far tendere la distanza fra le due

funzioni a 0.

Si ha cosi la definizione dell’ integrale ∫

SOMME DI RIEMANN

| ||

|∫ ∑

Evidenziate in rosso le somme approssimanti vengono definite: SOMME DI RIEMANN e

stabiliscono un legame stretto tra l’integrale e la sommatoria.

PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE

LINEARITA’ DELL’INTEGRALE

∫ ∫ ∫

. ∫ ∫

.

MONOTONIA DELL’INTEGRALE

∫ ∫

.

ADDITIVITA’ DELL’INTEGRALE

∫ ∫ ∫

.

ALTRE PROPRIETA’ (vedi file dimostrazione)

| |

|∫ | ∫

. [ ] [ ]

. }

∫

LA DISUGUAGLIANZA DI SCHWARZ

√∫

|∫ | ∫

DIMOSTRAZIONE

Si distinguono due casi: che sia multiplo di oppure no.

CASO -1

Elevo primo e secondo membro al quadrato ottenendo:

∫ ∫

(∫ )

∫ ∫ ∫ ∫

CASO -2

Per la proprietà 6. prima enunciata si avrà:

∫

e sviluppandone il quadrato si ottiene:

∫ ∫ ∫ ∫

e ponendo ∫ ∫ ∫

si ottiene il polinomio di secondo grado che sarà sempre maggiore di 0 quando

il delta:

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

[ ]

Sia integrabile, definiamo una funzione:

∫

questa funzione è derivabile in ogni punto dove è continua e si ha che:

DIMOSTRAZIONE

Si dimostra a partire dalla definizione di rapporto incrementale

∫ ∫

servendoci della proprietà dell’additività dell’integrale si ottiene

∫ ∫ ∫ ∫

ora sommo e sottraggo all’interno dell’integrale

[ ] [ ]

∫ ∫ ∫

evidenziato in rosso c’è l’integrale di una costante ovvero

∫

evidenziato in blu invece c’è un termine che bisogna dimostrare tenda a 0, sapendo che la

funzione è uniformemente continua possiamo servirci della tesi:

| | } | |

[ ]

| |

quindi assumendo un possiamo maggiorare la nostra funzione

|∫ [ ] |

[ ]

∫ | |

| | | | | |

essendo un numero arbitrariamente piccolo possiamo affermare per il teorema dei

carabinieri che: [ ]

∫

lim

ed ecco dimostrata la tesi poiché:

LA REGOLA DI BARROW-TORRICELLI

[ ]

Sia continua, allora : ∫

dove F è una qualsiasi primitiva della funzione ovvero

DIMOSTRAZIONE

Dal teorema fondamentale del calcolo appena dimostrato si ottiene che:

perciò le funzioni A e F, avendo la stessa derivata differiscono solo per una costante e:

nel qual caso prendendo ad esempio si ottiene che:

e in definitiva si ottiene la tesi ∫