Analisi matematica 1 (corso completo)

I NUMERI REALI

Esiste un insieme di numeri su cui sia possibile eseguire le 4 operazioni e su cui sia possibile stabilire una relazione d'ordine, indicato con R

Postulato - proposizione che senza essere evidente o dimostrata assumiamo come base di una teoria

Proprietà:

• relative alle operazioni
• relative all'ordinamento
• (o assioma) di completezza

PROPRIETÀ RELATIVE ALLE OPERAZIONI

Se a, b, c ∈ R definiamo:

• a+b ∈ R addizione o somma
• a·b ∈ R moltiplicazione o prodotto

Tali che qualunque siano a, b, c appartenenti ad R si abbia:

• a+b=b+a pr. commutativa
• a·b=b·a
• ELEMENTI NEUTRI
• a+0=a
• a·1=a
• ∀a∈R
• (a+b)+c=a+(b+c) pr. associativa
• (a·b)·c=a·(b·c)
• a·(b+c)=a·b+a·c pr. distributiva
• a+(-a)=0 ∀a∈R l'opposto è unico
• ESISTENZA DEGLI INVERSI
• a·a^-1=1 ∀a∈R-{0} l'inverso è unico

PROPRIETÀ RELATIVE ALL'ORDINAMENTO

In R è definita una relazione ≤ detta minore uguale tale che:

1. ∀a∈R ∀b∈R si ha a≤b oppure b≤a DICOTOMIA
2. Se a≤b e b≤a allora a=b ASIMMETRIA
3. Se a≤b allora a+c≤b+c ∀c∈R COMPATIBILITÀ CON LE OPERAZIONI
4. Se 0≤a e 0≤b allora 0≤a·b 0≤a·b

I NUMERI REALI

Esiste un insieme di numeri su cui sia possibile eseguire le 4 operazioni e per cui sia possibile stabilire una relazione d'ordine, indicato con R.

Postulato - proposizione che senza essere evidente o dimostrata assumiamo come base di una teoria.

Proprietà:

• relative alle operazioni
• relative all'ordinamento
• (o assioma) di completezza

le proprietà sono assiomi

PROPRIETÀ RELATIVE ALLE OPERAZIONI

Se a, b, c ∈ R definiamo:

• a + b ∈ R addizione o somma
• a ⋅ b ∈ R moltiplicazione o prodotto

Tali che qualunque siano a, b, c appartenenti ad R si abbia:

• a + b = b + a _{pr. commutativa}
• a - b = b - a
• (a + b) + c = a + (b + c)
• a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c _{pr. associativa}
• a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c _{pr. distributiva}

ELEMENTI NEUTRI

a + 0 = a a ⋅ 1 = a ∀a ∈ R

ESISTENZA DEGLI OPPOSTI (−a)

a + (−a) = 0 ∀a ∈ R

l'opposto è unico

ESISTENZA DEI INVERSI

a ⋅ a⁻¹ = 1 ∀a ∈ R − {0}

l'inverso è unico

PROPRIETÀ R ALL'ORDINAMENTO

In R è definita una relazione ≤ detta minore o uguale tale che:

1. ∀a ∈ R ∀b ∈ R si ha: a ≤ b oppure b ≤ a _DICOTOMIA
2. Se a ≤ b e b ≤ a, allora a = b _ASIMMETRIA
3. Se a ≤ b allora a+c ≤ b+c ∀c ∈ R _{COMPATIBILITÀ CON LE OPERAZIONI}
4. Se 0 ≤ a e 0 ≤ b allora 0 ≤ a+b 0 ≤ a ⋅ b

Assioma di Completezza

Siano A⊆R e B⊆R tali che a≤b ∀a∈A ∀b∈B

allora esiste almeno un elemento c∈R, tale che:

a≤c≤b ∀a∈A ∀b∈B

Conseguenze degli Assiomi

A partire dagli assiomi di evidenza degli opposti e degli inversi, discende la possibilità di eseguire le operazioni di sottrazione e divisione.

• a−b=a+(−b)
• a:b=a⋅b⁻¹ purché b≠0

La relazione ≥ è definita

a≥b ⇔ b≤a

La relazione di minore stretto < o maggiore stretto > è definita

• _defab ⇔ a≥b e a≠b

Ulteriori Proprietà Algebriche

• a+b=a+c → b=c (regola di semplificazione)
• a+0=a=c→a=c→b=c

Legge di annullamento del prodotto

• a⋅b=0 ⇔ a=0 oppure b=0

DIMOSTRIAMO CHE a⋅0=0

• a+a⋅0=a⋅1+a⋅0=a⋅(1+0)=a⋅1=a=a+a⋅0 → a+a⋅0=a+a⋅0 → a⋅0=0

SUPPONIAMO CHE a⋅b=0

• Se a=0 OK
• Se a≠0 ∃a⁻¹ (entro l'inverso di a)

• b=b⋅1=b⋅(a⋅a⁻¹)=((a⋅b)⋅a⁻¹ =a⁻¹(a⋅b)=a⁻¹⋅a⋅1⋅0 → b=0

• −(−a)=a
• −(a)⋅b=−(a⋅b)
• a≤b ⇔ b−a≥0⇔b≥a

• a ≤ b ∧ b ≤ c ⟹ a ≤ c
• a ≤ 0 ⟹ -a ≥ 0
• a ≤ b ∧ c ≤ 0 ⟹ a ∙ c ≥ b ∙ c
• a ≤ b ∧ c ≥ 0 ⟹ a ∙ c ≤ b ∙ c

proprietà transitiva dell'ordinamento

L'insieme _N è