Analisi Matematica 1 - Appunti

Insiemi e sottoinsiemi

L'insieme dei numeri naturali è indicato con ℕ e contiene tutti i numeri naturali n con n ≥ 0.

Gli interi, rappresentati da ℤ, includono tutti i numeri interi, sia positivi che negativi, compreso lo zero.

I razionali, denotati come ℚ, comprendono i numeri che possono essere espressi come frazioni, ovvero p/q con n ≠ 0 e q ∈ ℤ.

L'insieme dei numeri reali è rappresentato con ℝ, e include tutti i numeri sulla retta numerica.

I numeri complessi sono indicati con ℂ. Essi comprendono numeri della forma a + bi, dove a e b sono numeri reali e i è l'unità immaginaria.

Proprietà degli insiemi

Un elemento x appartiene a un insieme X se x ∈ X. Se y non appartiene a X, si scrive y ∉ X.

Un insieme A è un sottoinsieme di un insieme X, indicato come A ⊆ X, se tutti gli elementi di A sono anche elementi di X.

Se solo alcuni elementi di A appartengono a X, si scrive A ⊂ X.

La proprietà caratteristica di un insieme può essere espressa come A_i = { x | p(x)}, dove p(x) è una proprietà che gli elementi di A devono soddisfare.

Esempio: A₂ = { x | x è un numero pari }.

L'insieme ambiente è l'insieme che contiene tutto ciò che è di interesse, denotato come X := ins. ambiente.

Il complemento di un insieme A, denotato come C_A o A̅, è l'insieme degli elementi che sono in X ma non in A: { x ∈ X | x ∉ A }.

Operazioni sugli insiemi

Dati A ⊂ X e B ⊂ X:

• Intersezione A ∩ B: elementi che appartengono sia ad A che a B.
• Unione A ∪ B: elementi che appartengono ad A o a B.
• A ∩ A̅ = ∅
• A ∪ A̅ = X

Le operazioni sono commutative: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.

Proprietà delle operazioni

Associativa:

• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Distributiva:

• (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

Leggi di De Morgan:

• (A ∪ B)̅ = A̅ ∩ B̅
• (A ∩ B)̅ = A̅ ∪ B̅

Differenza: A \ B (A tolto B) = {x ∈ X / x ∈ A e x ∉ B}

Logica delle proposizioni

Una proposizione logica p è una frase della quale si può dire in modo inequivocabile se è Vera o Falsa.

• "3 è un numero pari" è una proposizione Falsa.
• "3×4" è una proposizione Vera.

Connettivi logici:

• ¬p (non p): è Vera quando p è Falsa e viceversa.
• Congiunzione logica: dati p, q, p∧q (p e q) è Vera solo se entrambe sono vere; Falsa negli altri casi.
• Disgiunzione logica: dati p, q, p∨q (p o q) è Vera quando lo è almeno una delle due.
• Implicaione: p ⇒ q (p implica q, se p allora q). Esempi:
  • p: "piove", q: "non esco con l'ombrello", p⇒q V
  • p: "piove", q: "esco senza ombrello", p⇒q F

p⇒q è una condizione sufficiente perché sia Vera q (Tesi) e perché sia Vera p (Ipotesi).

Es: condizione sufficiente perché io esca con l'ombrello è che piova.

p⇒q è una condizione necessaria perché sia Vera p (Ipotesi) e che sia Vera q (Tesi).

Es: condizione necessaria perché piova è l'esserci pioggia.

p⇒q è equivalente a p v q.

Equivalenza logica

p⇔q è Vera se e solo se entrambe p e q sono vere. Questo implica una condizione NECESSARIA e SUFFICIENTE affinché p sia Vera e che q sia Vera.

p⇔q = (p⇒q) ∧ (q⇒p)

p⇔q è equivalente a ¬q⇒¬p. Ad esempio, se non esco con l'ombrello ⇒ non piove.

p⇒q è equivalente a p∧q ⇒ q∧p ⇒ x dice p q'cs sempre Falso.

Quantificatori

• ∃ (esistenziale)
• ∀ (universale)

Negazione e quantificatori

Esempio: S = {Studenti AM} p(x) = x è biondo

∃x p(x) V significa che almeno un x soddisfa p(x).

∀x ∈ S | ¬p(x) è Falso significa che tutti gli x soddisfano p(x).

L'universale negato diventa esistenziale e viceversa.

p(x, y) := x = y

∀x ∃y / p(x, y) è Falso, contros.: x := 1 y := 4

∀y ∃x / p(x, y) è Vero ⇔ esistono x, y tali che ¬p(x, y) sia Vero.

∃x, ∃y / p(x, y) è Vero.

¬(∃x, ∃y / p(x, y)) è Falso ⇔ esiste x tale che per tutti y, p(x, y) è Vero.

Scambio ordine ∃y / ∀x / p(x, y) è Falso

∃y / ∃x / p(x, y) ⇔ ∃x / ∃y / p(x, y) è Vero.

L'ordine dei quantificatori è importante!