Analisi matematica 1

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

∫ _a(x)/_b(x) dx         a(x), b(x)

polinomi     grado a(x) = m, grado b(x) = n

(caso notevole:   m < n)

Denominatore lineare:

∫ _A/_(ax+b)ⁿ dx

Esempi

1) ∫ ₁/_x-1 dx = [t = x-1, dt = dx]

= ∫ ₁/_t dt = log |t| + c = log |x-1| + c;

2) ∫ ₁/_(x+1)² dx = 2 ∫ ₁/_(x+1)³ dx

= [t = x+1, dt = dx] = 2 ∫ ₁/_t³ dt =

= 2 ∫ t⁻³ dt = 2 · t^-3+1/_-3+1 + c = -₁/_t² + c =

= -₁/_(x+1)² + c

Denominatore quadratico:

∫ _Ax+B/_ax²+bx+c dx

- ∫ _B/_ax²+bx+c dx

Δ < 0

oss. ∫ ₁/_x²+1 dx + arctgx+c

Completamento del quadrato:

ax²+bx+c = a( x² + b/_a x + c/_a)

= a( (x² + 2 \sqrt{\tan x} \sim \sqrt{x} \quad (x \to 0^+) =>\)

\(\frac{1}{\sqrt{\tan x}} \sim \frac{1}{\sqrt{x}} \quad (x \to 0^+)\),

\(\cdot \int_{\frac{\pi}{4}}^{1} \frac{1}{x^p} \, dx\) (P-integrale, \(p = \frac{1}{2} < 1\))

converge => l'integrale dato converge

3)

\(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 - 1} \, dx\)

\(\cdot e^{-x^2} \sim t \; (t \to 0) => e^{-x^2} - t x \quad (x \to 0^+) =>\)

\(\frac{1}{x^2 - 1} \sim \frac{1}{x^2} \quad (x \to 0^+)\)

\(\cdot \int_{1}^{x} \frac{1}{x^p} \, dx\) (P-integrale, \(p = \frac{1}{2} \geq 1\))

diverge po: \(\Longrightarrow\) l’integrale dato diverge po:

\(\cdot \)Funzioni di segno variabile

TEOREMA (criterio dell'assoluta convergenza)

Sia \(\, \int_{a}^{\infty} f(x)\, dx\) continua in \([a; +\infty)\).

Se \(\, \int_{a}^{\infty} |f(x)|\, dx\) converge allora

\(\int_{a}^{\infty} f(x)\, dx\) converge e inoltre:

\(\int_{a}^{\omega} f(x)\, dx \leq \int_{\omega}^{\infty} |f(x)|\, dx\)