Analisi matematica 1 - Appunti

(1) In una confezione di 10 cioccolatini ve ne sono 7 ripieni; scegliendo 4 cioccolatini, quale

è la probabilità che tutti siano ripieni?

• (A) 1/6.
• (B) 1/420.
• (C) 1/210.
• (D) 1/3.

Casi favorevoli = ₇C₄

Casi possibili = ₁₀C₄

^{P = ( ₇C₄ ) / ( ₁₀C₄ ) = 7! / 3! 4!}

= ¹/₅ ²/₈ = 1/6

Secondo Modo

P = ⁷/₁₀ * ⁶/₉ * ⁵/₈ * ⁴/₇ = 1/6

(2) Sia A il campo di esistenza della funzione f(x) = ln(3 - √(x² - 4x + 4)). Quale tra le

seguenti affermazioni è vera?

• (A) A =] -1, 5[.
• (B) A =] -5, -1[.
• (C) A =] -5, 1[.
• (D) Nessuna delle altre risposte è vera.

(1) (x² - 4x + 4) > 0

(x - 2)² Ok manca radici

3 - √(x - 2)² > 0

3 > √(x - 2)² = (x - 2)

Correzione Esame AN 1 10 gennaio 2012

(1) In una confezione di 10 cioccolatini ve ne sono 7 ripieni; scegliendo 4 cioccolatini, quale è la probabilità che tutti siano ripieni?

• (A) 1/6.
• (B) 1/420.
• (C) 1/210.
• (D) 1/3.

Casi favorevoli =

(7 sopra 4)

Casi possibili =

(10 sopra 4)

P = (7 sopra 4) / (10 sopra 4) = 7/10 * 6/9 * 5/8 * 4/7 = 1/6

(secondo modo)

P = 7/10 * 6/9 * 5/8 * 4/7 = 1/6

(2) Sia A il campo di esistenza della funzione f(x) = ln(3 - √x² - 4x + 4). Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• (A) A =] -1, 5[.
• (B) A =] -5, -1[.
• (C) A =] -5, 1[.
• (D) Nessuna delle altre risposte è vera.

x² - 4x + 4 > 0

3 - √(x - 2) > 0

(1) - 3x _[ -2 ^] < 3

(=>) {

(3) Data la serie ∑ a_n, dove a_n = ^{3α - 2} / _{4 - α}, sia A = {α | ∑ a_n converge}. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

(A) Nessuna delle altre risposte è vera.

(B) A _⊂ ] -1, 2[.(C) A è illimitato.(D) A _⊂ ] -2, 1[.

-1 ^{≤ 3α - 2} / _{α - α} < 1

^{3α - 2 - 4 + α} / _{4 - α}

^{3α - 2 + 4 - α} / _{4 - α}

{ ^{4α - 6} / _{4 - α} < 0

{ ^{2α + 2} / _{4 - α} > 0

x _∈ ]-∞, ³/₂ [ ∪ ]4, +∞ [ ∩ ] -1, 4 [.

x _∈ ] -1, ³/₂ [

(4) Sia data la funzione f(x) =^⎧ e^2x−6+x,  se x > 3 _⎩ ^(2x)−2ax+b,   se x ≤ 3. Per quali valori dei parametri a, b ∈ ℝ la funzione f(x) è derivabile su tutto ℝ?

• (A) a qualsiasi, b = 7a − 6.
• (B) a = 5, b = −1.
• (C) Nessuna delle altre risposte è vera.
• (D) a = 2, b = 8.

(5) Sia w = ^{⎧(z+i) −_(z)2⎫} . Se z = 1 − 2i , quale tra le seguenti risposte è vera?

• (A) ℜw > 3ℑw .
• (B) Nessuna delle altre risposte è vera.
• (C) ℜw < 0 .
• (D) 3ℑw = 0 .

(6) Si consideri l'integrale improprio I = ∫₀^∞ (√x² + arctan x) / (x^α+1(3x + 1)^5/2) dx. Quale tra le seguenti risposte è vera?

• (A) Nessuna delle altre risposte è vera.
• (B) I converge se α < 1/2.
• (C) I converge se α < 2.
• (D) I converge se α > 0.

f(x) = √x + arctg x / x^α+1 (1 + o(1))^5/2 ~ √x / x^α+1/2

∫₀¹ dx / x^α+1/2 converge se α < 1/2

(7) Sia A ⊂ ℝ un insieme illimitato superiormente. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• (A) Esiste x ∈ ℝ tale che a < x per ogni a ∈ A.
• (B) Esiste x ∈ ℝ tale che x < a per ogni a ∈ A.
• (C) Per ogni successione {x_n}_n di punti di A si ha x_n → +∞.
• (D) Per ogni n ∈ ℕ esiste x ∈ A tale che x > n.

1) Determinate le soluzioni z ∈ ℂ dell'equazione

(z + i) / (z − i))² = 16.

Risposta:

z + i = z − i dunque, possoy = z + i (l'equazione diventa)(y/y)² = 16

Ma questo è IMPOSSIBILE poiché|y/y| = |y/y| = 1 ≠ 6 (=16)

AltrimentiC.E. z ≠ −i ovvero |z ≠ −i|

z = a + ib

^{[z + i (b+1)]}₂

^{[z - i (b+1)]}₂ = 16

a² - (b+1)² + 2ia(b+1) = 16a² - 16(b+1)²

- 32ia(b+1)

{

a² - (b+1)² = 16a² - 16(b+1)²

2a(b+1) = 32a(b+1)

{

15a² = -15(b+1)²

30a(b+1) = 0

-15(b+1) = 0 { b = -1

{ a = 0

a = 0

15a² = 0 { a = 0

b + 1 = 0 { b = -1

L'unico valore è z = 0 - i = -i

Ma questo non è accettabile

⇒ Z soluz.

2)

Studiare il grafico della funzione f(x) = (2x + 4)e^1/x, determinando in particolare campo di esistenza, limiti agli estremi del campo di esistenza

Risposta:

C.E., x≠0

f > 0, x > -2

f < 0, x < -2

lim_x→+∞ (2x+4) e^1/x = +∞

lim_x→0⁺ (2x+4) e^1/x = +∞

lim_x→-∞ f(x) = -∞

lim_x→0^- (2x+4) e^1/x = 0

f' = 2 e^1/x - (2x+4)⋅1/x² e^1/x = 2⋅e^1/x [ x² - x -2 ] / x²

f' = 0 per x = 1 o x = 2

{ > 0 , x < -1

f' { < 0 , -1 < x < 0

f { < 0 , 0 < x < 2

{ > 0 , 2 < x

(-1, 2/e) p.to di max

(2, 8/e) p.to di min

2 e^1/x x² [ x² - x -2 ] / x² = 2 e^1/x ( 1 - 1/x - 2/x²) = f'

f'' = 2 e^1/x⋅(-1/x²)(1 - 1/x - 2/x²) + 2e^1/x(1/x² + 4/x³)

= 2 e^x/4 ₁/_x⁴ (-x² + x + 2 + x² + 4x)

- 2 e^x/4 / x⁴ (5x + 2)

f''(x)=0 → x=-2/5

f''(x) < 0 x=_...

f''(x) > 0 x=^...

e quindi c'è dove f è convࢫ_convessa

x=-1 è pos.di max relativo f(-1)=e/e

x=2 min relativo f(2)=8√e

y=8x+4

o⟭ontoso obliquo

f(x) > k

k < 0 f < k 1 ord.

e/e < x < βf < k 2 ord.

k=√e 1 ord.

f > e < k

f(x) < k

f < k 2 ord.

3)

• Calcolare il limite

^{ex2 - 1}_x² lim_x→0⁺ ─────────────── sin(x²) - x²cosx

• Calcolare poi, al variare dell’esponente α > 0, il limite

^{exα - 1}_x^α lim_x→0⁺ ──────────────── sin(x²) - x²cosx

Risposta:

e^x2 = 1 + x² + ^x4/₂ + ^x6/₆ + o(x⁵) ^ch (x²) = x² - ^(x2)3/₆ + ^(x2)5/_5! + o(x¹⁰) x²cos x = x^{2(1 - x2/₂ + x4/_4!) ex2 - 1 ───────────── (1 - x2) = (1 - x2) ex2 - 1 / ch x2cos x = 1/ (1 - x2) = 1/_{(1 - x2)} ⋅ (1 + x2 + x4/₂ + o(x4)) - 1 ────────── = 1 + x2 + x4/₂ + o(x4) - x2(1 + x2/₂ + x4/_4! + o(x4)) = x4/₂ + o(x4) limx→0+ - 1}

b)

e^x2-1

________________________ + ⁴

1 - ² / 2

e^-x2-1 x²

-/_~

o(⁴)

x⁴

________________________ + ⁴

1 - ²

________________________ + ⁴

1 - ²

________________________ + ⁴

1 - ²

________________________

o(⁴) - ⁴

x⁴

-x

(x⁴)

1 - ²

o(⁴)

1 - ²

________________________

1

x < 4

()

=

1

- x⁴

________________________

1 - ²

→ 0^-

→ 0

1 - ²

- x⁴

________________________

-

• → 0^-

→ 1

4) Trovate tutte le primitive della funzione

f(x) = ¹/_2√x (-1 + ln√x).

Posto a_n = ∫[¹/_n^2][¹/_n] f(x) dx, studiare la convergenza della serie ∑_n a_n al variare di α > 0.

Risposta:

= ∫ [- ¹/_2√x + ¹/_2√x . ln√x] dx = ∫ - dx/_2√x + ∫ ln√x dx/_2√x

= - √x¹/₁ + ∫ ¹/_2√x . ln√x dx

= - √x + √x . ln√x - ∫ √x/_u' . ¹/_√x ¹/_2√x dx

= - √x + √x ln√x - ∫ ¹/_2√x dx

= -2√x + √x ln√x + C

C ⊂ ℝ

Qm = ∫1/m2α1/mα f(x) dx = [ x√x + √x ln√x ]

αx = 1/m^2α

αx = 1/m^α

≅ -2/m^α + 1/m^α ln(1/m^α) + 2/m² - 1/m² ln(1/m²)

= -2/m^α - α log m/m^α + 2/m² + log m/m²

noting 1/m^α = o(log m/m^α), 1/m² = o(log m/m²).

and so

α < 2 ⇒ log m/m² = o(log m/m^α)

⇒ Q_m ≃ -α log m/m^α, m → ∞

and therefore ∑_m Q_m behaves like ∑_m -α log m/m^α

and this latter converges if α > 1

α > 2 ⇒ log m/m^α = o(log m/m²)

⇒ Q_m ≃ log m/m²

thus ∑_m Q_m behaves like ∑_m log m/m²

e quest'ultima converge

Teorema

∑_n log_m/m^α converge ∀α > 1

diverge α = 1

dim

α < 1 ⟹ m^α ≤ m ⟹ 1/m^α ≥ 1/m ⟹

log m /m^α ≥ 1/m ma ∑_n 1/m diverge

⇒ ∑_n log_m/m^α diverge ∀α ≤ 1

α > 1 ⇒ α-1 > 0 ⇒ α-1/2 > 0

⇒ log_m/m^α = log_m/m^α-1-α-1/2=

= log_m/m^α/2 = (1/m)^α/2 log_m

= (1/m)^α/2 log 1/m ⟶ 0

m ⟶ ∞

(Ricorda

x log x ⟶ ∞ ∀α > 0 !)