Analisi matematica 1 - Appunti

Teorema 2.0.2

R R∀ ∈b B. Il numero c é detto elemento separatore tra A e B. Esso puó essere unicooppure esisterne infiniti, puó appartenere ad A, a B, ad entrambi o a nessuno deidue.

Dimostrazione. Si devono mostrare due insiemi A, B tali che a b aQ +∀ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ {a ∈A, b B ma tc a c b a A, b B. Definiamo A =@c Q Q2 + 2 2{b ∈ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈tc a < 2} e B = tc b > 2}. a b a A, b B perché a < 2Q2 2 2 2 2↔ ↔ ↔ − ↔e b > 2 a < 2 < b a < b (a b)(a + b) < 0 a < b poiché a, b+∃c ∈sono positivi quindi anche a + b. Per assurdo elemento separatore. SonoQpossibili tre casi:2• c = 2, impossibile per il teorema precedente.2 + 2• ∃h ∈c < 2. Ció é impossibile poiché proviamo che tc (c + h) < 2,Q∈che porta ad un assurdo poiché

c + h A quindi c non sarebbe il maggiore di tutti gli elementi di A. Supponiamo h < 1, tanto basta trovarne uno, e2 2 2 2↔ ←quindi (c + h) < 2 c + h + 2ch < 2 c + h + 2ch < 2 (se esiste per questa seconda diseguaglianza, a fortiori esiste per quella precedente essendo22−c +2 2 ∈→ ↔ > 0 e h .0 < h < 1 e quindi h > h ) c + h(1 + 2c) < 2 h < Q1+2c22−c12 } ∈; e c + h A, il che porta all’assurdo.Possiamo prendere h = min{ 00 1+2c2 +• ∃h ∈c > 2. Ció é impossibile poiché proviamo che e 0 < h < c tcQ2− − ∈(c h) > 2, che porta ad un assurdo poiché c h B quindi c non sarebbe2 2 2− ↔ − ←il minore di tutti gli elementi di A. (c h) > 2 c + h 2ch > 22 −c 2ch > 2 (se esiste per questa seconda diseguaglianza, a fortiori esiste per2 2−2 −2c c2→ −2ch − ↔quella precedente) > 2 c h < > 0. Si nota

Che < 2.2c 2c2 −21 c } − ∈Posso prendere h = min{ ; e c h B, il che porta all’assurdo.0 02 2c

Definizione 2.1. Sia A un sottoinsieme di Si dice che A ammette massimoR.∈ ≤ ≥ ∀ ∈∃ a A tale che a a (a a) a A(minimo) se

Proposizione 2.0.3. Se il massimo (minimo) esiste, é unico.∃ 6 ≤ ≤ ∀ ∈

Dimostrazione. Per assurdo a = a massimi di A. Allora a a e a a a A.≤Poiché la diseguaglianza deve valere anche per i due massimi, deve essere a a≤a a da cui si trova che a = a, contro l’ipotesi che fossero diversi, quindi ilemassimo deve essere unico. Analoga dimostrazione per il minimo.

Osservazione 1. La diseguaglianza stretta nella definizione non avrebbe sensopoiché essa deve valere per tutti gli elementi dell’insieme, quindi anche per ilmassimo e minimo stessi.

Definizione 2.2. Sia A un sottinsieme di Esso si dice limitato superiormenteR.∃M ∈ ∈ ≤ ≥ ∀ ∈(inferiormente)

Dimostrazione é analoga per l'estremo inferiore.

Definizione 2.5. Se A non é limitato superiormente (inferiormente) si pone supA = -∞ (+∞) (inf A = +∞ (-∞)).

Caratterizzazione degli estremi superiore e inferiore ∈ ⇔ ∀ ∈ ∃ a A tc a > MsupA = +∞ M R( ≤ ∀ ∈a ξ a A• ∈ ⇔supA = ξ R ∈ -∀ ∃ a A tc a > ξ > 0

Dimostrazione. é un maggiorante di A, quindi vale la prima condizione. ∈ -− ∃ a A tc a > ξ , Fissato > 0 ξ < ξ , cioé non é maggiorante, ovvero che é la seconda condizione. Viceversa se ξ verifica le due condizioni, si ottiene che ξ é un maggiorante di A ed é il minimo dei maggioranti poiché se, per assurdo, supA < ξ allora ≤ ∀ ∈ -−a supA a A e, ponendo = ξ supA nella seconda condizione, si ∃a ∈ -−avrebbe che A tale che a > ξ = supA, cioé che a > supA.

il che è assurdo.

• •
• −∞
• ⇔
• ∀
• ∈
• ∃
• ∈inf A = m a A tc a < mR( ≥ ∀ ∈a η a A• ∈ ⇔inf A = η R ∈∀ ∃ a A tc a < η + > 0

Le due dimostrazioni sono analoghe alle due precedenti.

Osservazione 2. Se A ammette massimo (minimo), questo coincide con l'estremo superiore (inferiore).

Teorema 2.0.5. Sia A limitato superiormente. A ammette massimo se e solo se ∈ supA A e in tal caso supA = maxA. 5 ≤ ∀ ∈

Dimostrazione. supponiamo che A ammetta massimo a . Allora a a a A eb b∀ −> 0 a> a e, per la caratterizzazione, a = supA. Viceversa supponiamo cheb b b∈ ≤ ∀ ∈ ∈supA = γ A, quindi a γ a A e γ A, cioé γ = maxA.

Lo stesso teorema vale per A limitato inferiormente, il quale ammette minimo se ∈ e solo se inf A A.

Teorema 2.0.6. supN = +∞ ∈ ∀ ∈ ≤

Dimostrazione. Per assurdo supN = ξ

1∃a ∈ − →A tc a > ξ = a a, a distano meno di , il che é assurdo. Deve quindi2∈ →essere a = ξ e ξ A a é massimo. Stessa dimostrazione per l’esistenza delminimo.

Corollario 2.0.8. ogni sottinsieme di ammette minimo.

NIn base al teorema precedente hanno senso le seguenti:∈Definizione 2.6. Dato x si dice parte intera di x il piú grande intero minoreR,∈ ≤o uguale di x. [x] = max{m tc m x}Z∈Definizione 2.7. Dato x si dice parte frazionaria (o mantissa) di x il numeroR,{x} ∈ {x} −[0, 1) definito da = x [x] ∃ ∈

Teorema 2.0.9 (Principio di Archimede). Siano a, b > 0, allora n tcNna > b. ⇒Dimostrazione. Principio di Archimede illimitato superiormente.N∀ ∈ ∃ ∈M n tc n > M , ottenuto ponendo a = 1 e b = MR N ⇒illimitato superiormente Principio di Archimede.N b∃ ∈fissati a, b > 0, siccome é illimitato superiormente n tc n >N N a→ na > b

6\Densitá di e inQ R Q R∀ ∈ ∃ ∈ ∈Teorema 2.0.10. a, b tc a < b q tc q (a, b)R Q∈Dimostrazione. fissiamo q tc q < a, il quale esiste poiché é illimitatoQ Q0 0 11 S→ − {m ∈ {0}∈ < b a. Sia A = tcinferiormente, e sia n tc n > NN b−a nm ≤ 6q + a} = perché m=0 é contenuto per ipotesi. L’insieme A é limitato∅0 n mm ≤ ↔ ≤ − ↔ ≤ −∈ → a a q m (a q )n esuperiormente poiché se m A q + 0 00 n nquindi (a−q )n é un maggiorante di A. Essendo l’insieme contenuto in ammetteN,0 m+1 ∈> a perché se cosı́ non fossemassimo m = maxA. Deve essere q + m + 1 A,0 n m+1 m 1 ≤ −= q + + a + (b a) = b .m fosse il massimo. q +contro l’ipotesi che 00 n n nm+1 m+1∈Si é quindi trovato che q + e a < q + < b, cioé i numeri razionaliQ0 0n nsono densi nei numeri reali poiché tra due reali qualsiasi si trova sempre un

numerorazionale.In modo analogo si dimostra che anche i numeri irrazionali sono densi nei reali

Radici n-esime aritmetiche √n∀ ∀ ∈ ∃

Teorema 2.0.11. y > 0 n !x > 0 tc x = y e x := ynN nn 6 →. Per assurdo x = x= x

Dimostrazione. Unicitá. Siano x , x > 0 tc x 1 21 2 21 nn −∨ − → = [x + (x x )] =x < x x > x . Se x < x x = x + (x x ) x 1 2 11 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2n−1n n n nnnn−k n−k nk kPP →− − assurdo.

> xx> x(x x ) = (x x ) + xx x2 1 2 1 12111 1k kk=0k=0

Assurdo é anche supporre la diseguaglianza opposta, deve quindi essere x = x .1 2

√n{x ∃ ∈Esistenza: sia A = > 0 tc x < y} e dimostriamo che supA e supA = y.