Analisi matematica 1

Numeri

Insiemi

Un insieme è una nozione primitiva; viene descritto mediante gli elementi che lo compongono.

Operazioni sugli insiemi

• Intersezione: insieme degli elementi che appartengono sia al primo sia al secondo insieme.
• Unione: insieme degli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme, oppure ad entrambi.
• Differenza: insieme degli elementi che appartengono al primo ma non al secondo insieme.
• Complementare: è l’insieme degli elementi appartenenti all’insieme universo, che non appartengono all’insieme considerato.
• Prodotto cartesiano: dati due insiemi A e B, possiamo considerare un nuovo insieme costituito da tutte le coppie ordinate (a, b).

Logica

Un predicato (proprietà) è un’affermazione che dipende da variabili; la sua verità o falsità dipende dai valori delle variabili che in essa compaiono. Una proposizione (enunciato) è un’affermazione che è vera o falsa a priori rispetto alle variabili (per ogni valore delle variabili).

Condizioni

• Necessaria: presupposto per il quale un’affermazione potrebbe sussistere, ma senza il quale l’affermazione non può valere.
• Sufficiente: presupposto per il quale un’affermazione sussiste.

Tecniche dimostrative

• Tecniche costruttive: assumo l’ipotesi, e la manipolo più volte fino ad arrivare alla tesi.
• Per assurdo: nego la tesi e dimostro che la tesi negata porta ad una contraddizione.
• Per induzione: funzionano con i numeri naturali.

Sommatorie e coefficienti binomiali

Siano a₁, a₂, ..., a_n numeri reali, la loro somma si può indicare in forma compatta con il simbolo ∑.

Proprietà formali delle sommatorie

• Prodotto per una costante (proprietà distributiva)
• Somma di sommatorie
• Scomposizione
• Traslazione di indici
• Riflessione di indici

Progressione geometrica

\(\sum_{k=0}^{n}q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}\)

Fattoriale

n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n-1) × n

Coefficienti binomiali

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}\)

Disuguaglianza di Bernoulli

\((1 + x)^n \geq 1 + nx\)

Binomio di Newton

\((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}\)

Campi ordinati (Q e R)

Relazione d’ordine

• Riflessiva: a ≤ a
• Antisimmetrica: se a ≤ b e b ≤ a allora a = b
• Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c

Proprietà dei numeri razionali

Addizione

• Proprietà commutativa: a + b = b + a
• Proprietà associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
• Elemento neutro 0: a + 0 = a
• Elemento inverso -a: a + (-a) = 0

Moltiplicazione

• Proprietà commutativa: a × b = b × a
• Proprietà associativa: (a × b) × c = a × (b × c)
• Elemento neutro 1: a × 1 = a
• Elemento inverso a^-1: a × a^-1 = 1

Chiameremo campo ordinato un insieme in cui sono definite due operazioni (che chiamiamo somma e prodotto) e una relazione d’ordine. Sia il campo Q che il campo R sono campi ordinati.

Insieme numerico e proprietà

Sia E un insieme numerico:

• Limitato superiormente: \(\exists M \, \forall e \in E \, | \, e \leq M\)
• Limitato inferiormente: \(\exists m \, \forall e \in E \, | \, e \geq m\)
• X è massimo per E se \(\exists x \in E \, \forall e \in E \, \rightarrow \, e \leq x\)
• X è minimo per E se \(\exists x \in E \, \forall e \in E \, \rightarrow \, e \geq x\)
• Un numero a è maggiorante per E se \(\forall e \in E\) \(\rightarrow \, a \geq e\)
• Un numero b è minorante per E se \(\forall e \in E\) \(\rightarrow \, b \leq e\)
• Definiamo X estremo superiore di E se X = min(M) (X è il minore dei maggioranti)
• Definiamo Y estremo inferiore di E se Y = max(m) (Y è il massimo dei minoranti)

Principio di induzione

Il principio di induzione è un metodo dimostrativo applicabile a teoremi con la struttura seguente: “per ogni n ∈ ℕ, n ≥ n₀ vale la proprietà p(n)”.

• Si dimostra che p(n) è vera per n = n₀: dimostro p(n₀).
• Si assume come ipotesi p(n) e si dimostra p(n+1): se è vera p(n) allora è vera p(n+1).

Numeri complessi

Vogliamo estendere R in modo che un’equazione polinomiale di grado n abbia n soluzioni. \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) è l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali (a, b).

Operazioni tra numeri complessi

• Somma: (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
• Prodotto: (a, b) × (c, d) = (ac-bd, ad+bc)

Proprietà

• Elemento neutro
  • Somma: (0,0)
  • Prodotto: (1,0)
• Elemento inverso
  • Somma: (-a, -b)
  • Prodotto: \(\left(\frac{a}{a^2+b^2}, \frac{-b}{a^2+b^2}\right)\)
• Sono commutativi e associativi

I numeri reali a possono essere identificati con i numeri complessi del tipo (a,0). Consideriamo ora il numero (0,1), per cui vale la seguente proprietà: \((0,1) \times (0,1) = (-1,0)\). Il suo quadrato coincide con il numero reale -1. Viene indicato con “i”, unità immaginaria.

Formati dei numeri complessi

• Scrittura algebrica: z = a + ib
  • a: parte reale di z, a = Re(z)
  • b: parte immaginaria di z, b = Im(z)
• Forma trigonometrica: z = ρ (cosθ + i senθ)
• Forma esponenziale: z = ρ e^iθ

Formule di De Moivre

• Prodotto di numeri complessi: \(|Z \cdot W| = |Z| \cdot |W|\) e \(\arg(Z \cdot W) = \arg(Z) + \arg(W)\)
• Rapporto di numeri complessi: \(|Z / W| = |Z| / |W|\) e \(\arg(Z / W) = \arg(Z) - \arg(W)\)
• zⁿ = \([cos(n\theta) + i \sin(n\theta)]\)

Radici n-esime

Dato un numero complesso w, diremo che z è una radice n-esima di w se risulta zⁿ = w. Sia w un numero complesso ≠0 e n un numero intero ≥1. Esistono n radici n-esime complesse z₀, z₁, ..., z_n-1 di w. Posto w = r (cosφ + i senφ) e z = ρ (cosθ + i senθ), abbiamo ρ = r^1/n e θ_k = (\(\phi + 2k\pi\)) / n con k = 0, 1, ..., n-1. Le radici n-esime si dispongono come vertici di un poligono regolare nella circonferenza di centro 0 e raggio r^1/n.

Disuguaglianza triangolare

Dati Z e W numeri complessi, vale la seguente disuguaglianza: \(|Z + W| \leq |Z| + |W|\). In un numero complesso, il modulo rappresenta la distanza dall’origine. In un triangolo, un lato non può essere maggiore della somma degli altri due lati.

Teorema fondamentale dell'algebra

Un’equazione polinomiale della forma a₀ + a₁z + ... + a_nzⁿ = 0 (a_n ≠ 0) con coefficienti complessi qualsiasi ha esattamente n radici nel campo C, se ognuna di esse viene contata con la sua molteplicità.

Funzioni

Dati due insiemi A, B qualsiasi, una funzione f di dominio A a valori in B (“di codominio B”) è una qualsiasi legge che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.

f: A → B

La scrittura f: x → f(x) indica come la funzione f agisce sugli elementi. Si usa anche la scrittura y=f(x) per indicare che la variabile y è in funzione di x. La proprietà caratteristica di f è l’univocità della corrispondenza: assegnato l’elemento di ingresso a∈A, l’elemento di uscita b=f(a) deve essere unicamente determinato. L’uscita corrispondente a x si chiama immagine di x; l’insieme delle possibili uscite si chiama immagine di D tramite f e si indica con il simbolo f(D) o Im f.

• Limitata: se \(\exists M>0 \, \forall x \in A\), tale che -M ≤ f(x) ≤ M, ovvero se Im(f) è limitato.
• Crescente in un intervallo I: se \(\forall x_1, x_2 \in I\) con x₁ < x₂ allora f(x₁) < f(x₂).
• Decrescente in un intervallo I: se \(\forall x_1, x_2 \in I\) con x₁ < x₂ allora f(x₁) > f(x₂).
• Monotona in un intervallo I se è crescente/decrescente in I.
• Suriettiva: \(\forall y \in B \exists x \in A\) tale che f(x)=y, ovvero Im(f) coincide con B codominio.
• Iniettiva: \(\forall x_1, x_2 \in A\) se f(x₁)=f(x₂) allora x₁=x₂.
• Biunivoca: se f è sia iniettiva che suriettiva. Se f è biunivoca, posso definire una nuova funzione, detta funzione inversa, f^-1: Im(f) → D, y → x. f^-1(y)=x ha il grafico simmetrico rispetto alla bisettrice.
• Pari: \(\forall x \in D\), se -x ∈ D allora f(x)=f(-x), e cioè il grafico è simmetrico rispetto all’asse y.
• Dispari: \(\forall x \in D\), se -x ∈ D allora f(-x)=-f(x), e cioè il grafico è simmetrico rispetto all’origine.
• Periodica: \(\forall x \in D\) allora f(x)=f(x+T), dove T è il periodo.
• Massimo: \(\exists x_0 \in [a,b] \forall x \in [a,b]\) tale che f(x₀) ≥ f(x)
• Minimo: \(\exists x_0 \in [a,b] \forall x \in [a,b]\) tale che f(x₀) ≤ f(x)