Analisi matematica 1

SVILUPPI DI MACLAURIN DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI:

2

● =1++ + ... + + ( )

2! !

3 5 2+1

2+1

● = − + + ... + (− 1) + ( )

3! 5! (2+1)!

2 4 2

2

● = 1 − + + ... + (− 1) + ( )

2! 4! (2)!

3 5 2+1 2+1

● ℎ = + + + ... + + ( )

3! 5! (2+1)!

2 4 2 2

● ℎ = 1 + + + ... + + ( )

2 4! (2)!

2 3

−1

● (1 + ) = − + + ... + (− 1) + ( )

2 3

α 2

α(α−1) α(α−1) ... (α−+1)

● (1 + ) = 1 + α + + ... + + ( )

2 !

PROPRIETA’ DI “O PICCOLO”:

● () − () = () ( !)

2 2

● (− 3 ) = ( ) − () = () ( )

● L’errore più grossolano ingloba quello più fine:

2

Per x → 0 () + ( ) = ()

2 2

Per x → +∞ () + ( ) = ( )

● • () = ( • )

● o(1) indica una funzione che tende a 0 per x → , il punto considerato;

0

● () • () = ( • )

FORMULA DI TAYLOR-MACLAURIN CON RESTO SECONDO LAGRANGE: Nella formula

di Taylor con resto secondo Peano, l’informazione che abbiamo sull’errore commesso

nell’approssimare f con il suo polinomio di Taylor-MacLaurin è di tipo dinamico: al tendere a

zero dell’incremento (x - ) sappiamo che il resto tende a zero più rapidamente di (x -

) .

0 0

Questa informazione è utile ad es. nel calcolo dei limiti; per un valore fissato dell’incremento

(x - ) però la formula di Taylor con resto secondo Peano non dice nulla sull’entità

0

dell’errore commesso. In varie questioni invece bisogna stimare l’errore commesso

approssimando una funzione con il suo polinomio di Taylor-MacLaurin quando l’incremento

(x - ) ha un valore fissato, o che non supera una soglia fissata: a questo problema

0

risponde il seguente teorema:

Teorema della formula di Taylor all’ordine n con resto secondo Lagrange: Sia f : [a, b]

→ R derivabile n + 1 volte in [a, b] e sia [a, b]; allora esiste un punto c compreso tra e

ϵ

0 0

x tale che: (+1) +1

() = () + ( − )

(+1)!

, 0

0

La formula ha la struttura: funzione da approssimare = polinomio approssimante + errore di

(+1) +1

approssimazione, dove l’errore è il termine detto “resto secondo

( − )

(+1)! 0

Lagrange”. Il punto c dipende da , x e n ed è compreso tra e x: se si riesce a dimostrare

0 0

(+1)

che | per ogni t compreso tra e t, allora la formula di Taylor con resto

()| ≤

0

secondo Lagrange dice che:

(+1) +1

| ()| ≤ | − |

(+1)! 0

che è una stima dell’errore di approssimazione commesso.

FORMULA DI TAYLOR E CONVESSITA’: Considerando la formula con n = 1:

2

1

() = ( ) + '( )( − ) + ''()( − )

2

0 0 0 0

e supponendo che in ogni punto di (a, b) si abbia f’’(x) , ovvero f sia convessa in (a, b),

≥ 0

2

1

allora si ha e perciò si può scrivere per ogni coppia di punti , x (a,

''()( − ) ≥ 0 ϵ

2 0 0

b):

() ≥ ( ) + '( )( − )

0 0 0

Ciò significa graficamente che il grafico di f(x) si mantiene in tutto (a, b) sopra il grafico della

sua retta tangente in , per ogni scelta del punto . Dunque, se una funzione (due

ϵ (, )

0 0

volte derivabile) è convessa, è anche convessa per tangenti.

Se invece f è concava, ossia f’’(x) in tutto (a, b), la disuguaglianza vale con invece di

≤ 0 ≤

: il grafico di f(x) si mantiene in tutto (a, b) sotto il grafico della sua retta tangente in .

≥

0

RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI CON IL METODO DI NEWTON:

Supponiamo di voler risolvere f(x) = 0, che equivale a cercare le intersezioni del grafico di f

con l’asse x, e supponiamo di aver accertato l’esistenza di un’unica soluzione x = ,

α

all’interno di un intervallo [a, b]. Si vuole dare una valutazione approssimata di il metodo di

α:

Newton serve a costruire una successione convergente ad ; il metodo prevede di:

α

● assegnare esplicitamente il primo termine ;

0

● assegnare esplicitamente la legge con cui calcolare a partire da , qualunque

+1

sia n.

Il termine può essere costruito a partire da con n iterazioni dello stesso algoritmo.

0

Parto da = a e linearizzo l’equazione f(x) = 0 sostituendo a f la retta tangente al suo

0

grafico nel punto (a, f(a)). Tale retta ha equazione . Invece di

= ( ) + '( )( − )

0 0 0 ( )

risolvere f(x) = 0 risolviamo ottenendo 0

( ) + '( )( − ) = 0 = − '( )

0 0 0 1 0 0

→ prima approssimazione di α

Procedo ora con al posto di = a, sostituendo f con la retta tangente in (

, ( )).

1 0 1 1

Invece di f(x) = 0 si risolve l’equazione ottenendo

( ) + '( )( − ) = 0

1 1 1

( ) → seconda approssimazione di

1

= α

'( )

2 1 1

Continuando si giunge alla legge di ricorrenza:

=

0 ( )

= − '( )

+1

Ora bisogna dimostrare che, sotto opportune ipotesi, la successione converge alla

soluzione cercata. Vale il seguente teorema:

Teorema: Sia f : [a, b] → R due volte derivabile in [a, b] e supponiamo che:

1. () • () < 0

2. hanno segno costante in [a, b]

'(), ''()

3. () • ''() > 0

Definiamo per ricorrenza la successione:

=

0 ( )

= − '( )

+1

Esiste uno ed un sol punto c (a, b) tale che f(c) = 0, e la successione x converge a c per

ϵ

difetto. Se invece di valere la 3 vale la 3’. , allora la successione:

() • ''() > 0

=

0 ( )

= − '( )

+1

converge a c per eccesso.

Sotto le ipotesi 1 e 2 è verificata o la 3 o la 3’: il metodo è applicabile ogni volta che le ipotesi

1 e 2 sono verificate: si tratta solo, a quel punto, di scegliere opportunamente se porre = a

0

oppure b.

Serie

Il concetto di serie consente di estendere l’operazione di somma ad un infinito numero di

{ }

addendi. Data una successione di numeri reali chiamiamo serie dei termini la

∞

scrittura . Il numero si chiama somma parziale n-esima della serie, e la

= ∑

=0

{ }

successione si dice successione delle somme parziali della serie:

=

0 0

= +

1 0 1

= + +

2 0 1 2

……………………

= + + + ... +

0 1 2

………………………………… { }

Una serie è convergente, divergente, irregolare se la successione delle sue somme

{ }

parziali è convergente, divergente o irregolare. Se è convergente → s, si dice che s è

∞

la somma della serie e si scrive: . In questo caso vale la relazione

∑ =

=0

∞

∑ = lim ∑ = lim

→ →

+∞ +∞

=0 =0

Studiare il carattere della serie significa stabilire se la serie è convergente, divergente o

∞

irregolare. Talvolta invece di partire da 0 si parte da un indice N > 0 e si scrive .

∑

=

Parlare di una serie numerica coinvolge sempre due diverse successioni: la successione

{ } { }

dei termini della serie e la successione delle sue somme parziali. Ad es. la serie

{ } { }

è convergente se è convergente, non se è convergente.

∑

+1

2 1−

● Serie geometrica: = 1 + + + ... + = 1−

∞ 1

La serie è convergente (con somma se |q| < 1; è divergente a + se q

∑ ∞

(1−)

=0

è irregolare se 1 .

≥ 1; ≤− 1

∞ 1 1 1 1 1

● Serie armonica: ∑ =1+ + + + ... + + ...

2 3 4

=1

∞ 1

● Serie di Mengoli: . La serie converge e ha somma 1. La serie di Mengoli è il

∑ (+1)

=1

più semplice esempio di serie telescopica, cioè una serie in cui il termine generale

ha la forma dove è un’altra opportuna successione, e quindi si ha

( − ),

+1

. Se il termine → 0 la serie è convergente e ha somma .

= +

1 +1 1

∞

Supponiamo che la serie sia convergente e che s sia la sua somma; ciò significa che

∑

=1

→ s e quindi = ( → (s - s) = 0. Ne segue:

− )

−1 ∞

Teorema: Condizione necessaria affinché una serie converga è che il termine generale

∑

=0

te