Analisi matematica 1 - Derivazione ed Integrazione

Derivata della composta

Se f è derivabile in x e g è derivabile in f(x), allora (g ∘ f) è derivabile in x.

La dimostrazione risulta molto semplice se si aggiunge l’ipotesi che f(x) = a. Facendo il rapporto incrementale della funzione composta si ottiene:

(g(f(x + Δx)) - g(f(x))) / Δx

Ora moltiplico e divido per una stessa quantità:

(g(f(x + Δx)) - g(f(x))) / (f(x + Δx) - f(x)) * (f(x + Δx) - f(x)) / Δx

Poniamo ora (g(f(x + Δx)) - g(f(x))) / (f(x + Δx) - f(x)) = g'(f(x)) e infine passando al limite per Δx → 0 si ottiene la tesi.

Derivata della funzione inversa

Vogliamo trovare un legame tra la funzione f e la derivata della sua funzione inversa. Per dimostrare prendiamo ad esempio la funzione identità: f(f^-1(x)) = x e derivando secondo la regola della derivata della funzione composta otteniamo f'(f^-1(x)) * (f^-1)'(x) = 1 e come risultato si ha: f'(f^-1(x)) = 1 / (f^-1)'(x), che permette di calcolare la derivata della funzione inversa in un punto a partire dalla derivata della funzione.

Sia f continua e invertibile. Se f è derivabile in x ed inoltre f'(x) ≠ 0, allora la funzione inversa è derivabile in f(x) e vale il rapporto prima enunciato.

Uniforme continuità

Data una funzione f, questa si dice uniformemente continua se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che per ogni x, y nell’intervallo, se |x - y| < δ allora |f(x) - f(y)| < ε.

Ad esempio, la funzione f(x) = 1/x non è uniformemente continua nell’intervallo (0, ∞), ma lo è in qualsiasi intervallo chiuso e limitato [a, b], con a > 0.

Teorema di Cantor

Se f è continua su un intervallo chiuso e limitato, allora f è uniformemente continua nello stesso intervallo.

Proposizione conseguente

Sia f continua su un intervallo, allora esistono due punti x, y tali che |f(x) - f(y)| < ε. Per il teorema precedente sappiamo che la funzione è uniformemente continua nell’intervallo, quindi possiamo prendere un δ > 0 in modo che esista un ε > 0 tale che:

• |x - y| < δ implica |f(x) - f(y)| < ε.

Funzione caratteristica

È una funzione definita nell’insieme A e sarà indispensabile per dare una definizione di funzione costante a tratti.

Funzione costante a tratti

Una funzione f si dice costante a tratti o semplice se esiste una partizione dell’intervallo in intervallini e numeri a_i tali che:

• f(x) = a_i per ogni intervallino.

Definiamone ora l’integrale:

∫ f(x) dx = Σ (a_i * l_i) dove l_i è la lunghezza del tratto.

Teorema funzione costante a tratti

Sia f continua, allora la funzione f è integrabile e quindi esistono due funzioni costanti a tratti g e h tali che:

• g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) per ogni x nell’intervallo considerato.