Analisi matematica 1

ANALISI 1

GLI INSIEMI

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

• ℕ: insieme dei numeri naturali (interi positivi)
• ℤ: insieme degli interi (interi con segno)
• ℚ: insieme dei razionali (numeri decimali rappresentabili con le frazioni, quindi con decimali finiti o periodici; è il quoziente di due interi con denominatore ≠ 0)
• ℝ: insieme dei numeri reali (anche i decimali infiniti come π)
• ℝ \ ℚ: insieme degli irrazionali (solo decimali infiniti)

La retta reale

Tutti i punti di una retta orientata possono essere associati ai numeri dell'insieme ℝ. Essendo che la retta è orientata allora è possibile stabilire un ordine di grandezza; si parla di ordinamento totale se, presi due numeri x e y distinti, è sempre vero che o x < y oppure y < x. NB: La retta reale non si può estendere ai numeri complessi!

Gli intervalli

Sottoinsiemi di ℝ compresi tra due estremi fissati: dati a e b estremi, dell'intervallo:

• (a, b) = { x ∈ ℝ / a < x < b } intervallo aperto
• [a, b] = { x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b } intervallo chiuso
• [a, b) = { x ∈ ℝ / a ≤ x < b } intervallo semi aperto a sx
• (a, b] = { x ∈ ℝ / a < x ≤ b } intervallo semi aperto a dx

NB: L'insieme infinito (∞) è sempre aperto!

Gli insiemi limitati

DEF. A ⊂ ℝ A ≠ ∅ K ∈ ℝ

Diciamo che K è un maggiorante di A quando:

• k ≥ a ∀ a ∈ A

DEF. A ⊂ ℝ A ≠ ∅ K ∈ ℝ

Diciamo che K è un minorante di A quando:

• k ≤ a ∀ a ∈ A

DEF. A ⊂ ℝ A ≠ ∅ K ∈ A

Diciamo che K è il massimo di A quando:

• k ≥ a ∀ a ∈ A

DEF. A ⊂ ℝ A ≠ ∅ K ∈ A

Diciamo che K è il minimo di A quando:

• k ≤ a ∀ a ∈ A

A è superiormente limitato quando esiste un maggiorante di A.

A è inferiormente limitato quando esiste un minorante di A.

A è limitato quando è sup. e inf. limitato (cioè A è limitato se ∃ K ∈ ℝ / -K ≤ x ≤ K).

I NUMERI COMPLESSI

ℂ = { z = a + i b; a, b ∈ ℝ }

• a è la parte reale Re (z)
• i è l’unità immaginaria
• b è la parte immaginaria Im (z)

Proprietà:

• z + z = 2 a
• z - z = 0
• z . z^* = a² + b²
• z + ω = (a + α) + i (b + β) somma
• z . ω = (aα - bβ) + i (aβ + bα) prodotto
• z . ω = ω . (a + i b)

NB: un numero reale è un numero complesso con parte immaginaria nulla.

Il piano complesso:

I numeri complessi possono essere rappresentati sul piano cartesiano usando come ascissa la loro parte reale e per ordinata quella immaginaria.

La lunghezza del vettore (modulo) è data dal Teorema di Pitagora:

|z| = √a² + b²

Se A = { z ∈ ℂ , |z| = 1 }, rappresenta la circonferenza unitaria.

Rappresentazioni:

Un numero complesso è rappresentabile in tre forme:

• trigonometrica: z = g (cos Θ + i sen Θ)
• algebrica: z = a + i b
• esponenziale: z = g e^{i Θ}

dove g rappresenta il modulo e Θ è l’angolo formato dal vettore con l’asse x. NB: l’angolo non è unico ma rappresentabile come Θ + 2k π.

Utilizzando la forma esponenziale è più semplice svolgere l’operazione del prodotto:

z . ω = (g₁g₂)e^{i(Θ₁ + Θ₂)}

Potenze:

È possibile svolgere la potenza di un numero complesso con la formula:

zⁿ = gⁿ e^{i n Θ}

A volte la potenza viene usata per svolgere un’equazione le cui soluzioni sono i vettori in un poligono inscritto nella circonferenza sul piano cartesiano. Per svolgere l’equazione bisogna mettere a sistema gⁿ con il modulo e nΘ con l’angolo dell’etto numero (con il 2k π).

Teorema di permanenza del segno: se esiste {a_n} dove a_n → L con L > 0 allora a_n > 0 definitivamente.

Dimostrazione: ∀ε > 0 ∃N/| a_n - L| < ε ∀n > N (L > 0).

• L-ε - - - - - - - - -
• ε < - - - - - - - -

Il grafico della funzione è sicuramente tutto tra L+ε ed L-ε e se ε è molto piccolo, il grafico risulta tutto positivo.

Teorema dei due carabinieri: a_n ≤ b_n ≤ c_n definitivamente, se a_n → L e c_n → L allora anche b_n → L.

Dimostrazione: L-ε ≤ a_n ≤ b_n ≤ c_n ≤ L+ε quindi L-ε ≤ b_n ≤ L+ε (dimostrazione banale!).

Altro teorema: se a_n ≤ b_n definitivamente e a_n → +∞ allora anche b_n → +∞. Se a_n ≤ b_n definitivamente e a_n → C allora C₁ ≤ b_n < +∞.

Dimostrazione:

1. ∀ε
2. ∀n ≥ N ₁ a_n ≤ C + 1/2 n.
3. Supponiamo che L-ε ≤ a_n ≤ b_n ≤ L+ε e: L-ε ≤ a_n ≤ c.
4. ∞
5. ∞
6. +∞
7. L ≤ c
8. ∞
9. L ≤ c + ε (essendo che ε può essere molto piccolo).

Ordini di infinito e infinitesimo: con "infinitesimo" si intende una successione che tende a 0. Gli ordini servono per confrontare due successioni e vedere a cosa tende. Le loro rapporto quindi:

• ordini di infinito: (→∞)

1. a_n (⅄) non sono confrontabili
2. lim _n→∞ a_n o