Analisi matematica 1

Insiemi

Definizione informale: un insieme è una collezione di oggetti.

Notazione: denotiamo gli insiemi con le lettere maiuscole.

Come si descrive un insieme?

Per elenco.

Es: A = {1, 2, 3} B = {-7, 0, 5} C = {Ӹ} D = {A, B, C}

Oss:

• L'ordine in cui indichiamo gli elementi non è importante.
• Gli elementi ripetuti nell'elenco contano una sola volta.

Attenzione: se un insieme è infinito risulta impossibile descriverlo per elenco.

Per proprietà -> l'insieme è univocamente caratterizzato da certe proprietà dei suoi elementi.

Es: Si vuole descrivere l'insieme dei numeri dispari.

A = {1, 3, 5, ...} Sbagliato!

A = {numeri naturali dispari}

Analisi I a.a. 2008/9

Ricevimenti: ogni lunedì 13.00-15.00.

Registro lezione.

Elementi di analisi matematica Enrico Giusti - Giobinuo

1. Esercizi

Esami: 1. È previsto un esonero in presenza.

8 novembre 13 novembre

2h

2. Per l’accesso alle sessioni d’esame successive si fa un accordo sul marziale.

3h (0 - 24)

30 min.

Media prima prova + voto 2 tesi

23. Esempi vari

Facoltativo e i media 23 - 34

Obbligatorio sotto 18 - 22

Si accede con gli

Se si passa con 70 accettoper scritta

Insiemi

Definizione informale: un insieme è una collezione di oggetti.

Notazione: denotiamo gli insiemi con le lettere maiuscole.

Come si descrive un insieme?

Per elenco.

Es: A = { 1, 2, 3 } B = { -7, 0, 5 } C = { ξ }

Oss:

• L’ordine in cui indichiamo gli elementi non è importante.
• Gli elementi ripetuti nell’elenco contano una sola volta.

Attenzione: se un insieme è infinito risulta impossibile descriverlo per elenco.

Per proprietà → l’insieme è univocamente caratterizzato da certe proprietà dei suoi elementi.

Es: si vuole descrivere l’insieme dei numeri dispari.

A = { 1, 3, 5... }

A = { numeri naturali dispari }

Sbagliato

Notazione degli elementi

Notazione: gli oggetti di un insieme si chiamano elementi e li denotiamo con le lettere minuscole.

Notazione: "l'elemento x appartiene all'insieme A" si scrive come x ∈ A oppure A ∋ x.

"L'elemento x non appartiene all'insieme A" si scrive x ∉ A oppure A ∌ x.

Es: A = {2, 3}

2 ∈ A, 3 ∈ A, 0 ∉ A, 4 ∉ A

Quando un insieme è contenuto in un altro?

Siano A e B insiemi.

Definizione: diciamo che B è contenuto in A.

B ⊆ A

Se ogni elemento di B appartiene anche ad A, cioè ∀ b ∈ B => b ∈ A.

Es: A = {3, 1, 2, 3}, B = {3, 0, 3}, C = {3}

1 ∈ C e 1 ∈ A => C ⊆ A

3 ∉ C e 3 ∈ A => C ⊄ A

0 ∈ B ma 0 ∉ A

1 ∈ B e 1 ∈ A (=> B ⊄ A) A ⊄ B

3 ∉ B ma 3 ∈ A

2 ∉ B ma 2 ∈ A

Definizione di uguaglianza

Diciamo che A è uguale a B.

A = B

Se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, cioè A = B ⟺ A ⊆ B e B ⊆ A.

Oss: A ⊆ A

Più precisamente la definizione di ∈ è "contenuto o uguale".

Notazione: se B ⊆ A ma B ⊄ A, allora diciamo che B è "strettamente contenuto" in A e scriviamo B ⊂ A (oppure B ⊆ A).

Osserviamo che B ⊂ A implica che esiste a ∈ A tale che a ∉ B.

Es: A = {3, 1, 2, 3}, B = {2, 3}

3 ∈ A ma 3 ∉ B, B ⊂ A

Definizione di insieme vuoto

Chiamiamo insieme vuoto l'unico insieme che non contiene alcun elemento e lo denotiamo con ∅.

Oss: per qualsiasi insieme A, si ha ∅ ⊆ A.

Operazioni tra insiemi

Definizione di unione

Chiamiamo unione di A e B l'insieme A ∪ B per cui i suoi elementi appartengono o ad A o a B (o in particolare ad entrambi), cioè x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A oppure x ∈ B.

Oss: l'unione di A e B = l'unione di B e A.

Es: A = {1,2,3}, B = {2,3,4}

1 ∈ A

2 ∈ A e 2 ∈ B

3 ∈ A e 3 ∈ B

4 ∈ B

A ∪ B = {1,2,3,4}

Oss:

• A ∪ A = A
• A ∪ ∅ = A

Definizione di intersezione

Chiamiamo intersezione tra A e B l'insieme A ∩ B per cui i suoi elementi appartengono sia ad A che a B, cioè x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A e x ∈ B.

Es: A = {5,2,3} B = {2,3,4}

A ∩ B = {2,3}

Oss:

• A ∩ A = A
• A ∩ ∅ = ∅
• Se B = A allora B ∩ A = B
• A ∩ B ⊆ A ∪ B
• A ∩ B ⊆ A, A ∩ B ⊆ B

Definizione di differenza

Chiamiamo differenza