Analisi matematica 1

Insiemi

Def. informale: un insieme è una collezione di oggettiNotazione: denotiamo gli insiemi con le lettere maiuscole

Come si descrive un insieme?

• per elenco Es: A = {1, 2, 3} B = {-7, −0.5} C = {∅, ★} D = {A, B, C}

Oss.:

• l'ordine in cui indichiamo gli elementi non è importante
• gli elementi ripetuti nell'elenco contano una sola volta

ATTENZIONE: se un insieme è infinito risulta impossibile descriverlo per elenco

• per proprietà = l'insieme è univocamente caratterizzato da certe proprietà dei suoi elementi
• Es: si vuole descrivere l'insieme dei numeri dispari
• A = {1, 3, 5, ...} SBAGLIATO!
• A = {numeri naturali dispari}

Notazione: gli oggetti di un insieme si chiamano elementi e li denotiamo con le lettere minuscole

Notazione: "l'elemento x appartiene all'insieme A" si scrive come x ∈ A oppure A ∋ xl'elemento x non appartiene all'insieme A si scrive x ∉ A oppure A ∌ x

Es: A = {2,3} 2 ∈ A, 3 ∈ A, 0 ∉ A, 4 ∉ A

Quando un insieme è contenuto in un altro? Siano A e B insiemi

Def: diciamo che B è contenuto in A

B ⊆ A ν non contenuto

Se ogni elemento di B appartiene anche ad A, cioè∀b ∈ B => b ∈ A

Es: A = {3,1,2,3} B = {3,0,1} C = {3,1}

1 ∈ C e 1 ∈ A => C ⊆ A3 ∉ C e 3 ∈ A => C ⊈ A

0 ∈ B ma 0 ∉ A?1 ∈ B e 1 ∈ A ( => B ⊈ A3 ∉ B ma 3 ∈ A)2 ∉ B ma 2 ∈ A

Def di uguaglianza: diciamo che A è uguale a B

A = B

se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, cioèA = B A ⊆ B e B ⊆ A

Oss: A = Apiù precisamente la definizione di ⊆ e"contenuto o uguale"

Notazione: se B ⊂ A ma B ≠ A, allora diciamo che B è "strettamente contenuto" in A e scriviamo

B ⊊ A ν (oppure B ⊂ A)

osserviamo che B ⊊ A implica che esiste a ∈ A tale che a ∉ B

Es: A = {3,1,2,3} B = {2,3}

3 ∈ A ma 3 ∉ B, B ⊊ A

se x ∈ A allora x non è unione de x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∩ C, quindi per un def. di intersezione:

x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∩ C)

x ∈ A ∩ C ⇒ x ∈ A ⋀ x ∈ C

x ∈ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ⋁ x ∈ c

x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∩ C) ⇒ ho provato che l'enunciato ET è verificato

verificare con una (A ∪ B) ∩ B (U ⋂) x A di A ∈ A ⋃ B ∩ C

de x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∩ C) allora x ∈ A, B ⋃ ∈ x ∈ A ∪ C

due casi:

1. x ∈ A ⇒ x ∈ A x ∈ B ∩ C
2. x ∈ A ⇒ x ∈ B ⋁ x ∈ A ∈ (B ∩ C), x ⋯ ∈ (B ∩ C) ∪ A

1) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C

• a) A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ C
• b) (A ∩ B) ∪ C ⊆ A ∩ (B ∪ C)

caso a:

cioé: x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ C = (x ∈ A ∈ C) x ∈ A ∪ B ∪ C

1. a) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ⋂ (A ∩ C)
• a) A ∩ (B ∩ C) ⊆ (A ∩ B) ⋂ C
• b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

es. dimostrare che

∑_k=0^m k² = m(m+1)(3m+1)/6 vero ∀m∈N

dimostro che è falso, perché esiste un certo m per cui

∑_k=3^m k² ≠ m(m+1)(3m+1)/6

◀ passo base: m=0 ▶

0² = 0

P₀ è vera quindi il passo base è verificato

◀ passo induttivo: ▶

∑_k=0^m+1 k² = (m+1)(m+2)(3m+4)/6

∑_k=0^m k² = ∑_k=0^m k² + (m+1)² = m(m+1)(3m+1)/6 + (m+1)² = (m+1)/6 [m(3m+1)+6(m+1)]

= (m+1)/6 [3m²+7m+6]

Δ < 0

se prendo m=1 dimostro che il passo base non è verificato per P₁

es. dimostro che

∑_k=0^m k³ = [m(m+1)/2]² vero ∀m∈N

◀ passo base: m=0 ▶

0 = [0(0+1)/2]²

P₀ è vera, il passo base è verificato

◀ passo induttivo: ▶

∑_k=0^m+1 k³ = [(m+1)(m+2)/2]² = (n+1)² + (n+2)²/2

∑_k=0^m+1 k³ = ∑_k=0^m k³ + (m+1)³ = [m(m+1)/2]² + (m+1)³ = m²(m+1)²/4 + 4(m+1)³/4

= (m+1)²/4 [m²+4m+4] = (m+1)²(n+2)²/4

dato che entrambi i passi sono verificati il principio induttivo è vero ∀m∈N

Fattoriale

Def: sia m∈ℕ. Chiamiamo fattoriale il numero naturale così definito:

• m₁ = m(m-1)...2⋅1

per definizione poniamo 0! = 1

Oss: motiviamo la differenza tra m! e (m-1)!:

• m! = m(m-1)...2⋅1
• (m-1)! = (m-1)...2⋅1

Def: Ricorsiva

• 0! = 1
• 1! = 1
• m! = m[(m-1)!] per m ≥ 1

Significato combinatorio:

• m! = numero di possibili permutazioni di un insieme di m elementi
• modo di mettere in fila

Es:

• A = {a,b} = {b,a} ⟹ 2! = 2
• B = {a,b,c} = {a,c,b} = {b,a,c} = {b,c,a} = {c,a,b} = {c,b,a} ⟹ 3! = 6

m! è il numero di tutte le possibili configurazioni in arrivo in una gara con m partecipanti

Es: determinare per quali valori di m∈ℕ si ha m! ≥ 2^m, tesi (m+1)! ≥ 2^m+1

Osserviamo che (m+1)! = (m+1)m! ≥ (m+1)2^m

ipotesi induttiva

Domanda: (m+1) 2^m ≥ 2^m+1?

(m+1)2^m ≥ 2⋅2^m

⇔

Dividendo per 2^m

(m+1) ≥ 2 ⟺ m ≥ 1

Quindi (m+1)! ≥ (m+1)2^m ≥ 2^m+1 ∀ m ≥ 1

Si osserva che:

m=0 0! < 2⁰ P₁ vera

m=1 1! < 2¹ P₂ falsa

m=2 2! < 2² P₂ falsa

m=3 3! < 8 P₃ falsa

m=4 4! > 16 P₁ vera

Os: per x=y=1,

(1+1)^m=_k=0^m∑(m k)1^m-kcioè 2^m=∑_k=0^m/3(m k)³

Sia A un insieme finito con m elementi

|℘(A)|=2^m |A|=^m∑_k=0(m k)=^m∑_k=0(m/k)(m)!

{B⊆A : |B|=3}+{B⊆A : |B|=2}+...+{B⊆A : |B|=m}

Insiemi numerici

N={0,1,2,...} - numeri naturali

Z=ℤ₀={-1,0,1,2} - numeri interi

Q={m/n | m,n∈Z,n≠0} - numeri razionali

R - numeri reali

C - numeri complessi

Os: N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

Oggi tratteremo le seguenti proprietà di R:

• prop algebriche
• prop di ordinamento
• assioma di continuità

Proprietà algebriche:

su R sono definite le operazioni di somma e di prodotto con le seguenti proprietà

• S1 - a+b=b+a ∀a,b∈R - commutativa
• S2 - a+(b+c)=(a+b)+c ∀a,b,c∈R - associativa
• S3 - ∃0∈R t.c. a+0=a ∀a∈R - elemento neutro
• S4 - ∀a∈R ∃b∈R t.c. a+b=0 (b=-a) - inverso
• P1 - a·b=b·a ∀a,b∈R - commutativa
• P2 - a(bc)=(ab)c ∀a,b,c∈R - associativa
• P3 - ∃1∈R t.c. a·1=a ∀a∈R - elemento neutro
• P4 - ∀a∈R\{0} ∃b t.c. b·a=1 (b=1/a) - inverso
• D - a(b+c)= ab+ac ∀a,b,c∈R - distributiva

Caratterizzazione di inf e sup

• Si ha che supA = +∞ se ∀M∈ℝ ∃a∈A t.c. a > M

a   a'   M   M'   a'

• Si ha che infA = -∞ se ∀M∈ℝ ∃a∈A t.c. a < M

• Si ha che supA = L∈ℝ se:
  1. a ≤ L, ∀a∈A
  2. ∀ε>0 ∃a̅∈A t.c. L-ε < a̅

a   a̅   a'   a'   L   L

  L-ε   ε>0

• Si dice che infA = L∈ℝ se:
  1. L ≤ a ∀a∈A
  2. ∀ε>0 ∃a̅∈A t.c. L+ε > a̅

E.g.: A = {1/m : m∈ℕ, m ≥ 1}

  1/2 ∈ A, 1 ∈ A ...

supA = 1 = maxA

infA = 0 ≠ A → per provarlo utilizziamo 3(i) e 4(ii)

Osserviamo che è evidente che 0 sia un minorante perché ∀m∈ℕ m ≥ 1, 0 < 1/m

Vogliamo adesso applicare 4(ii), cioè vogliamo verificare che ∀ε>0 ∃a̅ t.c.

0 = L ≤ L + ε > a̅

L = 0

L'elemento a' cercato deve essere nella forma a̅ = 1/m per un qualunque m∈ℕ, m ≥ 1. Sostituendo otteniamo

ε > 1/m (*)

Domanda: ∃m∈ℕ, m ≥ 1 per cui (*) è vero? notiamo che ε≠0, quindi (*) è equivalente alla disuguaglianza

m > 1/ε (**)