Analisi matematica 1 - Appunti

Correzione Esame AN 1 - 10 gennaio 2012

(1) In una confezione di 10 cioccolatini ve ne sono 7 ripieni; scegliendo 4 cioccolatini, quale è la probabilità che tutti siano ripieni?

• (A) 1/6.
• (B) 1/420.
• (C) 1/210.
• (D) 1/3.

Casi favorevoli = ₇C₄

Casi possibili = ₁₀C₄

P = ^₇C₄/_10C4 = ^7!/_{3! 4!} x ^4!/_10!

= ^{1 1}/_{4 5 8} = ¹/₆

Primo modo

P = ⁷/₁₀ x ⁶/₉ x ⁵/₈ x ⁴/₇ = ¹/₆

Secondo Modo

(2) Sia A il campo di esistenza della funzione f(x) = ln (3 - √(x² - 4x + 4)). Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• (A) A =] -1, 5].
• (B) A =] -5, -1[.
• (C) A =] -5, 1[.
• (D) Nessuna delle altre risposte è vera.

(x² < 4) G(g > 0)

(x - 2)²/3 > 0

3 > (x - 2)² = x - 2

(1) 3x - 2 < 3

(2) x < 5

(3) x > 1

(4) x ∈ ]1, 5]

(3) Data la serie ∑ a_n, dove a_n = ^{3α - 2}/_{4 - α}, sia A = {α | ∑ a_n converge}. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?

• (A) Nessuna delle altre risposte è vera.
• (B) A = ]-1, 2[.
• (C) A è illimitato.
• (D) A ⊂ ]-2, 1[.

-1 ≤ ^{3α - 2}/_{α - α} < 1

^{3x - 2 - 4 + x}/_{4 - α} < 0

^{3x - 2 + 4 - α}/_{4 - α} > 0

^{4α - 6}/_{4 - α} < 0

^{2α + 2}/_{4 - α} > 0

α ∈ ]-∞, 3/2[ ∪ ]4, +∞[ ∩ ]-1, 4]

α ∈ ]-1, 3/2[

z = a + ib

^[a + i(b+1)^]2 = 16

o^[a - i(b+1)^]2

a² - (b+1)² + 2ia(b+1) = 16

a² - 16(b+1)² +

- 32ia(b+1)

^{a² - (b+1)² = 16 a² - 16(b+1)²

^{2a(b+1) = 32a(b+1)

^{15a² = 15(b+1)²

30a^[ b+1) = 0

_o

^[-15 (b+1)² = 0^{] {}b = -1

^{a = 0

30

15a² = 0

^{a = 0

^{b+1=0 ^{b=-1

"L'unico dubbio è z = o - i* e - i"

Ma questo non è accettabile

=^> Ñ soluz.

4) Trovate tutte le primitive della funzione \( f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(-1 + \ln \sqrt{x}) \).

Posto \( a_n = \int_0^n f(x) dx\), studiare la convergenza della serie \(\sum a_n\) al variare di \(\alpha > 0\).

Risposta:

\(\int \left[ -\frac{1}{\sqrt{2x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln \sqrt{x} \right] dx = \int \frac{dx}{2\sqrt{x}} + \int \frac{\ln \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} dx \)

\( = -\sqrt{x} + \int \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \ln \sqrt{x} \, dx\)

\( = -\sqrt{x} + \sqrt{x} \ln \sqrt{x} - \int \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx\)

\( = -\sqrt{x} + \sqrt{x} \ln \sqrt{x} - \int \frac{1}{2x} \, dx\)

\( = -2\sqrt{x} + \sqrt{x} \ln \sqrt{x} + C \quad C \in \mathbb{R}\)