Analisi matematica 1

Analisi 1

Gli insiemi

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C è detta catena di inclusioni

• N : insieme dei numeri naturali (interi positivi)
• Z : insieme degli interi (interi con segno)
• Q : insieme dei razionali (numeri decimali rappresentabili come le frazioni, quindi con decimali finiti o periodici; è il quoziente di due interi con denominatore ≠ 0)
• R : insieme dei numeri reali (anche i decimali infiniti come π)
• R \ Q : insieme degli irrazionali (solo decimali infiniti)

La retta reale : tutti i punti di una retta orientata possono essere associati ai numeri dell'insieme R. Essendo che la retta è orientata allora è possibile stabilire un ordine di grandezza: si parla di ordinamento totale se, presi due numeri x e y distinti, è sempre vero che o x<y oppure x>y. NB La retta reale non si può assegnare ai numeri C!

Gli intervalli:

sottoinsiemi di R compresi tra due estremi fissati: dati a e b estremi, dell'intervallo:

• (a,b) = { x ∈ R / a < x < b } intervallo aperto
• [a,b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } intervallo chiuso
• [a,b) = { x ∈ R / a ≤ x < b } intervallo semi aperto a sx
• (a,b] = { x ∈ R / a < x ≤ b } intervallo semi aperto a dx

NB se l'insieme è infinito (∞) è sempre aperto!

Gli insiemi limitati:

DEF. A ⊂ R A≠∅ k∈R diciamo che k è un maggiorante di A quando: k ≥ a ∀ a ∈ A

DEF. A ⊂ R A≠∅ k∈R diciamo che k è un minorante di A quando: k ≤ a ∀ a ∈ A

DEF. A ⊂ R A≠∅ k∈R diciamo che k è il massimo di A quando: k ∈ A

DEF. A ⊂ R A≠∅ k∈R diciamo che k è il minimo di A quando: k ∈ A

• A è superiormente limitato quando esiste un maggiorante di A.
• A è inferiormente limitato quando esiste un minorante di A.
• A è limitato quando è sup. e inf. limitato (cioè A è limitato se ∃ k ∈ R / -k ≤ x ≤ k ).

ANALISI 1

GLI INSIEMI

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C è detta catena di inclusioni

• N: insieme dei numeri naturali (interi positivi)
• Z: insieme degli interi (interi con segno)
• Q: insieme dei razionali (numeri decimali rappresentabili con le frazioni, quindi con decimali finiti o periodici; è il quoziente di due interi con denominatore ≠ 0)
• R: insieme dei numeri reali (anche i decimali infiniti come π)
• R \ Q: insieme degli irrazionali (solo decimali infiniti)

La retta reale: tutti i punti di una retta orientata possono essere associati ai numeri dell’insieme R. Essendo che la retta è orientata allora è possibile stabilire un ordine di grandezza. Si parla di ordinamento totale se, prese due numeri x e y distinti, è sempre vero che o x < y oppure y < x. NB La retta reale non si può estendere ai numeri C!

Gli intervalli

Sottoinsiemi di R compresi tra due estremi fissati. Dati a e b estremi, dell’intervallo:

• (a, b) = { x ∈ R / a < x < b } intervallo aperto
• [a, b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } intervallo chiuso
• (a, b] = { x ∈ R / a < x ≤ b } intervallo semi aperto a sx
• [a, b) = { x ∈ R / a ≤ x < b } intervallo semi aperto a dx

NB L’insieme infinito (∞) è sempre aperto!

Gli insiemi limitati

DEF. A ⊂ R, A ≠ ø. K ∈ R

Diciamo che K è un maggiorante di A quando:

k ≥ a ∀ a ∈ A

DEF. A ⊂ R, A ≠ ø. K ∈ R

Diciamo che K è un minorante di A quando:

k ≤ a ∀ a ∈ A

DEF. A ⊂ R, A ≠ ø. K ∈ A

Diciamo che K è il massimo di A quando:

k ≥ a ∀ a ∈ A

DEF. A ⊂ R, A ≠ ø. K ∈ A

Diciamo che K è il minimo di A quando:

k ≤ x ∀ a ∈ A

• A è superiormente limitato quando esiste un maggiorante di A.
• A è inferiormente limitato quando esiste un minorante di A.
• A è limitato quando è sup. e inf. limitato (cioè A è limitato se
• ∃ k ∈ R / −k ≤ x ≤ k ).

I NUMERI COMPLESSI

C = {z = a + ib : a, b ∈ ℝ }

• a è la parte reale Re(z)
• i è l'unità immaginaria
• b è la parte immaginaria Im(z)

Proprietà:

• z = a + ib
• w = α + iβ
• z + w = (a + α) + i(b + β)
• z ∙ w = (aα - bβ) + i(ab + bd)
• z (w) = α (a + ib)

NB: un numero reale è un numero complesso con p