Analisi matematica 1

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

∫(a(x)/b(x)) dx

a(x), b(x)

polinomi, grado a(x) = n, grado b(x) = m

(caso notevole: n < m

Denominatore lineare:

∫(A/(ax+b)ⁿ) dx

Esempi

1) ∫(1/(x-1)) dx = [ t = x-1 ; dt = dx ]

= ∫(1/t) dt = log|t| + c = log |x-1| + c ;

2) ∫(x/(x+1)²) dx = 2 ∫(1/(x+1)³) dx

[ t = x+1 ; dt = dx ] = 2 ∫(1/t³) dt =

= 2 ∫ t^-3 dt = 2 t^-3+1/-3+1 + c =

= 1/t² + c =

= -1/(x+1)² + c

Denominatore quadratico:

∫(βx+β/ax²+bx+c) dx

∫(β/ax²+bx+c) dx

Δ<0

oss. ∫(1/x²-2) dx + arctgx + c

Completamento del quadrato:

ax² + bx + c = a (x² + b/a x) = a((x² + 2)

= a((x² + 2 x + (b/2a)²) - (b²/4a²) +

c/a = a ( (x ₂ ) + b/2a )² + c - b²/4a

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

∫ [a(x) / b(x)] dx

a(x), b(x)

polinomi, grado a(x) = n, grado b(x) = m

Caso notevole: n < m

Denominatore lineare:

∫ [A / (ax+b)ⁿ] dx

Esempi

1. ∫ [1 / x-1] dx = [t: x-1, dt=dx]

= ∫ [1 / t] dt = log|t| + c = log|x-1| + c;

2. ∫ [1 / (x+1)³] dx = 2 ∫ [-1 / (x+1)³] dx

[t: x + 1, dt = dx ] = 2 ∫ [-1 / t³] dt =

= 2 ∫ [-1 / t³] dt = 2 · t^-3+1 / -3+1 + c = -1 / t² + c =

-1 / (x+1)² + c

Denominatore quadratico:

∫ [Ax + B / ax² + bx + c] dx

∫ [A / ax² + bx + c] dx

Δ < 0

oss. ∫ [1 / x² - 2] dx + arctgx + c

Completamento del quadrato:

ax² + bx + c = a( x² + b/a x + c/a ) = a( (x² + 2b/2a x + b²/4a²) - b²/4a² + c/a ) =

a( (x + b/2a)² + (4ac - b²) / 4a² )

= ω ((x + ^b/_2a)² - Δ/_4a²)

Esempi

1. ∫¹/_{x² + ω²} dx = ∫¹/_{a²(x/a1 + t)} dx =

   = ¹⁄_a²(²

   x²-4=(x-2)(x+2)

   ¹/_x²-4 = ¹/_(x-2)(x+2)

   = > A(x+2)+B(x-2)= ¹/_(x-2)(x+2)

   = > A(x+2)+B(x-2)=1

   = > (A+B)x+2(A-B)=1

   { A+B=0

   { A=-B

   { 2(A-B)=1

   { 2-2B=1

   { A=¹/₄

   { B=-¹/₄

   ∫ ¹/_x²-4 dx = ∫ ¹/_4(x-2) dx

   - ∫ ¹/_4(x+2) dx = -¹/₄ log |x-2| - ¹/₄ log |x+2|+c.

   2) ∫ ¹/_x²-5x+6 dx

   x²-5x+6=0, Δ=25-24=1>0

   x=^5±1/₂

   = > x²-5x+6=(x-2)(x-3).

   ¹/_(x-2)(x-3) = ^A/_x-2 + ^B/_x-3 =

   = >

   = >

   A(x-3) + B(x-2) = 1

   (A+B) x -