Analisi matematica 1 - Appunti

Calcolo dei limiti

In questa sezione, analizzeremo il calcolo di alcuni limiti complessi. Vedremo come affrontare i casi di forme indeterminate e utilizzare regole di derivazione per risolverli.

Limiti per x tendente all'infinito

Consideriamo il limite:

lim_x→∞ e^x · sen^1/x = ∞ · 0

Questo è un caso di forma indeterminata ∞ · 0. Possiamo riscriverlo come:

lim_x→∞ ^ex/_sen^1/x = ^∞/_∞

Applicando la regola di L'Hôpital:

H = lim_x→∞ e^x

Riformuliamo il problema in termini di limiti:

lim_x→∞ e^x(sen1/x)-2 · ¹/_{x² · cos^1/x}

Questo porta a:

lim_x→∞ e^x · ^(sen1/x)2/_{x² · cos^1/x} = +∞

Limiti per x tendente a zero

Consideriamo il limite:

lim_x→0 tg2x/tg4x = 0/0

Questo è un altro caso di forma indeterminata 0/0. Possiamo risolverlo utilizzando la derivazione:

lim_x→0 1/cos²x = 2

E poi:

lim_x→0 1/cos⁴x ⋅ 4

Risultato:

lim_x→0 cos⁴x/cos²x = 1/2 = 1/2

Un altro esempio complesso:

lim_x→0 sen3x/cos2x = sen4x/cos4x

Possiamo risolverlo come segue:

lim_x→0 sen2x⋅cos4x/cos2x⋅sen4x

Ulteriore semplificazione ci dà:

lim_x→0 sen2x⋅cos4x/cos2x⋅2sen4x⋅cos4x = 1/2

Infine, un esempio con una costante:

lim_x→0 5m2x⋅cos4x/cos2x⋅sen4x,

Risultato finale del limite complesso:

lim_x→0 sen2x/2x⋅cos4x⋅8x/cos2x⋅sen4x/4x⋅x/21/2