Analisi Matematica 1 - Appunti

Definizione Funzione

• Tipi Funzione: Iniettiva, Suriettiva, Biiettiva

Immagine, Controimmagine

Composizione f:A->B

Successioni

• Tipi di successione: Convergente, Divergente, Irregolare
• Infiniti e Infinitesimi
• Teorema Unicità del Limite
• Teorema del Confronto
• Successioni Monotone
• Teorema Criterio Rapporto (futura ricerca)
• Classificazione di Successioni (dominio numerabile)

Punto di Accumulazione

Limite di Funzione

Funzione Continua

Funzioni Simmetriche: Pari, Dispari

Teorema Esistenza del Limite

Monotonia per una Funzione

Derivata di una Funzione

• Teorema Continuità Funzione Derivabile

Teorema della Composizione

Teorema Esistenza Funzioni Continue

Teorema Weierstrass

Punti Estremanti

• Teorema di Fermat
• Teorema Rolle
• Teorema Cauchy

Funzione Inversa

Formula di Taylor con Resto di Peano

Test di Monotonia

CENNI NUMERI COMPLESSI

CENNI DI FUNZIONI DIFFERENZIALI

SCOMPOSIZIONE

SOMMA SUPERIORE

SOMMA INFERIORE

INTEGRALE SUP E INF

INTEGRALE SECONDO RIEMANN

FUNZIONE RIEMANN INTEGRABILE

CLASSI FUNZIONI RIEMANN INTEGRABILI

TEOREMA CRITERIO INTEGRABILITÀ

FUNZIONE INTEGRALE DI TI-INTEGR. SEC (E.R.)

TEOREMA ESISTENZA PRIMITIVE DELLE F. CONTINUE

FUNZIONE PRIMITIVA

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

TEOREMA MEDIA INTEGRALE

TEOREMA DERIVABILITÀ F. INTEGRALE COMPOSTA

DEFINIZIONE INTEGRALE GENERALIZZATO

DEFINIZIONE INTEGRABILE IN SENSO GEN.

CLASSI F. INT. GEN.

TEOREMA CRITERIO CONFRONTO

TEOREMA CRITERIO CONVERGENZA

DEFINIZIONE FUNZIONE ASSOLUT. INTEGRABILE

TEOREMA RELATIVO

FUNZIONE CONVESSA PER TANGENTI

TEOREMA CONVESSITÀ E MONOTONIA

FLESSO

TEOREMA SUL FLESSO

I razionali

Reali: R = B(z c z q) v z

Valore Assoluto

d(x) e D:

• f: x > 0
• g: x = 0
• x < 0

Proprietà

1. ∀ x ∈ R → x ≤ |x|
2. ∀ x, y ∈ R → |x| ⋅ |y| = |xy|
3. ∀ x, y ∈ R → |x + x| ≤ |x| + |y| disuguaglianza triangolare

Dimostrazione della disuguaglianza triangolare

x = |x|   y = |y|

-x ≤ |x|   -y ≤ |y|

-|x| ≤ x ≤ |x|   -|y| ≤ y ≤ |y|

∀ x, y ∈ R   |x + y| ≤ |x + y|

Nota: il l2 R interessa

1. ∀ x, y ∈ R   |x - y| ≤ |x - y|
2. ∀ x ∈ R   il x ≤ x^2
3. ∀ x ∈ R   &exists; 0   |x| ∈ R

Composizione

Siano f: A→B e g: C→D funzioni.

Sia l'immagine f(A) contenuta in C, ovvero ƒ(A)⊆C. Chiamiamo quindi la funzione g∘f composta; in particolare il dominio della stessa sarà dominio quello di f e come codominio quello di g.

Quindi: ∀x ∈ A, ƒg∘f(x) = g(f(x)) ∈ D _{ƒ (per teorema di compo. di fun.}

IMG f(a) = ∑ b∈B: b=ƒ(a), 0∈A ∑ a∈A∴

CONTR. ƒ^-1(b) = ∑ a∈A: ƒ(a) &=fnof;(b)⊂

N.B. ƒ^-1

∀ε>0, ⊄(ε)∈ℕ. {a_n} >ε, ∀n∈ℕ, n≥⊄(ε).

diciamo che la successione è fortemente divergente.

così lim_n→∞ a_n = +∞

∀ε>0, ⊄(ε)∈ℕ. {a_n} < -ε, ∀n∈ℕ, n≥⊄(ε).

diciamo che la successione è negativamente divergente.

così lim_n→∞ a_n = -∞

Esempi

ε(|¹⁄_n - 5|) ≥a∈ℕ V_m≡ >M-≥ m⇐5M^m, m≥5

Ne deduce tale definizione che una successione oscillante è infatti una successione né convergente né divergente

{(-1)ⁿ} {(-2)ⁿ}

per la regola e supra (si) non si dirà né convergente, né divergente (poiché sux di non è limitato. teorema con altri sux con comunque non irragg. …ibril. da con uno diversif. univocità infinity concvergi}

Per la regolarità l'operazione di limite come sopra contemplate av erne il loro limite non esiste.

in quanto non convergono o divergono a nessun valore.

DEFINITIVAMENTE

Dimostrazione 1^a

Per ipotesi Σa_n^{n ≥ n₀} tale successione è monotona crescente e superiormente limitata, quindi, per B. di cui gode ogni Ω ⊂ ℝ, esiste il suo estremo superiore α, il minimo dei maggioranti.

Di conseguenza una caratteristica della successione Σa_n^{n ≥ n₀} varia:

• α - ε < α_n < α + ε

dove le scale di disuguaglianze si cerca, in quanto α estremo sup. dell’insieme Σa_n^{n ≥ n₀}, mentre la prima è supportata dal teorema delle successioni monotone. Infatti, essendo Σa_n^{n ≥ n₀} monotona crescente ∀N∈ℕ n > m(ε) => ho che

• α - ε ≤ α_n ≤ sup_{Σan^{n ≥ n0}} ≤ α < α + ε

Infatti, essendo α - ε ≠ α potentante α_n < α non si è maggiorante della successione, e perciò esiste un m(ε) per cui: ∀a_n > α - ε.

In conclusione, essendo vero α - ε ∈ ℝ n. ≤ α + ε, possiamo dire che esiste il limite:

• lim_n→∞ α_n = α = sup Σa_n^{n ≥ n₀}

1. NUMERO E

TEOREMA

• lim_n→∞ (1 + 1/n)^m

Data la seguente successione, essa esiste ed è convergente a e, numero di Nepero

Quando scriverò: date _{Σan, Σbn<1/B}, per n→∞ esiste il limite del loro quoziente pari a 1, diremo che a_n è “asimtotato a” b_n.

lim _n→∞ a_n / b_n = 1 ⇒ a_n ≈ b_n

Σa_n∈Ω Σa_n+Σb_n∈ℝ lim _n→∞ n / n+1 = [∞/∞] = lim (n²)/(n²+n)

lim _n→∞ 1 / 1+1/n = 1 Possiamo ora affermare che Σ√_n∼Σ_n+1

lim _n→∞ √_n+1 / √_n = [∞⋅0=0]_a / [√_n+1−√_n]

lim _n→∞ n+1+√_n / √_n+1 ± lim _n→∞ √ⁿ+√

lim _n→∞ 1 / 2√_n = 0

lim _n→∞ √_n+1−√_n lim _n→∞ (√_n+1 − √_n) / √_n+1+√_n

lim _n→∞ n+1−√_n (√_n+1+√_n) / (√_n+1+√_n)³

lim _n→∞ (√_n+1+√_n) / √_n+1+√_n

∼ lim _n→∞ 3√_n / 2√_n ∼ lim _n→∞ 3/3∫² ∼ lim _n→∞ 3/2 n²+∞

In particolare per la succensione Σ1/n⁴ / 1/√_n⁴.

è asimtotato a Σ1/n³ in quanto l'infinitesimo di maggiore peso è quello di ordine inferiore.