Analisi matematica 1

Analisi matematica I e II

12 CFU

Numeri complessi

z = a + bi
Forma logica: a ∈ Re, b ∈ Im, i² = -1
e^iθ = i sin θ + cos θ
z [(0, 0), (1, 1), i = √-1]

Forma trigonometrica

Formule di Moivre
zⁿ = [rⁿ (cos(nθ) + i sin(nθ))]
Radici complesse: z_k = [^n√(r) (cos(^kθ/_n) + i sin(^kθ/_n))], k = 0, 1, n-1

Funzione esponenziale

y = r^1/n cos(^1/n(iθ) + 2kπi)

Eulero e logaritmo

z = e^{log z} = e^{ln r + iθ}
caso (1) = i; 2π(1) = i
cos (1) = i; 2π(1) = i

Serie geometriche

Converge |q| < 1
Diverge q ≥ 1
Non esiste q ≤ -1

Serie armonica

N=1 → ∞ div.

Serie armonica generalizzata

• Converge x > 1
• Diverge x ≤ 1

Serie di Mengoli

= 1

Serie a termini positivi

• ∑ a_n con a_n ≥ 0 ∀n∈ℕ

Risultano una:

1. Convergenti (se a_n è infinitesimo)
2. Divergenti

Risultano:

1. Il rapporto a_n/a_n+1 è infinitesimo (a_n → 0) ⇒ la serie diverge
2. Se a_n è infinitesimo allora:
1. Confronto asintotico con serie di confronto/conoscere
2. Se ∑ b_n è convergente, a_n/b_n→ c ⇒ ∑ a_n converge
3. Se ∑ b_n è divergente, a_n/b_n→ ∞ ⇒ ∑ a_n diverge

Serie a termini alterni

• ∑ a_n con a_n ≥ 0 ∀n∈ℕ

Per il criterio di Leibniz:

1. a_n è decrescente (a_n, a_n+1) e infinitesima (lim a_n = 0)
2. La serie converge
3. Inoltre se la serie non converge ma oscilla, s_n se n→ ∞ oscillata a divergente

Serie a segno variabile

• ∑ a_n a_n ∈ ℝ ∀ a∈ℝ

1. La serie è assolutamente convergente, se ∑ |a_n| converge
2. Se una serie è assolutamente convergente allora è convergente

Limiti notevoli

• lim_x→0 sinx/x = 1
• lim_x→0 (1-cosx)/x = 1/2
• lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e
• lim_x→0 x²cos(1/x) = 0
• lim_x→0 log_e(1+x)/x = 1
• lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1
• lim_x→0 x/(e^x - 1) = 1
• lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e
• lim_x→∞ ^x√x = x

Condizioni asintotiche

• sin ε(x) ~ ε(x)
• tan ε(x) ~ ε(x)
• log(1+ε(x)) ~ ε(x)
• x + ε(x) = 1 + ε(x)
• e^ε(x) ~ 1 + ε(x)
• cos ε(x) ~ 1
• (1 + ε(x))ⁿ - 1 ~ n ε(x)
• log x ~ x-1 , p_x ~ x>p
• log_n⟨n^k⟩ < e^ox + k < nⁿⁿ⬇_o = e^-

Derivate elementari

• D[x] = 1
• D[c] = 0
• D[cx] = c
• D[xⁿ] = nx^n-1
• D[sin x] = cos x
• D[cos x] = -sin x
• D[tan x] = 1/cos² x
• D[e^x] = e^x
• D[ln x] = 1/x
• D[sec x] = (sin x) (1 + tan² x)
• D[cot x] = -csc² x
• D[a^x] = a^x ln a
• D[log_a x] = 1/x ln a
• D[x^a] = ax^a-1
• D[arcsin x] = 1/√(1-x²)
• D[arccos x] = -1/√(1-x²)
• D[arctan x] = 1/(1+x²)
• D[f(x)g(x)] = g(x)f'(x) + f(x)g'(x)
• D[f(x)/g(x)] = [g(x)f'(x) - f(x)g'(x)]/g²(x)

Sviluppi in serie di Taylor-Maclaurin

• e^x = Σ_k=0^∞ x^k / k!
• sen x = Σ_k=0^∞ (-1)^k x^2k+1 / (2k+1)!   x - x³ / 3! + x⁵ / 5!
• cos x = Σ_k=0^∞ (-1)^k x^2k / (2k)!   x² / 2!
• ln(1 + x) = Σ_k=1^∞ (-1)^k+1 x^k / k
• ln(1 - x) = -Σ_k=1^∞ x^k / k