Analisi matematica 1 completo

INSIEMI

Dominio di una funzione → D(f) = { x ∈ R | f(x) ∈ R }

Codominio → f(X) = { f(x) | x ∈ X }

Funzione iniettiva → f: E → F

↔ ∀ x₁, x₂ ∈ E, x₁ ≠ x₂ : f(x₁) ≠ f(x₂)

Funzione suriettiva → f : E → F

se f(E) = F

Esistenza inversa

f : E → F (funzione iniettiva) f⁻¹ : f(E) → E se associa ad

ogni elemento y ∈ f(E) quell’unico x ∈ E ∋ f(x) = y

Calcolerò f(x) = y inteso x scriverò x ⋯ → f ( x ) ⋯

sottinteso f e con f^-1

Funzione composta f : A → D

g : E → F,

∃ A∀ x ∈ E si ha (g∘f)(x)=g(f(x))

Calcolo dominio funzione composta : impongo C.E.↓

alle f(x), impongo C.E. alle g(f(x))

Principio di induzione

∀ m ∈ N : p(m) p(m₀) è vera ⇒ ∀ m ∈ N

∀ n ∈ N, n > 0 : p(m) ⇒ p(m+1) p(m) è vera

maggiorante minimo di un insieme numerico → X limitato superiormente

∀ x ∈ X, x ≤ a a = Maggiorante di X

m ∈ M di un insieme → X ⊂ R se ∃ a ∈ X ∀ x ∈ X : x ≤ m

m = minimo di X

Teorema 1 "Quadrato di un intero":

Se m è intero pari, anche m² intero pari.

Dim.

m = 2km² = 4k² = 2(2k²) (poi intero)

Teorema 2 "Irrazionalità di √2":

Se m ed n sono primi tra loro allora m²/n² ≠ 2

Dim.

Assurdo m²/n² = 2 → m² = 2n²m = 2km² = 4k² → 4k² = 2n² → n² = 2k²2 k = m pari

m = pari n = pari → Tn loro.

Teorema 4 "Esistenza del minimo dei numeri":

(Estremo inferiore) Se X limit-inf e A i numeri dei minimi, A è dotato del più grande divisore.

Dim.

X divisione inf. A insieme dei numeri di X.

• A non vuoto: ∃a ∈ A, ∀x ∈ X, a ≤ x
• ∀x ∈ A, x ≤ ∃ elemento di separare → λ ≤ x
• λ ≤ x → λ ∈ numeratore di X a ∈ λ → λ il più grande tra i numeri

(Estremo inf. max di un insieme → inf(X) → più grande dei numeri di X esiste sempre.

Teorema 5 "Proprietà caratteristica":

Se X = lim-inf, λ ∈ ↠ le seguenti proprietà sono equivalenti:

1. λ = inf(X)
2. λ ∈ un numeratore di X
3. ∀x ∈ &R; con x < α ∃x ∈ X e x > λ

Dim.

A insieme dei numeri di X, X limitato inf.La seconda proprietà afferma che ∃ a > λ ∉ ∃ A.

x^α

0 < α < 1

cos x

tan x

arcsen x

arctan x

arc cos x

L'insieme di tutti i punti di accumulazione di X si dice derivato di X → D(X)

Punto isolato → Se X⊆ℝ, x₀∈ X, si dice che x₀ è un punto isolato se ∃I∈S(x₀) ∩ I = {x₀}

Punto di accumulazione per X → Se X⊆ℝ, x₀∈ℝ^*, x₀∈&overline;X, x₀ si dice punto bordo di x₀

Intorno destro/sinistro del x₀ → Se x₀∈ℝ → x ∈ I (x₀) ∩ I ≠ ∅

Punto di accumulazione ±∞ → Se x∈ℝ, I_k ≠ &overline;I, intorno destra

Punto di accumulazione dell'infinito → Se X⊆ℝ, x₀∈ℝ, x₀∈&overline;X

∀ε∈J, {±∞}: X ∩ I ≠ ∅ (se ±∞ è di acc. per X → X ill. sup.)

Limite → Sia X ⊆ ℝ, x₀∈ D(X), l ∈ ℝ e sia f:X → ℝ

f(x) tende al l per X che tende a x₀ → lim_x→x0f(x)=l

se: ∀ ε>0 ∃δ>0 ∀x≠ x₀ (x₀-δ,x₀+δ) [∩&backslash;{x₀}: |f(x)-l|<ε]

Limite x₀∈ℝ e l = ±∞ → X ⊆ ℝ, x₀∈ D(X)

f:X → ℝ

∃k∈ℝ ∃δ>0 ∀x≠x₀ x₀-δ,x₀+δ [∩&backslash;{x₀}: |f(x)|>k]

2) Se ∀J ∈ (x₀) ∃ x₁, x₂ ∈ J∩X \ {x₀} s.t. f(x₁), f(x₂)