Analisi matematica 1

ANALISI MATEMATICA 1

PROGRAMMA

• Insiemi numerici ℕ ℕ₀ ℤ ℚ ℝ ℂ
• Numeri reali
• Principio di induzione
• Limiti di successione e di funzioni
• Funzioni continue e proprietá
• Funzione derivata e applicazioni
• Integrale di Riemann
• Le serie

CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI

pg. 19      23/09/19

Sia S un insieme (collezione di oggetti) e x un elemento di

Si dice x appartiene a S : x ∈ S

Se x non vi appartiene: x ∉ S

Se A e B sono insiemi ben definiti in contenuti di S allora A è un sottinsieme di S se ogni elemento di A è un elemento di S e si scrive A ⊆ S

Tra i sottoinsiemi di S c'è sempre l'insieme vuoto = ∅

OPERAZIONI TRA INSIEMI

Consideriamo A B C ⊆ S

• Intersezione A ∩ B è l'insieme degli elementi di S che stanno in A e che stanno in B

A ∩ B = { x ∈ S | x ∈ A e x ∈ B }

• Unione A ∪ B è l'insieme in cui si ha A oppure B o in entrambi

A ∪ B = { x ∈ S | x ∈ A ⋁ x ∈ B }

- Complemento

A - B = { x ∈ S | x ∈ A   x ∉ B }

_{Se A = S A - S viene detto complemento}

_{A ⊆ B ⟹ B^C ⊆ A^C}

• Insieme delle parti è l'insieme di tutti sottoinsiemi di S: P(S)

Quanto |S| = finito P (S) = 2ⁿ se |S| = n

↔ se e solo se equivale         ∀ _{per ogni}

⇔ implica che         ∨ _{o oppure}

⟶ ⟶ implica          ⊤ _oppure

Analisi Matematica 1

Programma

• Insiemi numerici ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ
• Numeri reali
• Principio di induzione
• Limiti di successione e di funzioni
• Funzioni continue e proprietà
• Funzione derivata e applicazioni
• Integrale di Riemann
• Le serie

Cenni di teoria degli insiemi

Sia S un insieme (collezione di oggetti) e x un elemento di S.

• scritto x ∈ S
• Sia x non un elemento di S → x ∉ S
• Se A e B sono insiemi con elementi in comune ad S allora A è unsottoinsieme di S ed è scritto in esso → A ⊆ S
• Tali sottoinsiemi di S detti propri se insieme vuoto = ∅

Operazioni tra insiemi

Considerando A, B ⊆ S

• Intersezione A ∩ B è l'insieme degli elementi di S che stanno in A e che stanno in B
  • A ∩ B = {x ∈ S | x ∈ A e x ∈ B}
• Unione A ∪ B è l'insieme in cui noi in A o in B o in entrambi
  • A ∪ B = {x ∈ S | x ∈ A o x ∈ B}
• Chiusura A – B è il complemento (i resti) ad A
  • A – B = {x ∈ S | x ∈ A e x ∉ B}
• se A = S ⇒ S\A detto complementare
• ω B (ס)
• se A ⊆ B ⇒ B ⊆ A');
• Insieme delle parti: l'insieme di tutti sottoinsimi di S = ℙ(S)
  • Quanto S è finito ℙ(S) = 2ⁿ se |S| = n

⇔ se e solo se equivale

n = per ogni

⟹ implica che

∨ = a, oppure

∧ = e

Alcune Proprietà

Considero A, B, C ⊆ S insieme universo

• A ∩ A^C = ∅   A ∪ A^C = S
• A ∩ B = B ∩ A   A ∪ B = B ∪ A   Commutativa
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)   A ∪ (B ∪ C)   Associativa
• (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C
• (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)   Distributiva

Leggi di De Morgan

• (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
• (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

Prodotto Cartesiano

A × B = {(a,b) | a ∈ A b ∈ B}

Coppie ordinate (a,b) ≠ (b,a) ⇔ a ≠ b

A = {1} B = {2} A × B/B × A A × B = {1,2}

B × A = {2,1}   No prop. commutativa

Se A = B:

• Una sottoinsieme di A × A si dice Relazione Binaria di A
• Una Relazione Binaria di R si chiama