Analisi matematica 1

ANALISI MATEMATICA 1

PROGRAMMA

• - Primi numeri N Z Q R C
• - Numeri reali
• - Principio di induzione
• - Limiti di successioni e di funzioni
• - Continuità, derivate e integrali
• - Funzione derivata e applicazioni
• - Integrale di Riemann
• - Le serie

23/09/19

Se S è un insieme (collezione di oggetti) e X un elemento di S allora X appartiene a S → X ∈ S

Se X non è un elemento di S → X ∉ S

Se A e B sono insiemi essi debbono il collezione di S ossia A e B un sottoinsieme di S e l’unione un sono → A ⊂ S

Tra sottoinsieme di S troviamo l’insieme vuoto = ∅

OPERAZIONI TRA INSIEMI

Consideriamo A B C S

• - L’intersezione A ∩ B è l’insieme degli elementi di S che stanno in A e che stanno in B
• - A ∩ B = { x ∈ S | x ∈ A e x ∈ B }
• - L’unione A ∪ B è l’insieme di tutti gli x in S che stanno in A in B o in entrambi
• - A ∪ B = { x ∈ S | x ∈ A o x ∈ B }
• - Il complemento di operto con A A-B = { x ∈ S | x ∈ A e x ∉ B }

Ora A ⊆ B → S-B viene detto complemento

• ∅ ∪ B (S^c) ⊂ A ⊆ B → B^c ⊂ A^c
• - Insieme delle parti = l’insieme di tutti sottoinsiemi di S: P(S)

Quando S e finito |P(S)| = 2ⁿ se |S| = n

^≡?> se non sono equivalenti      ∀ e per ogni            ⊃ connessione logica

• vero ≡ vero
• ∼ inversa del

Alcune Proprietà

Considero A, B, C_S insieme universo

• A ∩ A^c = ∅
• A ∪ A^c = S
• A ∩ B = B ∩ A
• A ∪ B = B ∪ A Commutativa
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Associativa
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Distributiva

Leggi di De Morgan

• (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
• (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

Prodotto Cartesiano

A × B = {(a,b) ∈ A e b ∈ B}

• Coppie ordinate (a,b) ≠ (b,a) ⇔ a ≠ b
• (a,b) = (a′,b′) ⇔ a = a′ e b = b′
• A = {1} B = {1} B × A
• A × B = {1,2}
• B × A = {2,1} No Pura Commutativa

Se A = B:

• Una sottoinsieme di A × A di A dice Relazione Binaria di A
• Una Relazione Binaria di R su A diventa Relazione di Equivalenza

Se valgono le seguenti proprietà:

1. Riflessiva ∀c A (a,a) ∈ R
2. Simmetrica (a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
3. Transitiva se (a,b) ∈ R e (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R

Se a,b ∈ R o a ~ b ⇔ a e b sono equivalenti

[a] = Classe di equivalenza di a e A A insieme degli elementi equivalenti ad a.

[a] ⊟ [b] ⇒ [a] ∩ [b] = ∅

A / R = {[a] | a ∈ A} = Insieme copriente di A

• Una relazione binaria è R A o diventa Relazione d'Ordine
• R è riflessiva, asimmetrica se (a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∉ R e transitiva

Preso un sottoinsieme di R, provo a b ∈ R t.c. a < b si dice

INTERVALLO LIMITATO un insieme del tipo:

• [a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
• (a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
• [a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
• (a,b) = {x ∈ R | a < x < b}

Se a > b => [a,b] = { } ; (a,b) = { }

Sia a ∈ R si dice INTERVALLO ILLIMITATO un insieme del tipo:

• (a, ω) = {x ∈ R | x > a}
• [-ω, a) = {x ∈ R | x < a}
• [a, ω) = {x ∈ R | x ≥ a}
• (-ω, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
• (a, a) = R

Un insieme I ⊂ R I è un intervallo ⇔ ∀ a,b ∈ I t.c. a < b e

∀ c ∈ R t.c. a ≤ c ≤ b

neveva che c ∈ I

LE FUNZIONI

Siano A, B ∈ R una FUNZIONE f da A in B è una legge che ad ogni

elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B.

• (a, f(a)) ∈ f

A = DOMINIO (o insieme di definizione) di f{f(a) = ∪} ò IMMAGINE {dove l'elemento a ∈ A mediante f.Ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di Bf è una funzione

Non è una funzione

Esempi di dominio:

• f(x) = 9x + 1,  D = R
• f(x) = ¹/_x,  D = R - {0}
• f(x) = 5x,  D = [0, +ω)
• g(x) =  { 1/^2x,  x ∈ ε  { 0,  x ∈ R/ε    D = R

Funzione Potenza

La funzione potenza con esponente n ∈ ℕ è definito come:

f(x) = xⁿ = x × x × ... × x

• È strettamente crescente ∀x > 0 (0 < x₁ < x₂ ⇒ x₁ⁿ < x₂ⁿ)
• Inversa di f(x), ovvero radice n-esima

Siano m, n due interi e x ∈ ℝ (per potenze con esponente razionale):

x^m/n = (ⁿ√x)^m

X^-n/m = 1/(^m√xⁿ)

x⁰ = 1

a ∈ ℝ₊ e b ∈ ℚ possiamo ottenere a^b,

• Considero f: x ∈ ℚ → a^x ∈ ℝ₊ che è:
  • strettamente crescente se q >1
  • strettamente decrescente se 0 < q < 1

Proprietà (potenze):

• a⁰ = 1
• a^b a^c = a^b+c
• (a^b)^c = a^bc
• a^b > 0
• a^b > 1 ⇔ a > 1
• 0 < a < 1 ⇒ a^b > a^c ⇔ b < c
• 0 < b < c ⇒ a^b > a^c
• 0 < b < c ⇒ a^c < a^b
• 0 < a < 1, b < c ⇒ a^b > a^c

Teorema

(ℚ(1) è denso in ℝ (∀x < y, ∃ z ∈ ℚ(1): x < z < y))

• (Conseguente dell'assioma di completezza)

Posso definire:

a^x = sup a^y ∣ ∀ y ∈ ℚ ∣ y < x

• x > 0 e a > 1
• a^x = sup a^y ∣ ∀ y ∈ ℚ ∣ y > x
• x > 0 e 0 < a < 1

f(x) = x^b Funzione Potenza (dove b è base)

f(x) = a^x Funzione Esponenziale (dove è esponente)

- Se A ⊆ ℝ ≠ Ø limitato superiormente, diciamo che M ∈ ℝ è l'estremo superiore

se A se M è il minimo dei maggioranti di A.

M = sup A ⇔ ∀ a ∈ A a ≤ M M — ϵ > 0 ∃ a ∈ A M — ϵ

(min dei maggioranti)

- Se A ⊆ ℝ ≠ Ø limitato inferiormente, diciamo che m ∈ ℝ è l'estremo inferiore

di A se m è il massimo dei minoranti di A.

m = inf A ⇔ ∀ a ∈ A a ≥ M m + ϵ > 0 ∃ a ∈ A m + ϵ ≠

(max dei minoranti)

- Se A ⊆ ℝ ≠ Ø allora l'estremo superiore di A è +∞ se A non è limitato superiormente.

• sup A = +∞ ⇔ ∀ C ∈ ℝ ∃ a ∈ A : a > c

- Se A ⊆ ℝ ≠ Ø allora l’estremo inferiore di A è -∞ se A non è limitato

inferiormente

• inf A = -∞ ⇔ ∀ C ∈ ℝ ∃ a ∈ A: a < c

(Esempi…)

- A = ℝ   infA = -∞   sup A = +∞

A = \(\frac{1}{n}\): n ∈ ℕ { 1, 2, 3, } ⊃A = 1 = max ( deve essere maggiorante)   n = 1 → 1 ∃ a ∈ ∃ a ∈ A → 0 Vn ∃ n

∀ ϵ > 0 ∃ ∃ a ∈ A M — ϵ < c a → 0 ∃ inf ∀ C

∃ (Vϵ 1 > 0 ∃ a ∈ A; M + ϵ ≠ a)

← ϵ > ∀ ϵ < ≠ → \(\frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n^{3}} \) = \(\frac{1}{3} \le \frac{1}{n} \le \frac{1}{n} \ge \frac{1}{n^{4}} \le1 \le1 \ge \ne \frac{1}{n^{2}} \lt \ne 1 \lt \ne 1 \lt \frac{1}{3}\)

- C = πa (mac M) ≠ n (24, 1, n, n, n, : 12, \(\frac{1}{4}\) = 1, n)

sup C = \(\frac{1}{n \to}\) +∃ = 2 ∃ C C ∩ {1, n} → 1 ∀ N ∀ 1 ∃ c=420 — max 1 ≠ 1 ≥

m = \(\frac{1}{2} = \ne\) cuille 1 min max ∃ +≠ 1 V∃ F max min &epseiv; n = 1 ≠ (1 – 1) resvr A max >=

- &ldblMiddlearrow; c A ⊈ C = +∞ A ⊈ ∃ ≠ \(\frac{1}{1}\)

Sono A B C ∈ ℝ I f: A → B una funzione

Se X ⊆ A

- estremo inferiore di f(X) si chiama estremo inferiore di f su X

• inf F(X) = inf{f(x): x ∈ X}

- estremo superiore di f(X) si chiama estremo superiore di f su X

• sup f(X): = sup{f(x): x ∈ X}

Se f(X) è limitato inferiormente allora si dice che f è

limitato inferiormente su X

- Se f(X) è limitato superiormente allora si dice che f è limitato superiormente

Su

X

Se f(X) è limitato allora si dice che f è limitato su X.