Analisi matematica 1 - Appunti

Appunti di Analisi Matematica 1

Poma Divo

Indice

1 Gli insiemi numerici 2

N, Z, Q

2 L’insieme dei numeri reali e le sue proprietá di continuitá 3

R

3 Elementi di topologia 11

4 Successioni 13

5 Serie numeriche 21

6 Funzioni: limiti e continuitá 27

7 Derivate 40

8 Primitive di una funzione 51

9 Integrali definiti 54

10 L’insieme dei numeri complessi 62

C

11 Integrali generalizzati 66

12 Sviluppi di Taylor 71

13 Equazioni differenziali 78

14 Complementi 86

1

Capitolo 1

Gli insiemi numerici N, Z, Q

• Numeri naturali

3 {1} ∈ ∈

Si assume che e se n allora n + 1

N N N

Sono definite due operazioni interne:

× → →

– somma: + : tale che (m, n) m + n

N N N

· × → → ·

– prodotto: : tale che (m, n) m n

N N N

Entrambe le operazioni godono delle proprietá commutativa e associativa.

Godono inoltre della proprietá distributiva del prodotto rispetto alla somma

ed esiste l’elemento neutro del prodotto, il numero 1.

⊆ ∈ ≥ ∈ ⇒

Principio di induzione: sia S N tale che n S e n n S

0 0

∈ {n ∈ ≥ }

n + 1 S. Allora S = : n n

N 0

• Numeri interi relativi

⊃ Valgono tutte le proprietá di ed in piú esiste l’elemento neutro

Z N. N

della somma, il numero 0, e ogni elemento ammette l’inverso rispetto alla

somma (l’opposto). (Z, +) é quindi un gruppo commutativo

• Numeri razionali m ∈ ∧ 6

{ /m, n n = 0}

L’insieme dei numeri razionali é = Z

Q n

Valgono tutte le proprietá di ed in piú, per ogni numero razionale diverso

Z \ {0}, ·)

da 0, esiste l’inverso rispetto al prodotto (il reciproco).(Q +, é quindi

un campo 2

Capitolo 2

L’insieme dei numeri reali e le sue

R

proprietá di continuitá

L’insieme dei numeri razionali non é completo. Si puó ad esempio dimostrare che

non esiste alcun numero razionale il cui quadrato é uguale a 2.

2

∈

Teorema 2.0.1. q = 2.

@ Q/q 2

∃ ∈ ∃ ∈ 6

Dimostrazione. Per assurdo q = 2 quindi m, n con n = 0 tali

Q/q Z

m

che q = . Si possono supporre, senza perdere di generalitá, m, n coprimi. Si ha

n 2

m

2 2 2

⇒ ⇒

quindi q = 2 = 2 m = 2n . Distinguiamo i casi:

2

n

- m, n pari non é possibile perch non sarebbero coprimi

∃ ∈ ∃ ∈

- m pari e n dispari allora h = 2h e k = 2k + 1 quindi

Z/m Z/m

2 2 2 2

⇒

4h = 2(4k + 4k + 1) 2h = 4k + 4k + 1 che é assurdo perché il primo membro

é pari mentre il secondo é dispari e non possono essere uguali.

2 2 2

- m dispari e n pari, m = 2n quindi un numero dispari (m ) dovrebbe essere

2

uguale ad un numero pari (2n ), assurdo.

- m, n dispari, si ha comunque l’uguaglianza, sempre assurda, tra un numero dispari

e uno pari. 2

Si conclude che q : q = 2 non é razionale.

L’insieme é l’insieme in cui vale l’assioma di continuitá

R

Assioma di continuitá di Dedekind: per ogni coppia A, B di sottoinsiemi di

≤ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈

tali che a b a A e b B esiste c tale che a c b, a A e

R R

∀ ∈

b B. Il numero c é detto elemento separatore tra A e B. Esso puó essere unico

oppure esisterne infiniti, puó appartenere ad A, a B, ad entrambi o a nessuno dei

due.

Teorema 2.0.2. In non vale l’assioma di Dedekind.

Q 3 ⊆ ≤ ∀ ∈

Dimostrazione. Si devono mostrare due insiemi A, B tali che a b a

Q +

∀ ∈ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ {a ∈

A, b B ma tc a c b a A, b B. Definiamo A =

@c Q Q

2 + 2 2

{b ∈ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈

tc a < 2} e B = tc b > 2}. a b a A, b B perché a < 2

Q

2 2 2 2 2

↔ ↔ ↔ − ↔

e b > 2 a < 2 < b a < b (a b)(a + b) < 0 a < b poiché a, b

+

∃c ∈

sono positivi quindi anche a + b. Per assurdo elemento separatore. Sono

Q

possibili tre casi:

2

• c = 2, impossibile per il teorema precedente.

2 + 2

• ∃h ∈

c < 2. Ció é impossibile poiché proviamo che tc (c + h) < 2,

Q

∈

che porta ad un assurdo poiché c + h A quindi c non sarebbe il maggiore

di tutti gli elementi di A. Supponiamo h < 1, tanto basta trovarne uno, e

2 2 2 2

↔ ←

quindi (c + h) < 2 c + h + 2ch < 2 c + h + 2ch < 2 (se esiste per

questa seconda diseguaglianza, a fortiori esiste per quella precedente essendo

2

2−c +

2 2 ∈

→ ↔ > 0 e h .

0 < h < 1 e quindi h > h ) c + h(1 + 2c) < 2 h < Q

1+2c

2

2−c

12 } ∈

; e c + h A, il che porta all’assurdo.

Possiamo prendere h = min{ 0

0 1+2c

2 +

• ∃h ∈

c > 2. Ció é impossibile poiché proviamo che e 0 < h < c tc

Q

2

− − ∈

(c h) > 2, che porta ad un assurdo poiché c h B quindi c non sarebbe

2 2 2

− ↔ − ←

il minore di tutti gli elementi di A. (c h) > 2 c + h 2ch > 2

2 −

c 2ch > 2 (se esiste per questa seconda diseguaglianza, a fortiori esiste per

2 2

−2 −2

c c

2

→ −2ch − ↔

quella precedente) > 2 c h < > 0. Si nota che < 2.

2c 2c

2 −2

1 c } − ∈

Posso prendere h = min{ ; e c h B, il che porta all’assurdo.

0 0

2 2c

Definizione 2.1. Sia A un sottoinsieme di Si dice che A ammette massimo

R.

∈ ≤ ≥ ∀ ∈

∃ a A tale che a a (a a) a A

(minimo) se

Proposizione 2.0.3. Se il massimo (minimo) esiste, é unico.

∃ 6 ≤ ≤ ∀ ∈

Dimostrazione. Per assurdo a = a massimi di A. Allora a a e a a a A.

≤

Poiché la diseguaglianza deve valere anche per i due massimi, deve essere a a

≤

a a da cui si trova che a = a, contro l’ipotesi che fossero diversi, quindi il

e

massimo deve essere unico. Analoga dimostrazione per il minimo.

Osservazione 1. La diseguaglianza stretta nella definizione non avrebbe senso

poiché essa deve valere per tutti gli elementi dell’insieme, quindi anche per il

massimo e minimo stessi.

Definizione 2.2. Sia A un sottinsieme di Esso si dice limitato superiormente

R.

∃M ∈ ∈ ≤ ≥ ∀ ∈

(inferiormente) se (∃m tale che a M (a m) a A.

R R) ∈

Definizione 2.3. Sia A limitato superiormente (inferiormente). Ogni M R

∈ ≤ ≥ ∀ ∈

(m tale che a M (a m) a A si dice maggiorante (minorante) di A

R) 4

Definizione 2.4. Sia A limitato superiormente (inferiormente). Si definisce estre-

mo superiore (inferiore) di A il minimo (massimo) dei maggioranti (minoranti) di

A. Esso si indica con supA (inf A).

Proposizione 2.0.4. Sia A limitato superiormente. Allora l’insieme dei maggio-

ranti ammette minimo.

∀ ∈ ≤ ∀ ∈

Dimostrazione. M M agg(A) a M a A. A e M agg(A) verificano le

∃ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈

ipotesi dell’assioma di Dedekind, quindi c tale che a c M a A e

R

∀ ∈

M M agg(A). Dalla diseguaglianza si deduce che c é un maggiorante di A ed é

il minimo dei maggioranti, perció é l’estremo superiore di A. L’unicitá dell’estremo

superiore deriva dall’unicitá del minimo di un insieme.

La dimostrazione é analoga per l’estremo inferiore.

Definizione 2.5. Se A non é limitato superiormente (inferiormente) si pone supA =

−∞).

+∞ (inf A =

Caratterizzazione degli estremi superiore e inferiore

∈

• ⇔ ∀ ∈ ∃ a A tc a > M

supA = +∞ M R

( ≤ ∀ ∈

a ξ a A

• ∈ ⇔

supA = ξ R ∈ −

∀ ∃ a A tc a > ξ

> 0

Dimostrazione. é un maggiorante di A, quindi vale la prima condizione.

∈ −

− ∃ a A tc a > ξ ,

Fissato > 0 ξ < ξ , cioé non é maggiorante, ovvero

che é la seconda condizione.

Viceversa se ξ verifica le due condizioni, si ottiene che ξ é un maggiorante

di A ed é il minimo dei maggioranti poiché se, per assurdo, supA < ξ allora

≤ ∀ ∈ −

a supA a A e, ponendo = ξ supA nella seconda condizione, si

∃a ∈ −

avrebbe che A tale che a > ξ = supA, cioé che a > supA, il che é

assurdo.

• −∞ ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈

inf A = m a A tc a < m

R

( ≥ ∀ ∈

a η a A

• ∈ ⇔

inf A = η R ∈

∀ ∃ a A tc a < η +

> 0

Le due dimostrazioni sono analoghe alle due precedenti.

Osservazione 2. Se A ammette massimo (minimo), questo coincide con l’estremo

superiore (inferiore).

Teorema 2.0.5. Sia A limitato superiormente. A ammette massimo se e solo se

∈

supA A e in tal caso supA = maxA. 5 ≤ ∀ ∈

Dimostrazione. supponiamo che A ammetta massimo a . Allora a a a A e

b b

∀ −

> 0 a> a e, per la caratterizzazione, a = supA. Viceversa supponiamo che

b b b

∈ ≤ ∀ ∈ ∈

supA = γ A, quindi a γ a A e γ A, cioé γ = maxA.

Lo stesso teorema vale per A limitato inferiormente, il quale ammette minimo se

∈

e solo se inf A A.

Teorema 2.0.6. supN = +∞ ∈ ∀ ∈ ≤

Dimostrazione. Per assurdo supN = ξ Si ha quindi che n ξ e

R. Nn

∀ ∃n ∈ − ∃ ∈ − →

> 0 tc n > ξ . Scelto = 1, avremmo che n tc n > ξ 1

N N

n + 1 > ξ, ma ció é assurdo perché avrei un numero naturale (n + 1) maggiore

dell’estremo superiore. Deve quindi essere illimitato superiormente.

N

⊆ ≤ ≥

Sia A B. Allora supA supB e inf A inf B.

⊆ 6 − {−a, ∈

Dato A A = A = a A}

R, ∅

−inf −sup(−A)

supA = (−A) e inf A =

Da queste tre osservazioni e dal teorema precedente si puó dedurre che supZ =

−supN −∞,

supQ = supR = +∞ e, dal fatto che inf (−N) = = inf = inf =

Z Q

−∞.

inf =

R ⊆

Teorema 2.0.7. Sia A limitato superiormente (inferiormente). Allora A

Z

ammette massimo (minimo). 12

12 ∃ ∈ −

∈ a A tc a > .

Dimostrazione. Sia ξ = supA Fissato =

R.

6 −

a = ξ, allora a < ξ. Prendendo = ξ a, si ha che

Supponiamo per assurdo che 1

∃a ∈ − →

A tc a > ξ = a a, a distano meno di , il che é assurdo. Deve quindi

2

∈ →

essere a = ξ e ξ A a é massimo. Stessa dimostrazione per l’esistenza del

minimo.

Corollario 2.0.8. ogni sottinsieme di ammette minimo.

N

In base al teorema precedente hanno senso le seguenti:

∈

Definizione 2.6. Dato x si dice parte intera di x il piú grande intero minore

R,

∈ ≤

o uguale di x. [x] = max{m tc m x}

Z

∈

Definizione 2.7. Dato x si dice parte frazionaria (o mantissa) di x il numero

R,

{x} ∈ {x} −

[0, 1) definito da = x [x] ∃ ∈

Teorema 2.0.9 (Principio di Archimede). Siano a, b > 0, allora n tc

N

na > b. ⇒

Dimostrazione. Principio di Archimede illimitato superiormente.

N

∀ ∈ ∃ ∈

M n tc n > M , ottenuto ponendo a = 1 e b = M

R N ⇒

illimitato superiormente Principio di Archimede.

N b

∃ ∈

fissati a, b > 0, siccome é illimitato superiormente n tc n >

N N a

→ na > b 6

\

Densitá di e in

Q R Q R

∀ ∈ ∃ ∈ ∈

Teorema 2.0.10. a, b tc a < b q tc q (a, b)

R Q

∈

Dimostrazione. fissiamo q tc q < a, il quale esiste poiché é illimitato

Q Q

0 0 1

1 S

→ − {m ∈ {0}

∈ < b a. Sia A = tc

inferiormente, e sia n tc n > N

N b−a n

m ≤ 6

q + a} = perché m=0 é contenuto per ipotesi. L’insieme A é limitato

∅

0 n m

m ≤ ↔ ≤ − ↔ ≤ −

∈ → a a q m (a q )n e

superiormente poiché se m A q + 0 0

0 n n

quindi (a−q )n é un maggiorante di A. Essendo l’insieme contenuto in ammette

N,

0 m+1 ∈

> a perché se cosı́ non fosse

massimo m = maxA. Deve essere q + m + 1 A,

0 n m+1 m 1 ≤ −

= q + + a + (b a) = b .

m fosse il massimo. q +

contro l’ipotesi che 0

0 n n n

m+1 m+1

∈

Si é quindi trovato che q + e a < q + < b, cioé i numeri razionali

Q

0 0

n n

sono densi nei numeri reali poiché tra due reali qualsiasi si trova sempre un numero

razionale.

In modo analogo si dimostra che anche i numeri irrazionali sono densi nei reali

Radici n-esime aritmetiche √

n

∀ ∀ ∈ ∃

Teorema 2.0.11. y > 0 n !x > 0 tc x = y e x := y

n

N n

n 6 →

. Per assurdo x = x

= x

Dimostrazione. Unicitá. Siano x , x > 0 tc x 1 2

1 2 2

1 n

n −

∨ − → = [x + (x x )] =

x < x x > x . Se x < x x = x + (x x ) x 1 2 1

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

n−1

n n n

n

n

n

n−k n−k n

k k

P

P →

− − assurdo.

> x

x

> x

(x x ) = (x x ) + x

x x

2 1 2 1 1

2

1

1

1 1

k k

k=0

k=0

Assurdo é anche supporre la diseguaglianza opposta, deve quindi essere x = x .

1 2

√

n

{x ∃ ∈

Esistenza: sia A = > 0 tc x < y} e dimostriamo che supA e supA = y.

n

R ⊇ {y}

L’insieme A é non vuoto e limitato superiormente: infatti se y < 1 A poiché

n n

≥ →

y < y e 1 é un maggiorante poiché se x 1 y > x > 1, assurdo per

1

12 }

≥ ⊇ { poiché < 1 e y é un maggiorante poiché se

ipotesi; se invece y 1 A n

2

n n n−1 n−1 n

→ · ≥ · → 6∈ ∀

x > y x > y = y y y 1 = y x > y e x A. y > 0, A

∈

é non vuoto e limitato superiormente. Chiamiamo ξ l’estremo superiore e

R

n

dimostriamo che ξ = y. Sono possibili tre casi:

n n

• ∃h

ξ < y. Provo che non puó essere, cioé che > 0 tc (ξ + h) < y e quindi

n n−1

n n

n k n−k n k n−k

P P

ξ non é un maggiorante. (ξ + h) = ξ h = ξ + ξ h =

k k

k=0 k=0

n−1 n

n y−ξ

n k n−k−1 n

P ≤ →

ξ + h ξ h ξ + hk < y h < . Si puó prendere h =

0

k k

k=0 n

y−ξ

12 n

}

min{ ; e (ξ + h ) < y, assurdo.

0

k

n n

• ∃ ∈ −

ξ > y. Provo che non puó essere, cioé che h (0, ξ) tc (ξ h ) > y e

0 0

∈

quindi ξ non é un maggiorante. Suppongo di aver trovato h (0, ξ). Fissato

0

n n

∈ → 6∈ ∀ ∈

h (0, h ) si ha (ξ−h) > (ξ−h ) > y ξ−h A h (0, h ). ξ non puó

0 0 0

7

essere estremo superiore perché non rispetterebbe la sua caratterizzazione

n

− −

(tra ξ e ξ h non ci sono elementi di A). Determino h . (ξ h) =

0 0

n−1

n−1

n n n

n

k n−k n

k n−k n

k n−k n P

P

P |≤

≥ − | ξ (−h) ξ .

ξ (−h) ξ

ξ (−h) = ξ + k

k

k k=0

k=0

k=0 n−1

n−1

n−1 n

n

n

k n−k−1

k n−k

k n−k P

P

P ≤

≤

|≤

| ξ h )

ξ h h(

ξ (−h) k

k

k k=0

k=0

k=0 n−2

n−2 n

n

n−1

k n−k−1 n−1 n−1 P

P + nξ ) = hE. Ho quindi

ξ ξ + nξ ) = h(ξ

h( k

k k=0

k=0 ( n −y

ξ

h < n −y

ξ

n n E

−h) ≥ −hE → }.

(ξ ξ > y . Posso prendere h = min{ξ;

0 E

∈

h (0, ξ) n

• Non essendo possibili i primi due casi, deve essere ξ = y e quindi ξ é

l’estremo superiore dell’insieme. n

Corollario 2.0.12. Se n é pari e y > 0, l’equazione x = y ha due soluzioni

distinte, una opposta dell’altra. n n = y e

Dimostrazione. Se x é la radice positiva dell’equazione, allora (−x ) = x

0 0 0

−x

quindi é radice. La radice positiva é unica per il teorema precedente. Se x é

0 1

−x 6

un’altra radice negativa, lo sarebbe anche = x , che é assurdo per l’unicitá.

1 0 n

Corollario 2.0.13. Se n é pari e y < 0, l’equazione x = y non ha soluzioni reali.

n 2 m

∈ ∀ ∈ ≥

Dimostrazione. n = 2m, m x x = (x ) 0 quindi non puó mai

N R

essere uguale ad un numero negativo. n

∀ ∈

Corollario 2.0.14. Se y = 0, n l’equazione x = 0 ha come unica soluzione

N

x = 0.

Dimostrazione. Per induzione. x = 0 ha come soluzione banale x = 0. Suppongo

n n+1 n ·x

che x abbia solo soluzione x = 0. x = x e, per l’annullamento del prodotto,

n →

x = 0 x = 0 per hp induttiva, o x = 0. L’unica soluzione é quindi quella

nulla. n

&fora