Analisi matematica 1

Teorema della derivazione composta

Gb fg fgeg etgiff goc fatefathlggth Fgcitasca fattasaifethlgehlefelglahl gglimgia Giàe gagg a 9G haPer fa derivabili continua inipotesi sono quindi perciòggearsGim GC f'ggettfelg'Geg di delladerivazioneTEOREMA compostafunzione ènelSia alloralaFG figliègg derivabilegelin derivabile funzionesederivabile euna unafunzione puntofunzione compostain hasieElga t'gel.ggDIMOSTRAZIONEGao hasise feste attestify f'gq g'gfineG incontinuaK ggessendoaltra cono ggKegeloin sequanto derivatateorema funzionedella inversa f'loGbfData tabcontinua EFG èmonotonastrettamente derivabilese in a sefunzioneuna e einGf derivabileanche inallora è goffofIE asi haEs deltale l'intervalloè invertibile suosin iniettiva siè pertantofunzione quindi non4 restringenondominio dove decrescentestrettamente crescente oessa eEE Esin f sinxè invertibilesinx ytfarcsimyfrcs.myÈ dice ilsecondo teoremaquantofa ÌnI

TIecarasimy EFinacoste Fase Tsingsin'x tesinae cosa costeevariabileRinominiano LA facresimafette I IRELa solo fl'intervallorisulta invertibilefunzione sise inrestringeIn laintervallo strettamenteè monotonafunzionequestotir EEEartsyxy IIiIarctgyl'e IaCarega 2yiEssa è erainvertibile in to 1IIIF E EÈ ECHeDIMOSTRAZIONE siteliffegge okayl'Geh µee FaoYoÉlfeat Lo Xoxot fy.tkhxoyokeFt'èSe hooKoo anche continuain quantomassimo assaurominimoe Tailche fadi èR fèf bSia rdice diassolutoTab Xosi massimo e massimo seinglobaleo e puntofbfCHEMe fa KEchedice faSi di diè bfinta èbEassoluto minimominimo em un segable puntooFFGFca K EmeMASSIMO O MINIMO RELATIVObf R è faib 7160,8che diSia Efa sedice relativoa si massimoun perpuntoFcFeo GoKo I 8E èSi che Lab fdidice IIE minimo tuisrelativoun per sepuntoKEICHIFEDEFGPuri StazionariI hain fittonullaFe derivatacui diconopunti criticistazionarisipunti oDi

Fermat's Theorem: If a function f is defined and has a local extremum at a point G, then f is differentiable at G and its derivative is equal to zero.

Rolle's Theorem: If a function f is continuous on the closed interval [a, b] and differentiable on the open interval (a, b), then there exists at least one point c in (a, b) such that f'(c) = 0.

Lagrange's Theorem: If f is continuous on the closed interval [a, b] and differentiable on the open interval (a, b), then there exists at least one point c in (a, b) such that f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

tangenteofb fb6 featlaa secante incurva e

DIMOSTRAZIONE

Per dimostrare l'ausiliariatale abbiamo unateorema bisogno funzionela ausiliaria

Consideriamo ggfunzioneÈ I delgli estremi graficorettaegodelle saccenteela BAincurva eilPer vale Rollediteoremage infattiI1 Per èFeè btal ancheTacontinuacostruzione continuagg einipotesiperchein per2 ègel bderivabile ffeello anchein eè perperché ipotesig Èfatta a fattafrainfatti gap ILLI Ea ftp.fbltfffabfghe

Per il di RolloteoremaI g'fotoxo FALLIt'Eg'Cheg'Eko IIIIf C vDa DICONSEGUENZE TEOREMA LAGRANGE1 diCriterio monotonia fabFeSia GbinIRab continua derivabilee inAlla F è fa keepb f'G socrescente inf è f'CTab Ela bdecrescente e loindella crescentefunzionedimostrazione fabfigo Ese asteconsiano xpe f f gèalle FEdi 1il teorema 7inApplicando 2LagrangeIx EniEf'E.EE y b bàI ainoisapena e ftseinreve'ètàfa feel t xix zoafer falsexpf

effe fè cosciente

ho adsceltili arbitrioxe 7VICEVERSAa meama feth tete Gballora the ha esi gggfeehoefeat ho f ffica9 èsia

Qualunque 20sempreFEfetta o hasise limitefaccio Hperil oFethèIf deldi segnopermanenzaTEOREMAGgg f'Erolafesso derivatailPoiché della del anchedastiamo una teorema primapartendo funzione segnoper permanenzaAnalogamente sefà figo HezbFabindecrescente chepuòinoltresi dimostrare sef'g FGsretarenee crescere t'non Gbannulla alcunsi identicamente intervallo contenutoin inFEDE teSEREEMENE Decresceref'E ke fe bfadiGbEssendo èil monotoniazo criterio crescenteper inPiù Elalofosse b7risulta Feifferstrettamente secrescente non alaxexeprecisamente conpoiché fa figliofelefelefer fa aallora nell'intervallose esarebbecasa costantepoichémaHELEN allcontrariamente ipotesi il kef'eviceversa dato fa diche l'einoltrefab monotoniaè strettamente crescente criterio soper carb nonin

fa tale intervalloaxD sarebbealtrimentiannullarsi intervallo e costanteidenticamente in un inpuò poichécontr riamentediall stretta monotoniaipotesiIl Feche chefatto derivabileuna siafunzione intervallo nonstrettamente in uncrescente essapossae impedisceannullisoloche lanulla ilderivata derivataesclude sicriterio intervalloin identicamenteavere unpuntoqualche inP FGconGrazie criterio di individuare e minimimonotonia possiamoal massimiT ef minto relativorel massimotoFeSia GbIR inderivabileTabFè l'Eko VeghEcostanteSia Gb figE e o aSe èt'e dif'Celsocuiesiste interno in sinistro aleeun undestro io Xodestraintorno cuisinistro e in un puntominimo massimorelativodiTEOREMA CAUCHYRfigTabsiamo1 fag Fabcontinuesono in2 fa derivabili GbinsonogAllora Kaelabse s'Gtp ZoeCaioDIMOSTRAZIONE 96IGHLI941feltla 7Gtausiliaria faconsideriamo veciofunzione b ggalloragettocon gilSiamo didiin didimostrare il ausiliariache Rolleteoremacon una soddisfiteoremagrado