Analisi funzionale

X X X

∥ · ∥ ∥ · ∥

Definizione (Operatore limitato). Siano (X, ) e (Y, ) spazi vettoriali normati,

X Y

→ ⇔

limitato

l’operatore : è trasforma insiemi limitati di in insiemi limitati di

T X Y T X

Y. ∥ · ∥ ∥ · ∥ →

Lemma (Lemma 3). (X, ) (Y, ) :

T X Y

Siano e spazi vettoriali normati e un

X Y

operatore lineare. Allora ⇔

T X T X.

è continuo in è limitato in

∥ · ∥ ∥ · ∥ →

Lemma (Lemma 4). (X, ) (Y, ) :

T X Y

Siano e spazi vettoriali normati e un

X Y

operatore lineare. Allora ⇔ ∥T ∞.

sup

T X x∥ <

è continuo in Y

∥x∥≤1

x∈X,

∥ · ∥ ∥ · ∥ →

Lemma (Lemma 5). (X, ) (Y, ) :

T X Y

Siano e spazi vettoriali normati e un

X Y

operatore lineare. Allora ⇐⇒ ∃ ∥T ≤ ∀x ∈

0 :

T X C > x∥ C∥x∥ , X

è continuo in Y X

⇐⇒ T X C,

è Lipschitziano in di costante

∥T − ≤ − ∀x, ∈

x T y∥ L∥x y∥ , y X.

cioè Y X ∀α, ∈

Osservazione . (αx + = +

T βy) αT x βT y, β

Per definizione di operatore lineare, e

K

∀x, ∈ −1

= 1, =

y X. α β

Se allora

∥T − ∥T − ≤ −

= (x

x T y∥ y)∥ C∥x y∥ ,

X

⇒ ⇒

0

T T X T X.

cioè continuo in continuo in Lipschitziano in

X ∥ · ∥ ∥ · ∥ →

Lemma (Lemma 6). (X, ) (Y, ) :

T X Y

Siano e spazi vettoriali normati e un

X Y

operatore lineare. Allora ⇐⇒ ∥T ∞.

sup

T X x∥ <

è continuo in Y

∥x∥=1

x∈X,

Si dimostra che ∥·∥ ∥·∥ →

Lemma . (X, ) (Y, ) :

T X Y

Siano e spazi vettoriali normati e lineare e continuo.

X Y

Allora ∥T x∥ Y ∥T

sup = sup x∥ Y

∥x∥ ∥x∥

x∈X, x̸ =0 x∈X,

X =1

X X ∥T

= sup x∥

Y

∥x∥ ≤1

x∈X, X ∥T ≤ ∥x∥ ∀x ∈

= inf{M 0 :

> x∥ M , X}.

Y X

∥ · ∥ ∥ · ∥ ∞

Osservazione . (X, ) (Y, ) dim =

X n <

Se e sono spazi vettoriali normati con

X Y

→ ∞.

: dim =

T X Y T X

e è lineare, allora è anche continuo. Il risultato è falso se

14 2.2 Spazio degli operatori lineari e continui

{x ∃ ∈ ∀n ≥ ∥x∥ |x |

Esempio . = = = (x ) : : = 0}, = max

X c n n, x

Sia con

N

n n∈N n X n∈N n

00

e definisco l’operatore −→

:

T X X

7−→

= (x ) = (nx ) = (x 2x )

x T x , , . . .

n n n n 1 2

non

T

Si nota che è lineare ma è continuo perchè non è limitato. m

m m ∈ ∥e ∥

∈ ), allora e =

Per ogni sia = (0, 0, 1, 0, ) = (σ e c

m e . . . , . . .

Dimostrazione. N, m 00

n

m m

∀m ∈ ∥T ∥ ∥(0, ∥T ∥

1, Però = 0, 0, )∥ = quindi sup = +∞.

e . . . , m, . . . m e

N. m

{e }

Dunque, trasforma l’insieme limitato in un insieme non limitato.

T m

2.2 Spazio degli operatori lineari e continui

2.2.1 Definizione

∥ · ∥ ∥ · ∥

Siano (X, ) e (Y, ) spazi vettoriali normati.

X Y

L(X, {T →

Teorema . ) = :

Y X Y T

Lo spazio tale che è lineare e continuo} è uno spazio

vettoriale rispetto alle operazioni

• somma di operatori

L(X, × L(X, −→ L(X,

+ : ) ) )

Y Y Y

7−→ −→

(T, + :

S) T S X Y

7−→ (T + = +

x S)(x) T x Sx

• prodotto di scalare e operatore

· × L(X, −→ L(X,

: ) )

Y Y

K 7−→ · −→

(α, ) :

T α T X Y

7−→ (αT )(x) =

x αT x

e normato di norma ∥T x∥

Y

∥T ∥ = sup

L(X,Y ) ∥x∥

x∈X, x̸ =0 X

X ∥T

= sup x∥

Y

∥x∥

x∈X, =1

X ∥T

= sup x∥

Y

∥x∥ ≤1

x∈X, X ∥T ≤ ∥x∥ ∀x ∈

= inf{M 0 :

> x∥ M , X}.

Y X

∥T ≤ ∥T ∥ ∥x∥ ∈

x∥ , x X.

In particolare, vale per ogni

L(X,Y

Y X

) 15

Operatori lineari e spazio degli operatori

2.2.2 Parentesi di riflessione sulla convergenza

Osservazione . Ci poniamo le seguenti domande

−→ ∥T − ∥

Cosa significa ?

• lim = 0.

T T T

Significa che L(X,Y

n n→∞ n )

L(X,Y )

{T } ∈ L(X,

Se quale rapporto esiste tra le seguenti convergenze?

• : ),

T Y

n n

−→

– T T , cioè convergenza forte/nella norma di operatori

n L(X,Y )

u

−→

– T T X

, cioè convergenza uniforme degli operatori in

n X

p

−→

– T T X

, cioè convergenza puntuale degli operatori in

n X ∥ · ∥ {T } ⊂ L(X,

Lemma . (X(R), ) ).

T Y

Siano uno spazio vettoriale normato e , Allora

X n n

u

−→ ⇐⇒ −→

T T T T.

1. n n X

L(X,Y ) p

−→

−→ =⇒ T.

T T T

2. n n X

L(X,Y ) p

−→ ̸ ⇒ −→

=

Si mostra un controesempio per mostrare che T T T.

T n

n X L(X,Y )

Esempio . Siano ∞ 2

2 X ∞},

{x ∈ ∀n ∈

= = = = (x ) : x <

X Y ℓ x e

R, N

n n∈N n n

n=1

ovvero lo spazio delle successioni di numeri reali tali che le corrispondenti serie dei quadrati

convergono. Si osserva che

2

• + = (x + ) = (αx )

ℓ x y y αx

è uno spazio vettoriale con le operazioni e per

n n n∈N n n∈N

2

∈ ∈

x, y ℓ α

ogni e per ogni R; qP

∞

2 ∥x∥ 2

• =

ℓ x

è uno spazio normato con .

2

ℓ n=1 n

2

= =

X Y ℓ

Presi (spazi vettoriali normati), si esibisce un esempio di successione

p

{T } ⊂ L(X, −→ ̸−→

) : 0 0.

Y T T

ma

n n n n

X L(X,Y )

traslazione a sinistra

Si parte definendo l’operatore di (left shift)

2 2

−→

: = =

T X ℓ Y ℓ

7−→

= (x ) = (x )

x T x

k k∈N k+1 k∈N

T

e si osserva che è lineare e continuo. Ora, sia

2 2

−→

: = =

T X ℓ Y ℓ

n 7−→

= (x ) = (x )

x T x

k k∈N n k+n k∈N

T

e si osserva che è lineare e continuo. Si hanno le seguenti proprietà:

n

16 2.2 Spazio degli operatori lineari e continui

∥T ∥ ∀n ∈

= 1,

1. N.

L(X,Y

n ) p

∥T ∀x ∈ −→ ∀x ∈

lim = 0, 0,

x∥ X T X.

2. ovvero

n→∞ n Y n X

{T } L(X,

NON ).

Y

3. converge in

n n {T } ⊂ L(X,

Osservazione . )

Y

Questo esempio mostra che può convergere puntualmente

n

p

−→ ∈ L(X, ̸−→

),

T T T Y T T

a ma tuttavia .

n n

X L(X,Y ) p

{T } ⊂ L(X, −→

Il prossimo esempio mostra che ) può convergere puntualmente a

Y T T

n n X

NON NON

lineare ma continuo, a patto che sia spazio vettoriale normato completo

T X

(altrimenti vale il Corollario di Banach-Steinhaus).

Esempio . = =

X c Y

Siano (non completo), e

R

00 −→

:

T c R

n 00 n

7−→ P

= (x ) = x

x T x k

k k n k=1

∈

n−esima. c x c

la somma parziale Per definizione di , per ogni

00 00

∞

n X

X ∈

lim = lim = x

T x x R.

k

n k

n→∞ n→∞ k=1

k=1

Sia ora −→

:

T c R

00 ∞

7−→ P

=

x T x x k

k=1

p

−→T

T T .

ed è chiaro che è lineare e che n

NON

T

Tuttavia è limitato, perchè

∞

• sup =

Tx

∥x∥

x∈c , ∞

00 ℓ (m) (m) (m)

∈ ∥x ∥

• = (1, 1 0, ), = 1 =

m x . . . , , . . . T x m

se per ogni sia allora ma

N ∞

ℓ

| {z }

m

2.2.3 Funzionali e duale

∥ · ∥ ∥ · ∥

Teorema . (X, ) (Y, ) Y

Siano e spazi vettoriali normati e sia spazio di Banach.

X Y

∥ · ∥

(L(X, ), )

Y

Allora è spazio di Banach.

L(X,Y ) → funzionali.

Nel caso particolare di operatori : si parla di

T X R ∥ · ∥

Definizione (Duale di uno spazio vettoriale normato). Sia (X, ) uno spazio vettoriale

X

duale di

normato. Si dice lo spazio

X

∗ ∗ ∗

L(X, {x →

= = : tale che è lineare e continuo}

X X x

R) R

Dal precedente teorema segue la seguente ∗

∥ · ∥ ∥ · ∥

Proposizione . (X, ) (X )

,

Sia uno spazio vettoriale normato. Allora è spazio di

∗

X X 17

Operatori lineari e spazio degli operatori

Banach con ∗ ∗

∥x ∥ | |.

= sup < x , x >

∗

X ∥x∥ ≤1

x∈X, X

18

3. Teorema di Hanh-Banach analitico

3.1 Teorema di Hahn-Banach analitico forte

Vediamo ora un risultato di grande utilità: tra le altre cose, permette di provare che se è uno

X

∗

spazio vettoriale normato non banale, allora il suo duale contiene funzionali non banali. Lo

X

stesso teorema, insieme al Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni, viene usato per

provare che ∗

h i

∞

N N

1 ⊂

(R ) (R )

L L . N

Teorema (Teorema di Hahn-Banach analitico forte). )

X(R

Siano uno spazio vettoriale su

⊂ → →

: :

X X f X p X

un sottospazio vettoriale e un funzionale lineare. Sia tale

R, R R

0 0 0

che ∀λ ∀x ∈

• 1, = 0

p p(λx) λp(x), > X;

è positiva omogenea di grado cioè e

≤ ∀x, ∈

• + +

p p(x y) p(x) p(y), y X;

è sub-additiva, cioè

≤ ∀x ∈

• (x