Analisi matematica 1

1. NOZIONI PRELIMINARI

DEF di MASSIMO e MINIMO

Sia A ⊆ ℝ, si dice che A ha elemento massimo se ∃ z ∈ A t.c. z ≥ a ∀ a ∈ A.(z è il massimo di un elemento se più grande di tutti quelli altri).Da A ⊆ ℝ, si dice che A ha elemento minimo se ∃ z ∈ A t.c. z ≤ a ∀ a ∈ A.(z è il minimo se è più piccolo di tutti quelli altri).

SOTTOINSIEMI SUP. e INF. LIMITATI e ILLIMITATI

Un insieme A ⊆ ℝ si dice superiore limitato se ∃ M ∈ ℝ t.c. m ≥ a ∀ a ∈ A.A si dice superiormente limitato o superioramente limitato.Un insieme A ⊆ ℝ si dice inferiore limitato se ∃ m ∈ ℝ t.c. m ≤ a ∀ a ∈ A.A si dice inferiormente limitato o inferiormente limitato.

DEF di ESTREMO SUP. e INF. per sottoinsiemi di numeri reali

Se A sottoinsieme ℝ superiormente limitato si pone: sup A = +∞Se A sottoinsieme ℝ superiormente limitato e sia {a / |a|)CONCLUSIONIA sottoinsieme ℝ e inferiore limitato si pone: f(b ∈ a | a > b)Se A sottoinsieme ℝ e inferiore limitato e sia {b / |b|}) A

NOZIONE di FUNZIONE

Siano A e B insiemi qualunque, una funzione f: A → B a una corrisponde a un e stesso elemento di A uno e un solo elemento di B, indicasi con f(a).A dominio di f; B codominio di f.

DOMINIO, CODOMINIO, IMMAGINE di una FUNZIONE

Siano A e B insiemi della funzione f: a egualmente, indicarsi b = codominio, zib)

FUNZIONE SURIETTIVA, INIETTIVA, BIUNIVOCA

Se a una funzione con proprio massimo essere le condizioni fra le, si dice suriettiva.Si definisce e ugualmente relativi, la funzione ≈ essere definiti in corrispondenza biunivoca, essere interno.A una sola corrispondenzza biunivoca si dice suriettiva su biunivoca.

VALORE ASSOLUTO

x ∈ ℝ

if a = -b, with g ≥ 0, |x| = &vartriangle; also, |x| ≤ 0 ≤ | CONCLUSIONI|y| = &i,... that the intersection in the trigon =∂. Than it must be determined as f(b)in order to be as exclusively and into the integer.

PROPRIETA' del VALORE ASSOLUTO

• |a| = 0 → a = 0 se e solo se
• |a| ≥ 0 → Positività
• |a x b| = |a| x |b| → Simmetria
• |a / b| = |a| / |b| → Triduo
• |a + b| ≤ |a| + |b| → Disuguaglianza triangolare

DEF di INTORNO di un PUNTO

Sia c ∈ R ed r ∈ R⁺ diverso da zero, è definito l'insieme I_r di c, I_r = {x ∈ R |c - r < x < c + r} detto intorno di c con raggio r (aperto).

L'insieme I_r di c è detto intorno con una distanza d da x₀ allora la posso scrivere come un intervallo I_x0,d = (x₀ - d, x₀ + d).

2. LIMITI e CONTINUITA'

DEF di PUNTO di ACCUMULAZIONE di UN SOTTOINSIEME di IR

Sia D ⊆ R, c ∈ R, c si dice di accumulazione per D se ∀ V_x I_ID (x ∪ D ⊂ I_ID), con x ∈ D I_r (c), intorno esiste un punto di D che è intorno di infinito.

DEF di LIMITE INFINITO in un PUNTO

Sia f definita à: D———> R detto x₀ un punto di accumulazione per D.

Si dice dire il limite è nullo per f(x) in x₀ equivale a 0 con L ∈ R.

Lim x—————> ÿ con riferimento video a L con ε >0 &exists; d > 0 tale che 0 <|x-x₀| <d → |f(x)-L| < ε quando x → x₀ tra f.

DEF di LIMITE FINITO e INFINITO a ± ∞ e - ± ∞

Supponiamo che f sia definita ? D : Ð , Ð ——> R, e che Ö ∈ R (γ)significa Ds dette con sufficiente grandezza).

Il rapporto β affermiamo video x M sez sufficentemente grande :

∀ x∈N Ð e——> |x-x₀| < 0

Allora Lim

∀ é ß → ÿ ∈ R, 1 Ð → L ÷ ß>N

Suppongo che ß sia definita Ð : Ð ——> ß, D ⊂ R e che ÷ ∈ R

Il valore ß limitato formulava,. ∀ Ð ∈ Ð ß ÷ 1

Allora lim ß Ñ>→ ÷ ÿ ß → ÿ ÷ ß> N ß ÷ 1

TEOREMA di COLLEGAMENTO tra il LIMITE di una FUNZIONE e i LIMITI DX e SX

Sia f: D → R, x₀ è un punto di accumulazione sia destro che sinistro per D.

Allora lim x→x₀⁺ f(x) = lim x→x₀⁻ f(x) = L, ovvero esistono e sono uguali.

FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTONE

Sia f: I → R, con I intervallo (le funzioni monotone sono definite su un intervallo aperto, chiuso, limitato, illimitato).

1. Si dice crescente su I se x₁, x₂ appartiene I ⇒ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
2. Si dice decrescente su I se x₁, x₂ appartiene I ⇒ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)
3. Si dice monotona se è crescente su I o decrescente su I

MONOTONIA della FUNZIONE xⁿ, n ∈ N, SE DEFINITA nei REALI POSITIVI

Considero f: (0, +∞) → R dove f(x) = xⁿ. Fisso n ∈ N. f è crescente, ho una famiglia di funzioni.

Ottengo parabole sempre più schiacciate sulla semiretta delle x prima di 1, e che vanno, via via più velocemente, a +∞. È funzione crescente.

• Prendo g(x) = xⁿ, g'(x) = nx^n-1
• Derivo g'(x) = n(n-1)x^n-2
• Calcolo xⁿ⁺¹ - xⁿ

Quindi f è cres(.)

TEOREMA di ESISTENZA del LIMITE di FUNZIONI MONOTONE

Sia f: I → R, con I intervallo, f è crescente. Siano a e b gli estremi di I (a, b) o a, b ∈ R oppure infiniti.

Allora f è verso a e b esistono f lim x→a⁺ f(x) e un lim x→b⁻ f(x), i.e., esistono lim di funzioni monotone in f con ordinarsi lim x→a⁺ f(x) ≤ lim x→b⁻ f(x), e inoltre esiste un L ∈ [f(a), f(b)] o [f(b), f(a)] (intervalli chiusi!)

• Nel caso opposto limite esistono un più! numerosi punti del dominio
• Sia x₀ un punto interno ad I. Dimostro che esiste lim x→x₀ f(x) = f(x₀)

Teorema dell'esistenza dei valori intermedi per funzioni continue in intervalli chiusi e limitati, e per funzioni continue in intervalli generici

Valori intermedi 1

Suppongo ^{g: I→R}, con I intervallo qualsiasi e g continua in I. Scelti x₁ e x₂ in I, calcolati f(x₁) e f(x₂).

• g assume tutti i valori compresi tra f(x₁) e f(x₂). Più precisamente:
• Se g è diverso da f(x₁) allora comunque esistono c=I tali che f(x₁)=g(c) e I:=I c.f(x₁)

Valori intermedi 2

Sia g [a,b]→R, continuo in [a,b]. Weierstrass dice che ammette massimo e minimo.

• Tale Teorema dice che la funzione assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo assoluti in [a,b]. Ovvero f_minc=I g(a≤c)

Descrizione immagine

Il Teorema precedente mi dice come è fatta l'immagine di una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato. Infatti, se una funzione continua su un intervallo chiuso [a,b] è fatta di tutti i valori compresi tra il minimo della funzione e il massimo della funzione.

Così l'immagine di una funzione continua è un intervallo pieno di valori.

• Sia g: [a,b]→R, g continua, l'immagine di g è l'intervallo delimitato da _min {sub _x∈[a,b]}

Valori intermedi IR

Sia g: I→R con I, intervallo qualsiasi. Suppongo che g sia continua in I.

• g ammette il suo massimo e minimo, ovvero assume tutti i valori compresi tra l'estremo inferiore dell'immagine di g e l'estremo superiore dell'immagine di g ovvero assume:

Inf { Img g } = Inf { g(x) nelll