Analisi matematica 1 (corso completo)

I NUMERI REALI

Esiste un insieme di numeri su cui sia possibile eseguire le 4 operazionie nel quale sia possibile stabilire una relazione d'ordine, indicato con R

Postulato - proposizione che senza essere evidente o dimostrata assumiamocome base di una teoria

Proprietà relative alle operazioni

relative all'ordinamento(o assioma) di completezza

PROPRIETÀ RELATIVE ALLE OPERAZIONI

Se a, b ∈ R definiamo:

• a+b ∈ R addizione o somma
• a·b ∈ R moltiplicazione o prodotto

Tali che qualunque siano a, b, cappartenenti ad R si abbia:

• a+b = b+a pr. commutativa
• a·b = b·a
• (a+b)+c=a+(b+c) pr. associativa
• (a·b)·c=a·(b·c)
• a·(b+c)=ab+ac pr. distributiva

ELEMENTI NEUTRI

a+0=a a·1=a ∀a ∈ R

ESISTENZA DEGLI OPPOSTI (−a)

a+(−a)=0 ∀a ∈ R l'opposto è unico

ESISTENZA DEGLI INVERSI

a·a⁻¹=1 ∀a ∈ R−{0} l'inverso è unico

PROPRIETÀ R ALL'ORDINAMENTO

In R è definita una relazione ⚬ detta minore uguale tale che:

1. ∀a∈R ∀b∈R si ha a⚬b oppure b⚬a DICOTOMIA
2. Se a⚬b e b⚬a allora a=b ASIMMETRIA
3. Se a⚬b allora a+c⚬b+c ∀c∈R COMPATIBILITÀ CON LE OPERAZIONI
4. Se 0⚬a e 0⚬b allora 0⚬a+b 0⚬a·b

Assioma di Completezza

Siano A⊆ℝ e B⊆ℝ tali che a≤b ∀a∈A ∀b∈B sottoinsieme di ℝ

allora esiste almeno un elemento c∈ℝ tale che:

a≤c≤b ∀a∈A ∀b∈B

Conseguenze degli Assiomi

A partire dagli assiomi di esistenza degli opposti e degli inversi, discende la possibilità di eseguire le operazioni di sottrazione e divisione.

• a-b = a+(-b)
• a:b = a/b purché b≠0
• a:b = a/b purché b≠0

La relazione ≥ è definita

a≥b def ⇔ b≤a

La relazione di minor rigore o maggiore stretto è definita

ab def ⇔ a≥b e a≠b

Ulteriori Proprietà Algebriche

• a+b = a+c ⇒ b = c (legge di semplificazione)
• a+0 = a; b=c ⇒ b=c
• a⋅b = 0 ⇔ a=0 oppure b=0 (legge di annullamento del prodotto)

Dimostriamo che a⋅0=0

a+a⋅0 = a⋅1+a⋅0 = a(1+0) = a⋅1 = a = a+0 ⇒ a+a⋅0 = a+0 ⇒ a⋅0 = 0

Supponiamo che a⋅b=0

Se a=0 OK

Se a≠0 ∃a⁻¹ (esiste l’inverso di a)

b = b⋅1 = b⋅(a⋅a⁻¹) = (a⋅b)⋅a⁻¹ = a⁻¹(a⋅b) = a⁻¹⋅0 = 0 ⇒ b=0

• -(-a) = a
• -(a⋅b) = -(a⋅b)
• a≤b ⇒ b-a ≥ 0 ⇒ b ≥ a

Una funzione f: A→B si dice iniettiva se

x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Equivalentemente: f è iniettiva ⇔ f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂

es: f: X∈R → X∈R

Una funzione f: A→B si dice suriettiva se

∀y∈B ∃x∈A: f(x)=y

Una funzione f: A→B si dice biunivoca se è iniettiva e suriettiva.

f: A→B è biunivoca ⇔ ∀y∈B ∃!x∈A: f(x)=y

Sia f: A→B una funzione biunivoca. Allora

possiamo considerare la funzione

∀y∈B→x∈A t.c. f(x)=y

Questa funzione prende il nome di funzione inversa e la funzione f si dice

f^-1: y∈B→x∈A t.c. f(x)=y

Valgono perciò

1. f^-1(y)=x cioè f^-1(f(x))=x ∀x∈A
2. f(f^-1(y))=f(x)=y ∀y∈B

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

Fissato un asse x ed un punto O ed una unità di misura definiamo

ascissa di un punto P nel modo seguente:

• OP = OP se P segue O nel verso prescelto
• OP = 0 se P = 0
• -OP se P precede O nel verso prescelto

La P∈R → ascissa P∈R è biunivoca.

∀y∈R ∃! P∈: ascissa P=x

R × R = {(x,y): x∈R, y∈R} relazione binaria in R

Inoltre (x,y) = (x',y') ⇒ x=x', y=y'

13-10-2020

FUNZIONE POTENZA n

Sia m∈ℕ ∀x∈ℝ poniamo x=x·x·...·x (m volte)

:∈ℝ→ʳ∈ℝ

Tale funzione si chiama potenza m-esima

()=^m ∀x∈ℝ

Supponiamo la restrizione di a [0,+∞) x^m≥0

:∈[0,+∞)→^m∈[0,+∞)

Proprietà di

• strettamente crescente

Dimostrazione

(con il principio di induzione)

1. per m=1 0≤x₁1
2. strettamente decrescente in (0,+∞) se 0