Analisi matematica 1 - Appunti a mano

INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEGLI INSIEMI

x ∈ A

A ∪ B → l'insieme di tutti e soli gli elementi che appartengono ad A o a B

A ∩ B → l'insieme composto da tutti e soli gli elementi che appartengono ad A e B

A \ B → DIFFERENZA : {x ∈ A : x ∉ B}

∅ E' UNICO!! (Presi due insiemi vuoti essi hanno gli stessi elementi e sono lo stesso insieme.)

esempioA = insieme delle donneB = insieme delle persone coniugate

• A ∪ B = donne e mariti
• A ∩ B = mogli
• A \ B = donne singole
• B \ A = mariti

esempioN₂ = {0, 1, 2, 3, ...} N₃ = {1, 2, 3, ...}

A = {m ∈ N₁ : divisibili per 4} B = {m ∈ N₃ : divisibili per 6}

• A ∪ B = divisibili per 4 o per 6
• A ∩ B = divisibili sia per 4 che per 6
• A \ B = divisibili per 4 ma non per 6 (o anche solo per 3)
• B \ A = divisibili per 6 ma non per 4

PRODOTTO CARTESIANO DEGLI INSIEMI

A × B = { (a,b) , a ∈ A, b ∈ B} insieme delle coppie ordinate i cui primo termine appartiene ad A e il secondo a B.

f : A → B DOMINIO CODOMINIOf (a) = b funzione da A in B flego che ad ogni elemento di A fa corrispondere un ben preciso elemento di B.è tutto l'insieme di arrivo, mentre < IMMAGINE sono solo gli f(a)

es.es. sim(x) = IR → IR, ma {sim(sin(x)) -1 < x ≤ 1

esempio5m(eˣ) = x > 0

esempioy = x³ f(x) = x³ La sua immagine è tutto IR.

esempioCATALOGO è un'applicazione di A → B in cui A: oggetti in vendita B: numeri con 2 cifre decimali (prezzi in €)

• A = insieme dei nomi italiani
• B = insieme dei cognomi italiani
• A × B = insieme dei possibili nomi e cognomi italiani

f : musica che citando tre figli di cui uno maschio e cognome, La sua IMMAGINE sono dei effettivi unioni a cognomi italiani

INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEGLI INSIEMI

x ∈ A

A ∪ B → l’insieme di tutti e soli gli elementi che appartengono ad A o a B

A ∩ B → l’insieme composto da tutti e soli gli elementi che appartengono ad A e B

A \ B → DIFFERENZA : {x ∈ A : x ∉ B}

∅ È UNICO! (Poiché due insiemi vuoti essi hanno gli stessi elementi ed sono lo stesso insieme.)

Esempio

A → insieme delle donneB → insieme delle persone coniugate

• A ∪ B → donne e mariti
• A ∩ B → mogli
• A \ B → donne singole
• B \ A → mariti

Esempio

N₂= { 0, 1, 2, 3 ... }N_₂ = {1, 4, 3 ... }

• A = { m ∈ N : divisibile per 4}
• B = { m ∈ N : divisibile per 6}

• A ∪ B → divisibili per 4 o per 6
• A ∩ B → divisibili sia per 4 che per 6
• A \ B → divisibili per 4 (ma non per 6 o anche solo per 3)
• B \ A → divisibili per 6 ma non per 4

PRODOTTO CARTESIANO DEGLI INSIEMI

A × B = { (a,b) , a ∈ A, b ∈ B} insieme delle coppie ordinate il cui primo termine appartiene ad A e il secondo a B.

f : A → B APPLICAZIONE da A in B DOMINIO → CODOMINIO

è tutto l’insieme di arrivo, mentre l’IMMAGINE sono solo gli f(a) (l’insieme delle f(a) al variare di a nel dominio)

Esempio

f: sin(x) : IR → IR , ma { sin(sin(x)) ... } ^{-1 < x < ⧝}

Esempio

y = x³ ; f(x) = x³ e la sua immagine è tutto IR.

Esempio

Esempio

CATALOGO è un’applicazione di A → B in cui:A: oggetti in venditaB: numeri con 2 cifre decimali (prezzi in €)A = insieme dei nomi italianiB = insieme dei cognomi italiani

A × B: insieme dei possibili nomi e cognomi italianiF è un'unica che è associato ad un unico e cognome, la sua IMMAGINEsono dei effettivi unici e cognomi italiani.

Iniettiva

2 ≠ 2₂ → f(2₁) ≠ f(2₂)

Controinversale: se f(2₁) = f(2₂) → 2₁=2₂

Suriettiva

∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : f(a) = b

Applicazione

Esempi: Quali delle seguenti definiscono una funzione f: R → R?

• y = x sì
• y = x² no, sebbene ∃ x ci sono 2 y che non se sono mai
• y = x no, sebbene il dominio usuale è tutto R, se lo restringiamo ad R₊ ottiene sì.
• y = &sqrt;x soltanto se il dominio è R₊
• y = |x| sì
• |y| = x solo se il dominio è R₊
• y = sin x sì
• sin y = x → y=arcsin x solo se il dominio è [-1,1]
• y = tg x solo se il dominio è R \ {multipli dispari di π/2}
• tg y = x → y = arctg x   y ∈ [-π/2; π/2]   e ok seg di seno.

Verifichiamo l'Iniettività e la Suriettività

y = x - id_R è certamente Bigettiva

y =