Analisi Matematica 1 - Appunti

Definizione e tipi di funzioni

Iniettiva, suriettiva, biettiva

Immagine e controimmagine

Composizione: f:A→B

Inversa: Successioni

Tipi di successione

• Convergente
• Divergente
• Irregolare

Infiniti e infinitesimi

{xₙ}

Teorema unicità del limite

Teorema del confronto

Successioni monotone

Teorema criterio rapporto

(estano successioni)

Classificazione di successioni

(esteno success)

Punto di accumulazione

(eserc)

Limite di funzione

Funzione continua

Funzioni simmetriche

Pari / dispari

Teorema esistenza del limite

Monotonia per una funzione (eserc)

Derivata di una funzione

Teorema continuità funzione derivabile

(eserc)

Teorema della composizione

Teorema esistenza funzioni continue

De C([a,b];R)

Teorema Weierstrass

Punti estremi

(eserc)

Teorema di Fermat

Teorema Rolle

Teorema Cauchy

3 Test di monotonia

Definizione e tipi di funzione

Iniettiva, suriettiva, biettiva

Immagine e controimmagine

Composizione

Inversa

Successioni

Tipi di successione

Convergente, divergente, irregolare

Infiniti e infinitesimi

Teorema unicità del limite

Teorema del confronto

Successioni monotone

Teorema criterio rapporto

(stessa successioni)

Classificazione di successioni

(dominio numerabile)

Punto di accumulazione

^acc

Limite di funzione

Funzione continua

Funzioni simmetriche

Pari, dispari

Teorema esistenza del limite

Monotonia per una funzione ^acc

Derivata di una funzione

Teorema continuità funzione derivabile

^acc

Teorema della composizione

Teorema esistenza funzioni continue

Teorema Weierstrass

Punti estremi ^acc

Teorema di Fermat

Teorema Rolle

Teorema Cauchy

Teorema Rolle

Teorema derivabilità

Funzione inversa

Teorema formula di Taylor con resto di Peano

Test di monotonia

Cenni numeri complessi

Cenni di equazioni differenziali

• Scomposizione
• Somma superiore
• Somma inferiore
• Integrale sup e inf
• Integrale secondo Riemann
• Funzione Riemann integrabile
• Classi funzioni Riemann integrabili
• Teorema criterio integrabilità
• Funzione integrale di primitive
• Teorema esistenza primitive delle f. continue
• Funzione primitiva
• Teorema fondamentale del calcolo integrale
• Teorema media integrale
• Teorema derivabilità integrale composta
• Definizione integrale generalizzato
• Definizione f. integrabile in senso gen.
• Classi int gen.
• Teorema criterio confronto
• Teorema criterio confronto asintotico
• Definizione funzione assolut. integrabile
• Teorema relativo

Funzione convessa per tangenti

Teorema convessità e monotonia

Flesso

Teorema sul flesso

Analisi 1.1

L'analisi matematica poggia le proprie basi sul concetto di insieme Ω e su quello di elemento x appartenente ad Ω.

Quindi: gli insiemi vengono messi in relazione tra loro secondo la seguente dicitura ∀x ∈ Ω. P(x) dove V può essere sostituito da ∃, ∈ da ∉.

Negare tale proposizione ∀ equivale a dire: ∀x ∈ Ω. ℲP(x) dove V è vietato da ∃x ∈ Ω Ⅎ(ω ≡ ∀x ∈ Ω. P(x)) e quindi la proposizione è un'affermazione vera e ben costruita.

Tabella di verità

• ∪ el unione
• ∩ e intersezione
• Ⅎ non negazione

Tipi di insiemi numerici

N naturali, N = {0, 1, 2, ..., n, ...} ∀x ∈ N: (x ≥ 0, x = (n) intero)

Z interi, Q razionali

Ma N ⊂ Z ⊂ Q non bastano a rappresentare tutta la realtà e tendono in ℝ.

Teorema incommensurabilità del quadrato

Disegnando un quadrato di lato 1 e ponendo i vertici sulla retta orizzontale, si deduce che non è determinabile, con gli insiemi conosciuti (ℕ, ℤ, ℚ).

Teorema - Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che: ∃ p, q ∈ ℕ| p/q = √2; MCD(p, q) = 1((m/n)₂)² = 2 → m²/n² = 2 → m² = 2n²

Sostituendo tale equazione nell'espressione precedente: (2k)² = 2n² → 4k² = 2n² → 2k² = n²... ne consegue che anche n non è pari.

Il fatto che m, n ∈ ℙ è in contraddizione col fatto che MCD... = 1, quindi essi non sono divisibili entrambi senza 2. Non esistono ℚ il cui quadrato è 2. Viene tollerato un nuovo insieme numerico I(ℕ, ℤ, ℚ, I)

Q.e (R,+) Proprietà comuni

Luciano Q e IR desc