Analisi matematica 1 - Appunti a mano

Introduzione alla teoria degli insiemi

x ∈ A

A ∪ B = { l'insieme di tutti e soli gli elementi che appartengono ad A o B }

A ∩ B = { l'insieme composto da tutti e soli gli elementi che appartengono ad A e B }

A \ B = differenza = { x ∈ A : x ∉ B }

Ø é unico! (Presi due insiemi vuoti essi hanno gli stessi elementi e sono lo stesso insieme.)

Esempio:

A - insieme delle donne B - insieme delle persone coniugate

A ∪ B = donne e mariti A ∩ B = mogli A \ B = donne singole B \ A = mariti

Esempio:

N₃ = { 1, 4, 9, 3 ... }

A := { M ∈ N : divisibile per 4 }

B := { M ∈ N : divisibile per 6 }

A ∪ B = divisibili per 4 o per 6 A ∩ B = divisibili sia per 4 che per 6 A \ B = divisibili per 4 (ma non per 6 o anche solo per 2) B \ A = divisibili per 6 ma non per 4

Prodotto cartesiano degli insiemi

A × B = { (a, b), a ∈ A, b ∈ B } insieme delle coppie ordinate il cui primo termine appartiene ad A e il secondo termine a B.

f : A → B applicazione da A in B (legge che ad ogni elemento di A fa corrispondere un ben preciso elemento di B)

dominio = { l'insieme di anicio, uscenti } = codominio codominio = immagine

es. sin(x): R → [-1, 1] [5m (sin(x)] = immagine è [-5, 5]

Esempio:

5m (e^x) = x > 0

Esempio:

y = x³ la sua immagine è tutto R.

Esempio:

Catalogo è un'applicazione di A → B in cui A=oggetti in vendita B=numeri con 2 cifre decimali (prezzi in €)

Esempio:

A = insieme dei nomi italiani B = insieme dei cognomi italiani

A × B = insieme dei possibili nomi e cognomi italiani.

F associa ogni cittadino italiano il suo nome e cognome, e la sua immagine sono gli effettivi nomi e cognomi italiani.

Gp = { (a, b) ∈ A × B: f(a) = b } = GRAFICO DI f (grafico funzione)

f: A → B può essere:

INIEITTIVA due elementi distinti devono avere immagini distinte

è vero anche che:

2₁ ≠ 2₂ ⇒ f(2₁) ≠ f(2₂), CONTROMANUALE: f(2₁)= f(2₂) ⇒ 2₁ = 2₂

SURGETTIVA Ogni elemento è immagine di qualcosa (IMMAGINE = CODOMINIO)

∀b ∈B ∃ a ∈ A : f(a) = b

BIGETTIVA quando è entrambe

APPLICAZIONE con insiemi generici FUNZIONE quando il CODOMINIO è un insieme numerico.

Esempi:

Quari delle seguenti definiscono una funzione f: IR → IR?

y = x sì

y = x² sì

y² = x no, xchè ∀x ci sono y e -y

y² = x no, xchè il DOMINIO rich e tutto IR, se lo restringiamo ad IR₊, otteniamo sì.

y = x³ sì

y = 1/x sì

y = | x | sì

| y | = x solo se il dominio è IR₊

y = sin x sì

sin y = x no ⇔ y = arcsinx solo se il dominio è [-1, 1]

y = tg x solo se il dominio è IR \{multipli dispari di π/2}

tg y = x no y = arctgx y ∈ (-π/2; π/2) e ok già di suo

Verifichimo l’INIEITTIVITÀ e SUGETTIVITÀ

y = x ↔ id IR è certamente bisgettiva

y = x² a, -a hanno la stessa immagine ⇒ non è iniettiva. non è neanche sugettiva xchè la sua immagine è IR₊

y = 1/x in ogni punto lo è INIETTIVA (i reciproci di num. distinti sono num. distinti) non è surgetiva xchè 0 non c’è e reciproci di niente.

Esempio:

Troviamo e dimostriamo che è giusto S₂(m).

S₂(m) = 0 ² + 1 ² + 2 ² + ... + m ²

Siccome S₁(m) = [m(m+1)] / 2 è 1 ² + 2 ² ..., m ha un andamento quadratico

ci aspettiamo che S₂(m) = am ³ + bm ² + cm +d ovvio un andamento cubico.

Chi possono essere a, b, c, d?

• S₂(0) = 0 = d!
• S₂(1) = 1= a + b+ c
• S₂(2) = 5 = 8a + 4b + 2c
• S₂(3) = 14 = 27a + 9b +3c

Risolv le sistema:

.-

Se la formula e vera e

Per induzione:

1. S₂(0) = VERA
2. Supposiamo vera per h vediamo se'e vero che:

0 ² + 1 ² + 2 ² + 3 ² ...... h ² + (h+1) ² . 2(h+1) ³ + 3(h+1) ² + (h+1)

C

Esempio:

Troviamo e dimostriamo che è giusto S₃(m)

S₂(m) =

Per induzione:

1. S₃(0) = VERA
2. Supponiamo vera per h.

...

Potenze

a∈IR m∈N ....quasi&space;ne&space;possiamo&space;imporre&space;che&space;a&space;o&space;m&space;siano&space;0,

⁰a = 1

Proprietà fondamentale:

facilmente&space;verificabile&space;con&space;quanto&space;detto&space;sopra&space;(a^m = a&^bull; a&^bull; a&^bull; a)

• m∈Ν₀
• bicettiva ∃ 3 ^√
• è&space;anche&space;monotona,&space;strettamente&space;crescente&space;=>&space;l'inversa&space;é&space;crescente&space;

Quindi&space;per&space;m&space;DISPARI&space;possiamo&space;definire&space;la&space;funzione&space;

x → x₂IR →IR non è iniettiva Im (x² = IR⁺

∃ l'inversa IR⁺ →IR in questo caso anche la continuiamo. è IR⁺

x → y² y ≥ 0 quindi ^y √4 ^y

Generalizzando si ha che con m PARI R⁺ → ¹R

x → x²⁰

0 tutto causa coi naturah

0 allora con a丿 ≠ 0

¥> è l'unico modo per &space;esprimere &space;la potenza&space;negativa&space;in&space;modo &space;che venga &space;le&space;proprietà &space;fondamentale.

TEOREMA (ESSENZIALE)

Ogni intervallo chiuso e limitato è tale che, dato un suo ricoprimento costituito da intervalli aperti, è sempre possibile estrarne un ricoprimento costituito da un numero finito di quegli intervalli.

(U_i) = INTERVALLI APERTI

Ogni punto x è almeno un intervallo

Consideriamo l'insieme T = {t ∈ [x₁,β], [d,t]}, è ricavato da un numero finito di U_i

1. T ≠ ∅ x∊T è c.t ∈ t ⇔ c'è almeno un U_i
• t∊T, x ≤ S ≤ t ∈ S∊T
2. T è superiormente limitato (senza max può succedere β)

1+2 ⇒ T ha estremo superiore (L) = L = β

L <β = dobbiamo dim. che è impossibile.

Un ricopre L, quindi c'è un estremo medio intervallo U_i che è più piccolo di L, che ∈ T, quindi un punto a e l'intervallo è ricopribile con un numero finito di intervalli, ci aggiungiamo intervallo U_i, otteniamo ancora un numero finito di intervalli.

Ma se L < β posso prendere S > L che è ancora in T ⇒ L non è estremo superiore.

⇒ sup = β

Dobbiamo dimostrare che β è anche inf MAX (e T). Siccome β∊T anche β_i sta in un intervallo U_i. Si fa lo stesso ragionamento fatt sopra: c'è un t > β che ∈ T ⇒ U_i finiti (se ne aggiungo uno → ho ancora un numero finito di intervalli) ∮β∊T ⇒ β ∉ max

APERTA

A⊂R

A è aperto se ∀x ∊ A ∃ un intervallo contenente x e tutto contenuto in A.

es.: x ∊ (0,1)

IN non ha intervalli aperti

Es: intervallo chiuso I = 1 0 - x - 1 non è aperto: c'è che qui non è contenuto in A