Analisi matematica 1

ANALISI MATEMATICA I E II

12 CFU

1) scriviamo il modulo di z

z = a + bi sappiamo che il valore di Re z = a e di Im z = b

|z| = √(a² + b²)

2) scriviamo la forma trigonometrica

forma binomica:

z = a + bi

forma trigonometrica:

z = |z| (cosφ + i sinφ)

con:

|z| ≤ √(a² + b²)

a = |z| cosφ

b = |z| sinφ

e quindi essendo:

cosφ = ^a/_|z|

sinφ = ^b/_|z|

cos(0) = 1

sin(0) = 0

Confronti asintotici

sen ξ(x) ~ ξ(x)

tg ξ(x) ~ ξ(x)

1 - cos(ξ(x)) = 1/2 (ξ(x))²

log (1 + ξ(x)) ~ ξ(x)

e^ξ(x) - 1 ~ ξ(x)

(1 ± ξ(x))^k - 1 ~ k ξ(x)

log_a x^t ~ x^t, t > |x|

Teorema

Se una funzione è derivabile in _x0, allora la funzione è continua in _x0.

Teorema

Se una funzione è derivabile in _x0, ^_g(x) allora anche ^_g(x) è continuo. In particolare, se _h(x) è continuo e deriva da _f(x), allora anche _g(x) è continuo.

Teorema dei Carabinieri

Se una funzione è continua in _[a,b] e derivabile in _(a,b), allora _f^(c).

Teorema

Se una funzione è continua, derivabile oltre e costante e se la derivata di _f(x) ha segno costante positivo o decrescente in _a, vale _f(x) ≥ ₀.

Teorema di L'Hospital

Se _f e _g sono derivabili in _g, allora _g(x) = per _c = _f o _g.

Teorema (Limiti di Derivate)

Se _f, continua in _a e derivabile in _(a,b), _f'(x).

Funzione Convessa

• Un insieme _K è convesso.
• _{{x, y} ∈ K y} e _x appartengono all'intervallo _K.

Teorema

Se _{[a,b] = I}, _K è convesso e appartiene all'intervallo _[a,b], allora il concavo _x esiste. Se _f è continuo in _[a,b], allora il convesso _y esiste.

Punto di Picco

_x0 ∈ _f(x), allora _f(x) è derivabile in _{[x0, x1]} e continua in _(a,b), _x1 è interno.

Teorema

Se _f ha un punto di picco ed è derivabile in _x0, allora _f'(x0) = 0.

Teorema

Se _{lim x} → _{x0 f(x)} = _g(x) e _f(x) = _g(x) allora _f'(x).

Teorema (Polinomio di Maclaurin)

Se _f è derivabile oltre allora esiste, con _{k ∈ n}, un polinomio Maclaurin _P(x) = _e^x in _f.

Teorema Formula di Maclaurin con Resto di Peano

Se _f è derivabile in _x0, allora _f(x) = _x^c + _{(x - n)}, vale _n .

Teorema Formula di Taylor con Resto di Peano

Se _f è derivabile in un intorno di _x0, allora esiste un punto _c in _{(x0, x)}.

Teorema Formula di Taylor con Resto di Lagrange

Se _f è derivabile in un intorno di _x0, allora esiste _{c f⁽ⁿ⁾c},_{(x - x0)ⁿ}.

Funzione Integrale

Se _β = intorno continuo e definito, _{lim g^(x)} esiste una successione di Cesàro.

INTEGRALI ELEMENTARI

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / n+1 + C

∫ 1/x dx = ln |x| + C

∫ e^x dx = e^x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin x dx = -cos x + C

∫ a^x dx = a^x / ln a + C

∫ f'(x)g(x) dx = c ∫ f'(x)g(x) dx

∫ 1/x dx = -1/x + C

∫ 1/ 2x dx = ln |2x| + C

∫ 1/ 2x dx = ln(2x) + C

∫ 1/x² dx = -1/x + C

∫ 1/x² dx = a - ln |x| + C

∫ 8(x) dx / 8(x) = (ln |8(x)|) + c / 8(x)

∫ 8'(x) x² dx = a + c [8(x)]^l+1 / l+1 + C

∫ 8(s+t) dt = 2 ∫ β(t) dt = β(x) + β(x) = pari

∫ 8(x) dx = 8 [(x)] dx = dispari

∫ cos x dx = a + c lg |x| + c

∫ ln |x| dx = x ln |x| - x + C

∫ (sin x)(e^3x) dx = -1/3 e^3x cos x - 1/3 ∫ (cos x)(e^3x) dx = uno (cos x)₁ = 1/2 [(1 - (cos 2x).)], (ln x)₂ = 1/2 [(cos 2x).]

∫ (cos ln(x))(ln x)dx = 0 V h/k

∫ (cos ln x)(β(x) cos ln x)dx = 0 V hn, hn+1

Differenziabilità

La funzione f è differenziabile in x₀,y₀ se esiste:

L_x=^{f(x,y₀+t)−f(x,y₀−t)} / _t, t→0

Il derivato t'indica dell curve y con x coordinata pari.

^{f(x0, y₀) − f(x₀−t,y₀)} / _t t→0

L_t=^{f(y₀+t,x)−f(y₀−t,x)} / _t, t→0

Scheda

Derivate parziali continue in un intorno del punto

|Differenziabilità

• Continuità
• Derivabilità

• ¹⁄_m x^m-1
• c^' = 0
• ^xn⁄_n
• x^-n = -n x^-n-1
• a^{'x 'a ln a}
• log_a x
• log a
• ^a⁄_1-x
• ^a⁄_(1-x)²
• f'(x) = f^'(g(x))g^'(x)
• f[^'(x)] ^`f(x)`
• ^x⁄_k! ^x2⁄ _`2!`
• cos(0) ^{= ...}
• x^{2k = (2k)!⁄(k!)2 k+1}
• x³
• ^8(2k+1) n^`x`
• ³/_2k!
• cos(1 + x) ^{= ...(k+1)! ... - x2/`2!`¹a`}
• 1 + ^x⁄₂ + ^x⁄₃

- ∏

• (^'
• = x log x - x
• f^(x)
• ∫^(f(x)`>` f(x)) `= a`
• f(x) ^{= 0 f(x)`x`¹9} dispare
• k^e `2
• 1 – ⁰⁄_x