Analisi matematica 1

PUNTI DI NON DERIVABILITÀ

4.1. Punto a tangenza verticale

f(X +h) -f(X )/( )0 0

Quando lim = ±∞ esiste ma non finito, il punto x è a tangenza verticale.

0hh→0

4.2. Punto angoloso

Quando nel punto x limite destro e limite sinistro esistono ma non coincidono; esistono derivate0destra e sinistra, ma sono diverse. Il punto x è un punto angoloso.

0

4.3. Cuspide

Quando nel punto x derivate destra e sinistra sono infinite di segno opposto (f’ (x )=+∞ e0 + 0f’ (x )=-∞), si dice che x è un punto di cuspide.

- 0 0

5. TEOREMI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE

5.1. Teorema di Fermat

Se x è un punto di massimo o minimo relativo e f’(x ) esiste, allora f’(x )=0.

0 0 0

5.2. Teorema di Rolle Sia f: [a,b]->R una funzione continua in [a,b] ederivabile in (a,b) con f(a)=f(b), allora esiste un puntoc nell’intervallo (a,b) tale che f’(c)=0.

24. CALCOLO DIFFERENZIALE

5.3. Teorema di Lagrange

Sia f: [a,b]->R una funzione

continua in [a,b] e derivabile in(a,b), allora esiste un punto c nell'intervallo (a,b) tale che f'(a) - f'(b) = f(c) = b - a

Esiste quindi un punto c la cui retta tangente è parallela allaretta secante passante per a e b.

5.4. Teorema di Cauchy

Siano f,g: [a,b] -> R funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b) con g'(x) ≠ 0, allora esiste un punto c nell'intervallo (a,b) tale che (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = (f'(c))/(g'(c))

5.5. Teorema di monotonia

Sia f:A -> R una funzione derivabile in A

• f crescente in A se e solo se f'(x) ≥ 0 per ogni x
• f decrescente in A se e solo se f'(x) ≤ 0 per ogni x

5.6. Teorema di De L'Hopital

Siano f,g: [a,b] -> R funzioni derivabili in (a,b) escluso al più x0. Supponiamo che:

• lim f(x) = lim g(x) = 0
• lim g'(x) ≠ 0 per ogni x escluso al più x0
• Esiste il limite lim f'(x)/g'(x)

Allora esiste lim f(x)/g(x)

DERIVATA SECONDA f X +h - f (X )' '( )0 0

Una funzione f: (a,b)->R è derivabile due volte in x se esiste finito lim .0 hh→0

Graficamente, la derivata seconda rappresenta la velocità di variazione della pendenza (derivataprima), ovvero la curvatura del grafico della funzione.

• Convessaf derivabile: il suo grafico giace al di sopra di qualsiasi retta tangente in (a,b)o se e solo se f’ è crescente in (a,b)f non derivabile: il segmento x x è sopra il grafico di fo 1 2f’’(x)≥0o
• Concavaf derivabile: il suo grafico giace al di sotto di qualsiasi retta tangente in (a,b)o se e solo se f’ è decrescente in (a,b)f non derivabile: il segmento x x è sotto il grafico di fo 1 2f’’(x)≤0o

34. CALCOLO DIFFERENZIALESi dice flesso per f un punto x in cui f ha concavità (concava/convessa) differente nell’intorno0destro e in quello sinistro.Attraversando un punto di flesso, la derivata

seconda di f (se esiste) cambia segno. Nel punto x, la derivata seconda f′′(x) = 0.0 0Se f è una funzione derivabile in (a,b) e x è un punto di flesso, allora il grafico di f(x) attraversa0la propria retta tangente in (x, f(x)).0 07. APPROSSIMAZIONI7.1. o piccoloDate due funzioni f(x) e g(x), definite in un introno di x, si dice che0f(x) = o (g(x)) per x->x (f(x) è o piccolo di g(x)) se per x->x .→00 0g(x)Per x->x, f(x) ~ g(x) se e solo se f(x) = g(x) + o (g(x)).07.2. Formula di Taylor-MacLaurinSia f: (a,b)->R derivabile n-volte in x allora esiste unico un polinomio di grado ≤n tale che0f(x) = T(x) + o ((x-x) ) per x->x dovenn 0 0 (n)f′′(x) f′(x)0 0T(x) = f(x) + f′′(x)(x-x) + (x-x) + … + (x-x) è detto polinomio di Taylor.2 nn 0 0 0 0 02! n!Se x =0, T(x) è detto polinomio di MacLaurin.0 n (n+1)f(c)• Resto di Lagrange: f(x) = T(x) + (x-x)ⁿ(x_o) n+1n+10n+145. SERIE

NUMERICHEa a : successione ordinata definita N->R∑ nn N n∈ ni=1

Data una successione: S = a , S = a + a , …, S = a +…+a = a∑0 0 1 0 1 n 0 n i

Costruisco una successione delle somme parziali: {S }n nni=1 +∞a = S è una successione numerica; portando n all’infinito otteniamo una serie: a , di∑ ∑ni ii=1fatto calcoliamo il limite per n tendente all’infinito delle somme parziali lim S .nn→∞

Una serie numerica si dice:

• Convergente se lim S =S esiste finito ni=1n dove S = a è la successione delle∑n→∞ n i
• Divergente se lim S =±∞ somme parziali.nn→∞
• Irregolare se lim S non esistenn→∞
• ∑a è a termini positivi se a ≥ 0 per ogni n.n n
• ∑a è a termini negativi se a ≤ 0 per ogni n.n n

1. ESEMPI

1.1. Serie geometrica 1 se |q|<11-qn+11-qa = q , quindi s = 1 + q + q + … + q = . lim s =n 2 n { +∞ se q≥1n n

n1-q n→ ∞ non esiste se q≤-11convergente (con somma ) se |q|<11-q∞ nPertanto, la serie q =∑ { divergente a +∞ se q≥1n=0 irregolare se q≤-11.2. Serie armonica1 1 1 1 1∞ = 1+ + + +… +…È la serie che è divergente a +∞.∑n=0 n 2 3 4 n1.3. Serie di Mengoli1 1 1 1 1 1 1 1 1n∞ s = - = + - +…+ - =1-quindi∑ ∑ [ ] [1- ] [ ] [ ]nn=1 k=1n(n+1) k k+1 2 2 3 n n+1 n+1Dunque s -> 1, ossia la serie converge e ha somma 1.n1.4. Serie telescopicaUna serie di dice telescopica se il suo termine generale a si scrive come b – b .k k k+1Allora s = b – b . Se il termine b -> 0, la serie è convergente e ha somma b .n 1 n+1 n 12. CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZACondizione necessaria affinché una serie ∑a converga è che il termine a tenda a 0.n n15. SERIE NUMERICHE3. CRITERI DI CONVERGENZA3.1. Criterio del confrontoSiano ∑a e ∑b due serie a termini

positivi con a ≤b per ogni n, allora n n n• Se ∑b converge allora anche ∑a converge.

n n• Se ∑a diverge allora anche ∑b diverge.

3.2. Criterio del confronto asintotico a nSiano ∑a e ∑b due serie a termini positivi tali che, per n->+∞, a ~b ( lim =1), allora ∑a en n n n nbn→∞ n∑b hanno lo stesso carattere.

3.3. Criterio del rapporto e della radice an n+1Sia ∑a una serie a termini positivi e sia lim a = b oppure lim = b, allora√n n an→∞ n→∞ n• Se b>1: la serie diverge • Se b<1: la serie converge

3.4. Criterio di condensazione (sostituzione)Sia ∑a una serie a termini positivi (a non è crescente), allora ∑a converge se e solo sen n nn+∞converge la serie 2 a .∑ nn=0 2 0 1 2=2 a + 2 a + 2 a +…0 1 2+∞ 2 2 2n2 a = a + 2 a + 4 a +…∑ n 1 2 42n=0 = a +a +a +a + a + a +a +…1 2 3 4 5 6 7

4. CONVERGENZA ASSOLUTAData la serie ∑a

definiamo ∑|a | una serie a termini positivi. Si dice che la serie ∑an n nconverge assolutamente se ∑|a | converge.

• Se a >0: ∑a = ∑a

• Se a <0: ∑a = - ∑an n n n n n

4.1. TeoremaSia ∑a una serie che converge assolutamente, allora converge anche semplicemente.

5. SERIE A SEGNO ALTERNOSi dice serie a segno alterno una serie del tipo ∑(-1) a con a ≥0.

5.1. Criterio di LeibnitzData una serie a segno alterno ∑(-1) a sen n• lim a =0nn→+∞ Allora la serie converge➔• a è monotona decrescenten

25. SERIE NUMERICHE

36. CALCOLO INTEGRALESia f: [a,b]->R una funzione continua; preso un numero naturale n, suddivido l’intervallo [a,b]b-ain n intervalli con lunghezza ⁄n x = a < x < … < x = b0 1 nLa funzione è continua in ogni intervallo [x ,x ], quindii i+1per teorema di Weierstrass, ammette max e min in ogniintervallo. b-a b-a b-am ≤

Ogni n; quindi, dato che Inf(S ) = Sup(s ), allora l'integrale si può anche definire come lim δ = f dx(x)∫n an→∞2.

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

• Area: estensione della regione
• Misura con segno: estensione considerando la posizione

L'integrale definito calcola la misura con segno del trapezio sottostante al grafico di f(x) nell'intervallo [a,b]; se si volesse calcolare l'area, si calcola .(x)|dx|f∫a

Nel caso in cui f(x) abbia segno costante in [a,b], allora la misura dell'area e la misura con segno corrispondono.

16. CALCOLO INTEGRALE